乘法分配律學習進階路徑設計

運算律是代數學的基石，也是小學數學的核心內容之一。現行各版本小學數學教材一般把運算律的內容安排在四年級集中學習。然而，學生對運算律的認知與理解不是一蹴而就的，而是循序漸進的。本文基于北師大版教材內容和大單元教學理念，以乘法分配律為例，探討二至六年級運算律學習進階路徑的設計，旨在通過直觀感知、模型建構、模式化、解釋應用四個遞進的學習階段，幫助學生從形成具象經驗逐步邁向形式化理解，最終構建對運算律的整體認知。

直觀感知階段：以“分與合”滲透分配思想

直觀感知階段指學生在二年級初步認識乘法的意義后，學習兩位數乘一位數之前的階段。學生對乘法分配律的直觀感知始于第一學段教學中學生對乘法意義的理解，該階段的主要任務是滲透分配思想，即引導學生從乘法的意義出發，通過操作活動直觀認識乘法計算的“分與合”。

如在二年級上冊《有多少張貼畫》教學中，教師引導學生通過圈一圈點子圖，自主探索 6×7 的乘法口訣。學生通過圈畫的方式拆分點子圖，得到計算結果。教師對比呈現用 6×5+6×2 和 6×4+6×3 兩種拆分思路推算出 6×7 結果的學生作品，引導學生說明推算方法，并用類似的方法再圈一圈，演示其他計算6×7 的方法，從而清晰地看到計算7個6是多少，可以用5個6加2個6得出，也可以用4個6加3個6得出，還可以用6個6加1個6得出，初步感知乘法計算可以將其中一個因數拆分成兩部分，兩部分分別與另一個因數相乘后再把結果相加。然后，教師引導學生用“幾個幾加幾個幾等于幾個幾\"描述分步計算過程。最后，教師引導學生用算式表示幾種拆分計算方法，即 6×7=6×5+6×2，6×7=6×4+6×3，6×7=6×6+6×1 對比發現它們的異同，體會乘法計算拆分方式的多樣性與結果的一致性。由此，學生直觀感知到乘法中的分配思想。

模型建構階段：從實物到圖形的多元表征

模型建構階段指學生在三、四年級理解了乘法的意義之后，正式學習乘法分配律之前的階段。這個階段，學生對乘法分配律的認識應是“用而不述”[劉加霞，《教學月刊（小學版）》2023年第12期]，即學生可以通過直觀操作解釋計算的道理，但不必言明計算用到的是乘法分配律。史寧中教授曾指出，豎式表達的是算法，橫式表達的才是算理，算法是通過算理得到的。因此，在這個階段的教學中，教師應引導學生借助點子圖、面積模型等多樣化模型解釋乘法分配律的算理，用橫式表達相應的計算過程，并在說理中體會乘法如何通過“分與合\"實現等值變形，從而建立乘法分配律模型表象，為正式學習乘法分配律積累活動經驗。

在三年級上冊《需要多少錢》教學中，教師先呈現問題：“一個游泳圈12元，3個游泳圈多少元？”有的學生根據加法的意義列出算式 12+12+12 ，有的學生根據乘法的意義列出算式 12×3 。如何計算 12×3 呢？教師引導學生依托生活經驗，用人民幣模型將12元拆分為10元和2元，分別計算出3個10是多少和3個2是多少，再把兩個得數相加得到最終結果，從而直觀感知“整體拆分為部分，部分之和等于整體”。然后，教師要求學生把操作人民幣模型計算的過程用橫式表達出來。學生列出橫式“ 10×3=30，2× _{3=6，30+6=36} 后，教師讓他們對比橫式計算結果和12+12+12 的結果，感知結果的一致性。最后，教師用等號連接學生所列算式，形成 12×3=10×3+2×3 ，幫助他們直觀理解乘法分配律的等值變形特征。又如，在三年級下冊《隊列表演（二）》教學中，教師引導學生用點子圖表征14列12行的點子數，用不同顏色標記 14×2 （上2行）和 14×10 （下10行），直觀呈現“部分”與“整體\"的關系，并將圈畫點子圖計算的步驟分別與橫式計算步驟和豎式計算步驟對應，銜接算理與算法，重點體會豎式中“分步乘加\"與點子圖中“分與合\"以及橫式中“分與合\"的一致性，明確這些做法都能實現等值變形，建構對乘法分配律特征的認知。

模式化階段：從直觀模型到抽象概括

模式化階段指學生在四年級正式學習乘法分配律的階段。由于小學階段的教學不要求對乘法分配律進行嚴格證明，所以模式化階段的主要任務指向經歷數學現象的觀察、共性規律的概括和用符號表達規律的學習過程，旨在幫助學生認識這類計算所依據的一般規律。

在學習四年級上冊乘法分配律之初，教師創設問題情境：“有兩面互相垂直的墻面，工人要在靠近交接線的區域貼瓷磚，要求是在交接線左邊每行貼4塊、右邊每行貼6塊，共貼8行，其中上面3行為白色瓷磚，下面5行為藍色瓷磚。一共貼了多少塊瓷磚？\"學生讀題，提取數學信息后，教師引導他們將問題去背景化，抽象成面積模型，如繪制長10厘米、寬8厘米的長方形，將其分割成規格為 3×10 和 5×10 的兩個小長方形，通過面積守恒理解等式 （3+5）×10= 3×10+5×10 。然后，教師引入變量，將面積模型中的具體數字替換為字母，如將8厘米（3厘米 +5 厘米）替換為 （a+b） ），將10厘米替換為 ，引導學生依據大長方形與兩個小長方形的面積關系得出 （a+b）× c=a×c+b×c 。

從面積關系得到乘法分配律的雛形后，教師還需要引導學生舍棄面積背景，讓認知水平走向一般化。為此，教師從算式入手，引導學生探究。例如，先通過“ （4+6）×8=4×8+6×8^9×4（3+5）×10=3×10+5×10³ 中等實例，歸納其中蘊含的運算規律，再用自然語言概括規律，形成“兩個數的和乘一個數，等于這兩個數分別乘這個數再相加”的認識，最后用字母表達這個規律，得出 （a+b）×c=a×c+b×c ，并討論字母的取值范圍。教學中，教師還可以通過反向驗證活動鞏固學生已有認知，如給出 a=5 ， b=3 ， c=4 ，讓學生分別計算 （a+b）×c 和 a×c+b×c 的結果，從而驗證等式成立。此外，教師應注意易混淆點的辨析，引導學生對比乘法分配律與結合律，通過實例說明兩者的差異。

解釋應用階段：基于算理重述整體認知運算律

解釋應用階段指學生學習乘法分配律之后至初中學習有理數運算之前的階段。這個階段的主要任務是引導學生用乘法分配律解釋各種運算的算理，體會乘法分配律在運算中的普適性，為后續在更廣的范圍內運用乘法分配律解決問題奠基。

在六年級總復習階段，教師可以引導學生從運算律的視角解釋算理。如，先用面積模型解釋計算15×13 的道理，即把 15×13 分解為 15×3+15×10 后，進一步拆解為 （10+5）×3+（10+5）×10. ，對照豎式說明其中每一步的意義；再用橫式表示拆分的每一步，即15×13=15×3+15×10=（10+5）×3+（10+5）×10=（10×3+15）×10=（10×3+（10×3）×3） 5×3）+（10×10+5×10）=45+150=195 。教師還可以要求學生解釋計算 的道理：先依據分數的意義（20號和分數乘法的意義，說明 表示把3個 和2個 合起來，結果是5個 ，算式為 （3+2），然后從運算律的角度推理，得到相同的等式，從而感受同分母分數加法計算中有乘法分配律。對于異分母分數加法，教師可以引導學生借助異分母分數加法要轉化成同分母分數加法計算的已有認知，體會分數加法計算中都有乘法分配律。在這個過程中，學生能體會到乘法分配律適用于分數運算。在此基礎上，教師可以讓學生解決\"一年級女生有 α_a 人，男生人數是女生的1.2倍，一年級共有多少人？”的問題，從乘法的意義和乘法分配律兩個視角解釋 a+1.2a=（1+1.2）a=2.2a 的道理，從而體會乘法分配律在含有字母的小數乘法中同樣適用。

（作者單位：潛江市田家炳實驗小學）