依托租船問題滲透優化思想

人教版數學四年級下冊租船問題是典型的優化問題。教師如何引導學生提出可能的租船方案，并通過調整找到最省錢的方案，形成解決這類問題的基本模型和優化思想呢？

構建真實問題情境。教師出示題目：“大客船45座，費用900元；小客船28座，費用700元。四年級416人春游時需要乘船，怎樣租船最省錢？”題中信息量較大，學生需要在準確提取有效信息的基礎上，憑借生活經驗和數學知識發現“租大客船便宜”這個隱含條件，并結合生活實際尋找最省錢的方案。基于此，教師給學生充足的時間，讓他們思考、提取有效信息。學生先讀題，提取出“416人乘船，大客船限乘45人、費用900元，小客船限乘28人、費用700元\"等信息，然后試算，發現矛盾沖突，即大客船人均成本低（20元/人）但會空位導致浪費，小客船座位安排相對靈活但人均成本高（25元/人）。教師據此提出核心問題：如何組合租船能使總費用最少？

把握優化思維過程。教師引導學生按照以下路徑分析問題，形成優化策略，實現思維進階。首先，教師引導學生根據題目信息算出大客船每個座位的均價為 900÷45=20 （元），小客船每個座位的均價為700÷28=25 （元），再通過比較發現只租一種船不合算，初步形成優化意識—一要盡可能多租座位均價更便宜的大客船、少租小客船。接著，教師引導：如何找到大客船、小客船恰當的數量呢？學生提出，假設全租大客船，根據 416÷45=9 （條）11（人），可知租9條大客船的情況下還剩11人未上船；剩下的11人租大客船或小客船均可，但由于每條小客船的費用明顯比每條大客船少，所以加租1條小客船省錢。教師點撥：我們先假設全租大客船，算出需要幾條船、余幾人，如果余下的人剛好坐滿一條小客船（無空位），此時就是最優方案，求出總費用即可；如果余數比較小，余下的人不夠坐滿一條小客船（有空位），說明有空位被浪費，我們還需要嘗試調整方案。然后，學生根據“租9條大客船和1條小客船”的方案，計算租船的總費用為 900×9+700×1=8800 （元）。教師引導：此時小客船上有空位，租9條大客船和1條小客船的方案究竟是不是最省錢的方案呢？學生分析：最后租的這條小客船上實際只有11人，有17個空位，很可能有更優化的方案，我們可以嘗試減少大客船的數量、增加小客船的數量，看總費用如何變動。獨立探究并小組交流后，學生匯報：去掉1條大客船，這條大客船上的45人和余下的11人正好可以坐滿2條小客船，此時總費用為 900×8+ 700×2=8600 （元），也就是租8條大客船和2條小客船的方案更省錢。由此，學生感悟到既滿足“盡可能租大客船”又滿足“無空位”是最省錢的方案。

建立解決問題模型。此環節，教師引導學生反思解決問題的過程，總結優化策略，建立解決這類問題的基本模型。根據學生的總結發言，教師梳理出如下內容：如果乘船的總人數剛好坐滿全部大客船，則全租大客船省錢；如果乘船的總人數在盡可能租大客船的情況下有剩余，剩余人數租小客船剛好無空位，則剩余的人租小船更合算；如果乘船的總人數在盡可能租大客船的情況下有剩余且剩余的人乘小客船有空位，則采用“減大補小”的方法調整租船方案，并在調整中比較、確定最省錢的方案?；诖?，師生共同梳理解決租船問題的基本模型：第一步，求單價，做比較；第二步，求數量，做選擇；第三步，求總價，做調整。

（作者單位：天門市競陵西關小學）文字編輯劉佳