行程問題中物理量耦合的圖像解法

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A文章編號：1003-6148（2025）7-0069-3

行程問題是研究物體的速度、時間、路程三者之間關系的問題。解決這類問題的一般思路為：從要求解的物理量入手，一步步尋求與已知條件的關系，代入速度、時間或者路程公式進行求解。簡單情境下單一物體的行程問題求解相對容易；一旦行程問題與具體生活情境相結合，特別是涉及多個研究對象之間的時間、速度、路程存在耦合關系時，學生常常因理不清它們的對應關系導致求解錯誤或效率低下。這類問題，單純靠教師的語言分析、講解，學生的掌握情況普遍較差。特別是邏輯思維能力較弱的學生，即使教師講解多遍，也仍然不得其法。針對這種情況，我們可以通過巧妙選擇特殊研究對象（或參照物），畫出 s-t 圖像或變換已知 s-t 圖像的坐標系，理順研究對象對應的物理量關系，加快解題速度，提高課堂效率。

根據行程問題中物理量之間的耦合關系不同，可將問題分為三類：時間耦合型、速度耦合型和路程耦合型。時間耦合型指的是有多個研究對象，且它們的時間量存在復雜耦合關系的題型；速度耦合型指的是速度量存在復雜耦合關系的題型；而路程耦合型指的是路程量存在復雜耦合關系的題型。下面將舉例說明圖像法的妙用。

1 圖像法解決時間耦合型問題

例題1單點測速是指在道路的某一個特定位置設置測速設備，對經過該點的車輛進行速度測量，從而判斷車輛在通過該點時是否超過規定限速值的測速方法。圖1為測速示意圖，汽車向放置在路中的測速儀勻速駛來，測速儀第一次發出超聲波信號到測速儀接收到信號所用時間為0.8s ，測速儀第二次發出超聲波信號到測速儀接收到信號所用時間為 0.6s 。若兩次信號發出的時間間隔是1.1s，超聲波在空氣中傳播的速度為 340m/s 。求汽車行駛的速度。

圖1測速示意圖

問題分析要求解汽車行駛的速度，需要找到汽車行駛的路程及對應的時間段。根據回聲測距原理，很容易求出兩次信號到達汽車時對應的路程，進而求出路程差。但是，超聲波信號運動的時間和汽車運動的時間存在較為復雜的耦合關系，直接分析汽車運動的時間較為困難。如果把測速儀作為參照物，將超聲波信號運動的 s-t 圖像繪制出來，此問題便可輕松解決。因此類問題繪制的 s-t 圖像呈現兩個三角形，故又可稱為“雙三角形\"圖像法或“雙峰\"圖像法。

解在測速儀第一次發出信號到接收到信號的0.8s內，超聲波傳播的路程為

s_?1=v_?≡t_?1=340m/s×0.8s=272m

當汽車反射第一次信號時，汽車距測速儀

在測速儀第二次發出信號到接收到信號的0.6s 內，超聲波傳播的路程為

s₂=v_≠t₂=340m/s×0.6s=204m

當汽車反射第二次信號時，汽車距測速儀

汽車從反射第一次信號到反射第二次信號間行駛的路程

Δs=s^′₁-s^′₂=136m-102m=34m

下面通過“雙峰\"圖像法（圖2），計算汽車運動 34m 所耗用的時間

圖2“雙峰\"圖像法

所以，汽車的車速為

2 圖像法解決速度耦合型問題

例題2早上，明明以速度 v₁ 從家出發步行至學校，明明出門后，爸爸發現他忘帶物理作業，于是以速度 v₂ 去追趕；追上后再以速度 v₃ 返回家里。由于返回時正值上班高峰，爸爸返回時的速度是追趕速度的 1/2 ，爸爸、明明之間的距離 s（m） 與明明離開家時間 t（min） 之間的關系如圖3所示。求：

（1）明明步行的速度 v₁ （2）爸爸追明明的速度 v₂ 及返回的速度 v₃ 。

分析及解答本題涉及的速度物理量較多，且存在耦合關系，難以直接找到研究對象的路程和時間的對應關系，因此直接從原始圖像人手，求解困難。如果以家為參照物，變換 s-t 圖像的坐標系，在同一時間軸上繪制出明明和爸爸的s^′-t 圖像，并補全 15min 和 25min 對應的路程（圖4），便可較為輕松地解決本題。

圖4以家為參照物，明明和爸爸的路程一時間圖像由圖4可知，明明步行的速度

爸爸追明明的速度

爸爸返回的速度

3 圖像法解決路程耦合型問題

例題3甲、乙兩位外賣員在A店等候取餐，取餐后送往B小區。甲比乙早出發 4min ，乙出發 6min 時，甲剛好到達位于A店與B小區之間的C加油站。甲停留 6min 后，立即以原速的4/3趕往B小區，結果乙先到達B小區。交接餐食的時間可忽略不計。甲、乙到C加油站的距離之和s（m） 與乙出發時間 t（min） 之間的關系如圖5所示。求：

（1）乙的速度 v_Z ：

（2）甲到達加油站前的速度 v_? 和離開加油站的速度v甲2°

圖3爸爸、明明之間的距離 s 與明明從家出發后步行時間 χ_t 的關系圖

圖5甲、乙到加油站的距離之和s 與乙出發時間 χ_t 之間的關系圖像

分析及解答本題涉及的路程物理量較多，且存在耦合關系，難以直接找到研究對象的路程和時間的對應關系，因此直接從原始圖像入手，求解困難。若以A店為參照物，甲、乙外賣員運動的路程為研究對象，在同一時間軸上分別繪制出兩者的路程一時間圖像（圖6），便可較為輕松地解決本題。

圖6以A店為參照物，甲、乙外賣員的路程一時間圖像由圖6可知，乙的速度

甲到達加油站前的速度

7.5m/s

甲離開加油站的速度

通過對以上問題的分析求解，不難看出，通過巧妙選擇特殊研究對象（或參照物），畫出 s-t 圖像或者變換已知 s-t 圖像的坐標系，圖像可更加形象、直觀地表達物理規律， s-t 圖像法比傳統方法更簡捷、方便，更易于理解[1]。

4結語

2022版義務教育物理課程標準強調“從生活走向物理，從物理走向社會”的理念，要求“遵循初中學生身心發展規律，貼近學生生活，關注學習生長點，以具體事實、鮮活案例、生活經驗和基本概念等引導學生進行理性思考”[2]。因此，在物理教學中引入生活情境，可以幫助學生更好地理解物理概念，提高解決問題的能力。但真實的生活情境往往是比較復雜的，涉及的研究對象及物理量較多，且各物理量之間存在耦合關系，學生常常由于理不清它們之間的對應關系導致求解錯誤或效率低下。此時，可以嘗試通過巧妙選擇特殊研究對象（或參照物），畫出 s-t 圖像或者變換已知 s-t 圖像的坐標系，化解難點，提高解決問題的效率。

參考文獻：

[1]張曉琳，張石友，孟巖 ?_?s-t 圖像妙解追及相遇問題[J].中學物理教學參考，2021，50（2）：49-50.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育物理課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022

（欄目編輯 蔣小平）