小學生代數(shù)思維培育的現(xiàn)狀分析及教學應對

引用格式芮金芳.小學生代數(shù)思維培育的現(xiàn)狀分析及教學應對Ⅲ.教學與管理，2025（23）：56-59.

小學階段代數(shù)思維發(fā)展的核心是培養(yǎng)學生一般化的表達與推理能力。《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《2022版課標》）在小學階段課程內(nèi)容中強調(diào)，“要理解用字母表示的一般性，形成初步的代數(shù)思維”。小學階段的代數(shù)思維滲透在數(shù)學的各個領(lǐng)域，對培育學生符號意識、推理意識等核心素養(yǎng)發(fā)揮著重要作用。但在實際教學中卻存在算術(shù)思維與代數(shù)思維割裂的現(xiàn)象，學生代數(shù)思維水平整體處于低層次、低結(jié)構(gòu)狀態(tài)；教師往往忽視代數(shù)思維的早期滲透與孕伏，從而影響代數(shù)思維學習的小初銜接。作為一線教師如何發(fā)掘課程內(nèi)容中的代數(shù)學習資源，做好算術(shù)思維與代數(shù)思維的過渡銜接，是小學數(shù)學教學的重要話題

一、小學數(shù)學代數(shù)思維培育的現(xiàn)實困境

1.從代數(shù)學歷史發(fā)展視角解析

史寧中教授指出，代數(shù)學的發(fā)展歷史大致經(jīng)歷三個主要階段：第一階段，修辭代數(shù)階段，公元三世紀之前，也就是丟番圖以前的時期，完全用文字語言描述、求解特定的問題，沒有出現(xiàn)符號表示的未知量；第二階段，省略代數(shù)階段，由丟番圖首次引進字母代表常出現(xiàn)的量和運算，簡化文字表達的內(nèi)容和過程，但這一時期仍然是算術(shù)思維；第三階段，符號代數(shù)階段，法國數(shù)學家韋達首次系統(tǒng)使用字母表示已知量、未知量，字母可以像數(shù)一樣進行運算，推動了代數(shù)學的重大進步，這才是代數(shù)的真正開始。由此可以看出，從修辭代數(shù)到符號代數(shù)經(jīng)歷了漫長的演變歷程。所以，小學階段學生要將算術(shù)中具體數(shù)的操作思考轉(zhuǎn)變成對代數(shù)中符號的認識思考，是具有一定的挑戰(zhàn)和困難的。

2.從課程內(nèi)容編排視角研析

《2022版課標》在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域調(diào)整了2011版數(shù)學課標中培養(yǎng)代數(shù)思維的內(nèi)容載體，將方程、反比例等內(nèi)容后移到初中，分學段提出了代數(shù)思維培育的具體教學要求。從課程內(nèi)容分段目標要求來看，小學第三學段“數(shù)量關(guān)系”主題中有關(guān)“字母表示數(shù)”的學習，標志著“代數(shù)思維”的萌芽。字母是數(shù)的更高層

*該文為江蘇省中小學教學研究第十四期課題“SOLO分類評價理論下發(fā)展學生邏輯推理意識的實踐研究”（2021JY14-CSFX-L4O）的階段性研究成果、江蘇省教育科學“十四五”規(guī)劃重點課題“中小學跨學段主題學習的實踐研究”（B-b/2024/03/210）的階段性研究成果

次的抽象，學生的數(shù)學學習逐步從理性具體上升到理性一般的層級，這是學生后續(xù)第四學段初中代數(shù)學習的重要基礎(chǔ)（見表1）[。可見，小學、初中在“用字母表示數(shù)”這一課程內(nèi)容要求上加強了學段銜接，體現(xiàn)課程內(nèi)容的整體性、連續(xù)性和進階性。

表1《2022版課標》小學階段代數(shù)思維培育的內(nèi)容分布及實施要求

3.從兒童認知心理發(fā)展剖析

算術(shù)思維的主要對象是數(shù)及其運算，它是由程序思維來刻畫的，著重通過數(shù)的運算得到一個具體的答案。而代數(shù)思維的主要對象除了數(shù)，還有更廣泛的基本對象，即符號及其運算與變換。其本質(zhì)是關(guān)注整體結(jié)構(gòu)特征，對結(jié)構(gòu)或關(guān)系進行描述分析與概括運用，重在關(guān)系符號化的表達。學生從算術(shù)思維到代數(shù)思維的過渡，需要從對具體的數(shù)向符號的思考理解進行轉(zhuǎn)變，學生的思維層次要實現(xiàn)從具體到抽象、從特殊到一般、從程序到結(jié)構(gòu)的跨越。這對長期運用程序性、計算性思維方式解決問題的小學生來說，是一次重大的挑戰(zhàn)與突破。小學高段學生正處于具體運算階段向形式運算階段的過渡時期，其思維發(fā)展水平在一定程度上會限制學生從算術(shù)思維到代數(shù)思維的轉(zhuǎn)變。

因此，在小學數(shù)學教學中，教師要有啟發(fā)學生代數(shù)思維的意識，明晰培養(yǎng)學生代數(shù)思維的路徑，進而抓住代數(shù)思維啟蒙的關(guān)鍵點，實現(xiàn)從算術(shù)思維到代數(shù)思維的轉(zhuǎn)變跨越。

二、小學數(shù)學代數(shù)思維培育的實踐路徑

1.挖掘代數(shù)思維因子，體現(xiàn)結(jié)構(gòu)模式

在小學數(shù)學教學中，教師要善于觀察、捕捉和識別算術(shù)中蘊含的代數(shù)思維，養(yǎng)成用代數(shù)的思維方式解決問題的意識和習慣。這體現(xiàn)了算術(shù)的程序或步驟，呈現(xiàn)了代數(shù)的關(guān)系或結(jié)構(gòu)，凸顯了小學代數(shù)思維萌芽階段的特征。具體表現(xiàn)為低年段提前孕伏，中年段滲透過渡，高年段初步概括，力求做到整體梳理、分段滲透。如在一年級認數(shù)時，經(jīng)常遇到這樣的填數(shù)問題：請從5開始，連續(xù)寫出三個自然數(shù)。這樣的學習僅停留在獲取某個結(jié)論或答案上，學生獲得的僅僅是數(shù)數(shù)的程序性知識。而具備代數(shù)思維的教師會深人挖掘其中蘊含的數(shù)值推理過程，合理關(guān)注學生在數(shù)值推理過程中的學習表現(xiàn)，從而了解學生所使用的推理策略和思維水平，有針對性地進行長期培養(yǎng)。教師可以通過“你能用不同的方式表示這三個數(shù)嗎？”這一核心問題開啟學生代數(shù)思維生長的新起點，并展示學生的不同表示方式，如 $5 、 5 ＼substack { + 1 ， 5 + 2 }$ ;7-2、7-1、7或6-1、6、6+1。這些表示方式不僅表示出了結(jié)果，更顯示了6、7這兩個數(shù)與5之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系。

這個填數(shù)問題包含了等差數(shù)列的結(jié)構(gòu)模式。教學中教師除了關(guān)注學生常規(guī)的算術(shù)思考外，還要關(guān)注數(shù)里面隱含的代數(shù)關(guān)系與結(jié)構(gòu)，引導學生巧妙識別，提取出關(guān)鍵的數(shù)字，著重思考這三個數(shù)之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)[2。隨著學生數(shù)學習范疇的不斷擴大，這個結(jié)構(gòu)模式還可以進一步一般化。如認識多位數(shù)：489、490、491、492、493；認識小數(shù)3.5、4、4.5；5個連續(xù)的偶數(shù)，中間數(shù)是a，其他數(shù)各是多少，它們的和是多少等。

2.理解等號雙重意義，聚焦關(guān)系思維

等號作為數(shù)學等價標志的一個重要符號，是發(fā)展低年段學生由算術(shù)思維向代數(shù)思維轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。等號的學習要讓學生理解并建構(gòu)其具有的雙重功能：從連接運算結(jié)果到表示等價關(guān)系的轉(zhuǎn)變。這種關(guān)系型意義的迭代升級是學生從算術(shù)思維到代數(shù)思維的逐級轉(zhuǎn)變，能促進他們思維從運算性理解向關(guān)系性理解的發(fā)展，同時為初中深入學習方程和不等式奠定基礎(chǔ)[3]。

等號表示相等關(guān)系對一年級學生來說是一個難點。所以，教學時要根據(jù)低年段學生年齡特點，充分利用并創(chuàng)造平衡材料，在直觀學習工具的支持下，滲透等號的雙重意義，加深學生對等號等價意義的理解。如認識等號時，教師布置任務(wù)：天平的左右兩邊放了一些積木，天平不平衡了，你能想辦法讓天平變平衡嗎？用一個算式表示你的想法（如圖1）。

圖1想辦法讓天平變平衡

方法一：在天平右盤里增加2個方塊，天平就平衡了，算式是 3=1+2 。

方法二：在天平左盤里減少2個方塊，天平也平衡了，算式是 3-2=1 。

方法三：在天平左盤拿走1個方塊，在天平右盤增加1個方塊，天平也能平衡，算式是 3-1=1+1 □

方法四：在天平左盤增加1個方塊，在右盤增加3個方塊，天平也可以平衡，算式是 3+1=1+3 。

交流發(fā)現(xiàn)：只要右盤比左盤同時多放2個方塊，比如 3+4=1+6 ，天平就可以平衡。

教學時借助天平模型，在直觀操作和深入辨析中幫助學生獲得“等價”的直觀體驗，打破學生固有的“算式在左，結(jié)果在右，等號是表示結(jié)果輸出的符號”的思維定勢。在多次“變相等”的挑戰(zhàn)性活動中，學生經(jīng)歷從不等到相等的充分體驗，進一步豐富他們對等號的認識。借助天平這一學習載體，學生在具身體驗過程中直觀感受、累積“相同的數(shù)才能構(gòu)成等式”“兩邊總和相同才能構(gòu)成等式”的學習活動經(jīng)驗，這些學習經(jīng)驗將是學生理解等號等價意義的重要啟蒙點和思維生長點。

3.關(guān)注算式結(jié)構(gòu)性質(zhì)，培養(yǎng)一般化思考

學生代數(shù)思維的培養(yǎng)不是一蹴而就的。教學時教師要在各個學段予以加強，特別要重視代數(shù)思維的早期孕伏。數(shù)學家卡帕特認為，代數(shù)思維可以看作四種核心實踐，即對數(shù)學的結(jié)構(gòu)與關(guān)系進行一般化推廣、表示、論證與推理[4。所以，教學時要精心設(shè)計學習活動，讓學生經(jīng)歷一般化的過程，從而發(fā)展學生符號意識，培養(yǎng)學生代數(shù)思維。在小學數(shù)學中，算式的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)體現(xiàn)在各種運算律和運算性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)上，如學習“加法交換律”時，依托現(xiàn)實情境得到一組加法算式特例：

8+10=18，10+8=18?8+10=10+8

25+32=57，32+25=5725+32=32+25

接著，教師鼓勵學生照樣子仿寫，在交流討論中初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律“兩個加數(shù)交換位置，和不變”，在發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象，提出猜想的基礎(chǔ)上，引發(fā)學生深入思考“為什么交換加數(shù)的位置、和不變？”借助生活事例解釋說明自己的發(fā)現(xiàn)，即“在把兩部分合成一個整體的過程中，雖然順序不同，但總和始終不變。”

學生圍繞關(guān)鍵問題進一步思考“這個規(guī)律是不是總是成立？如果成立，那么可以如何表達這個規(guī)律？”在學生自主多元表征的基礎(chǔ)上，歸納概括字母表達式 ，并將字母表達式與具體數(shù)的表達式進行對比，讓學生體會字母表示的一般性，即字母a、b可以用來表示任意兩個數(shù)。學生在仿寫算式、舉出實例、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、表征論證、歸納概括的學習過程中，充分經(jīng)歷“事理”“算理”兩重視角的解釋推理，經(jīng)歷加法交換律一般化的概括與表示，促進思維水平從直觀具體到抽象符號化的躍遷，滲透代數(shù)思維的培育。

4.注重尋找模式，滲透函數(shù)思想

尋找模式是指通過尋找規(guī)律培養(yǎng)學生的函數(shù)思想。在小學階段主要內(nèi)容有：第一、二學段中的“整理加（減）法表”“找規(guī)律”等，第三學段中的“看圖找關(guān)系”“正比例”等。函數(shù)思想的本質(zhì)是通過數(shù)學模型的建立，將復雜的現(xiàn)實問題簡明化，同時抽象為明確的數(shù)量對應關(guān)系，深刻揭示事物動態(tài)變化中的規(guī)律和不變性。

如教學“正比例”時，“相關(guān)聯(lián)的兩個量”“比值一定”是其重要的核心概念。教師利用課前布置的作業(yè)：收集生活中一個量隨另一個量變化而變化的例子，設(shè)置情境比較任務(wù)，圍繞“每個情境中的兩個相關(guān)聯(lián)的量是怎樣變化的”這一問題展開思考，對獲得的相關(guān)信息進行解讀辨析、探究交流，從而明晰兩個相關(guān)聯(lián)的量之間的變化關(guān)系，為理解正比例意義提供經(jīng)驗素材。

任務(wù)一：姐姐和妹妹的年齡變化情況如下：

學生觀察后發(fā)現(xiàn)：橫著看，妹妹年齡每增加1歲，姐姐年齡也增加1歲；豎著看，姐姐年齡總是比妹妹大10歲，可以用“姐姐年齡一妹妹年齡 =10 ”表示。

任務(wù)二：媽媽買同一種草莓，購買草莓的數(shù)量和總價如下：

學生觀察后發(fā)現(xiàn)：橫著看，數(shù)量每增加1盒，總價就增加15元；豎著看， 單價，情境中的單價是相等的。

任務(wù)三：正方形的周長與邊長的變化情況如下：

學生觀察后發(fā)現(xiàn)：橫著看，邊長每增加1厘米，周長都增加4厘米；豎著看，邊長 ，畫出來是這樣一條直線：

邊長/cm

任務(wù)四：正方形的面積與邊長的變化情況如下：

學生觀察后發(fā)現(xiàn)：橫著看，邊長由1到2時面積增加 3cm² ，邊長由2到3時面積增加 5cm² ，邊長由3到4時面積增加 7cm² ；豎著看， 邊長，由于邊長在不斷變化，所以面積與邊長的比值不是一定的，所以畫出來的圖是一條曲線：

邊長/cm

學生根據(jù)四組典型資源的對比辨析，借助列表或畫圖的方法，多角度關(guān)聯(lián)分析圖表中量的對應和變化情況，從兩個量的“變”中看到“不變”，探索成正比的量的變化規(guī)律和變化趨勢，從而正確理解正比例的意義。同時，靈活轉(zhuǎn)化圖表語言、文字語言和符號語言，判斷兩個量是否成正比例。多重表征及轉(zhuǎn)化幫助學生建立正比例關(guān)系的結(jié)構(gòu)模型，促進他們從算術(shù)思維走向代數(shù)思維，為初中進一步學習反比例函數(shù)、方程及其他函數(shù)奠定基礎(chǔ)。

5.運用數(shù)量關(guān)系推理，發(fā)展代數(shù)推理

數(shù)量推理對兒童早期代數(shù)思維能力培養(yǎng)有著重要的積極作用，主要包含建立等量關(guān)系、表征等量關(guān)系和推理等量關(guān)系的過程。代數(shù)推理是發(fā)展代數(shù)思維的重要路徑。教學時，教師要依循學生代數(shù)思維的生長過程，循序漸進，整體設(shè)計。《2022版課標》強化了小學階段用字母符號表示數(shù)量、關(guān)系和一般規(guī)律的學習，強調(diào)用符號表達的運算規(guī)律和推理結(jié)論具有一般性，使學生會用字母符號作為數(shù)學對象去計算和推理，體會字母符號的使用是數(shù)學表達和數(shù)學思考的重要形式。

如五年級學生學習用字母表示關(guān)系，體會字母參與運算的教學實踐：

在以前的學習中我們知道，任意兩個奇數(shù)相加，和是偶數(shù)。你會怎樣說明這個結(jié)論？

生1：我用舉例的方法：發(fā)現(xiàn)任意兩個奇數(shù)相加，和是偶數(shù)，比如 1+3=4，3+9=12，5+21=26….

生2：我用舉例的方法，發(fā)現(xiàn)兩個相同的奇數(shù)相加，和是這個奇數(shù)的2倍，是偶數(shù)，比如 1+1=1×2 、3+3=3×2.5+5=5×2…

生3：我用畫圖的方法發(fā)現(xiàn)：第一個圖形有1個方格，第二個圖形有 1+2 個方格，第三個圖形有 個方格，第四個圖形有 1+2+2+2 個方格。任意兩個方格圖相加，和可以表示成 1+1+2+2+2+… 的形式，正好是2的倍數(shù)，所以和一定是偶數(shù)。

生4：我用字母式相加的方法發(fā)現(xiàn)：用 2n+1 表示奇數(shù)，那么 2n+1+2n+1=4n+2，4 是偶數(shù)，所以 4n 是偶數(shù)， 4n+2 一定也是偶數(shù)。

學生由具體數(shù)字列舉、直觀圖例到符號運算后的說理驗證，經(jīng)歷從不完全歸納的合情推理到字母運算的演繹推理的過程。這里的字母式運算都是依據(jù)運算律進行的推理，字母符號具有高度的抽象概括性，所以用字母參與運算和推理所得到的結(jié)論也具有一般性。在這樣的學習過程中，學生思維從具體直觀逐步走向抽象概括，產(chǎn)生一般化的學習需求，同時實現(xiàn)從程序性思維到結(jié)構(gòu)化思維的轉(zhuǎn)換，不斷提升學生思維的抽象水平，體會符號表達的一般性，發(fā)展學生的代數(shù)推理能力5。

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022：18，21，24.

[2]雷德福，張亞楠，黃興豐.兒童符號代數(shù)思維的萌芽（上）[J].小學數(shù)學教師，2019（03）：4-7+24.

[3]黃興豐.早期代數(shù)的學習與診斷[M].上海：上海教育出版社，2021：261-265.

[4]張丹，于國文.問題引領(lǐng)數(shù)學學習：內(nèi)涵與實踐策略[M].北京：教育科學出版社，2021：11-18.

[5]孔思雨，許添舒，孔企平.聚焦兒童代數(shù)推理能力的發(fā)展———以“俄羅斯達維多夫小學教學課程”為例[J].上海教育科研，2022（04）：77-83.

[責任編輯：陳國慶]