高中數理融合教學應用一以“位移一時間”圖像教學為例

物理與數學是高中階段聯系最為緊密的兩門課程，無論是推演亦或計算都能互相促進，相得益彰，因此，重視數學知識與思想在高中物理的應用十分重要.

1利用“位移一時間”圖像化難為易、化繁為簡

圖像法是根據題意把抽象復雜的物理過程有針對性地表示成物理圖像，將物理量間的代數關系轉變為幾何關系，運用圖像直觀、形象、簡明的特點來分析解決物理問題，由此達到化難為易、化繁為簡的目的.

高中物理學習中涉及大量的圖像問題，運用圖像解題是一種重要的解題方法.在運用圖像解題的過程中，如果能準確分析有關圖像所表達的物理意義，抓住圖像的斜率、截距、交點、面積、臨界點等幾個要點，常常就可以方便、簡明、快捷地解題.

（2）如果 B 站汽車與 A 站另一輛汽車同時開出，要使 B 站汽車在途中遇到從 A 站開出的車數最多，那么 B 站汽車至少應在 A 站第一輛車開出多長時間后出發（即應與 A 站第幾輛車同時開出）？最多在途中能遇到幾輛車？

（3）如果 B 站汽車與A站汽車不同時開出，那么B 站汽車在行駛途中又最多能遇到幾輛車？

移一時間圖像，如圖1所示.

（1）當 B 站汽車與 A 站第一輛汽車同時相向開出時， B 站汽車的圖線 CD 與 A 站汽車的圖線有6個交點（不包括在 χ_t 軸上的交點），這表明 B 站汽車在途中（不包括在站上）能遇到6輛從A站開出的汽車.

（2）要使 B 站汽車在途中遇到的車最多，它至少應在 A 站第一輛車開出 50min 后出發，即應與 A 站第6輛車同時開出，此時對應 B 站汽車的圖線 MN 與 A 站汽車的圖線共有11個交點（不包括 χ_t 軸上的交點），所以 B 站汽車在途中（不包括在站上）最多能遇到11輛從 A 站開出的車.

（3）如果 B 站汽車與 A 站汽車不同時開出，則 B 站汽車的圖線（如圖中的直線 PQ ）與 A 站汽車的圖線最多可有12個交點，所以 B 站汽車在途中最多能遇到12輛車.

例2工廠的一輛汽車每天準時來接一位工程師上班.某天，工程師比平時提早 ¹h 出門步行上班，他在途中遇到來接他的汽車，就乘車來到工廠，結果比平時提前 10min 到達工廠.問：

（1）這位工程師在與汽車相遇前已經步行多長時間？

（2）汽車的速率是工程師步行速率的幾倍？

圖4

（2）圖中 CG 的斜率為汽車的車速， AC 的斜率為工程師的步行速率，對于 ΔACK 和 ΔGCK 來說，高均為 CK ，且有 AK=11GK ，所以車速是步行速度的11倍.

例3一列長 100m 的隊伍在勻速前進，隊尾的通訊員接到命令，立即快步勻速趕到隊前，然后又以同樣的速率返回隊尾，當通訊員回到隊尾時，整個隊伍前進了 100m 的路程，在這一過程中，通訊員一共走了多少路程？

作出隊伍和通訊員的 x^-t 圖像（如圖3），圖中 OAB 表示通訊員的運動情境， OB 表示隊伍的運動情境.圖中 ED=DB 100m ，由△CFO與 ΔCDB 相似，得 （204號 DB由ΔAOF 與 ΔAED 相似，得

由 DE=DB ，將上兩式整理得

將 x₂=100m，x₃-x₁=100m 代人上式，解得

所以通訊員一共走過的路程

圖3

例4如圖4所示是在高速公路上用車載超聲波測速儀測量車速的示意圖.測速儀發出并接收超聲波信號，根據發出和接收到的信號的時間差，測出被測物體的速度.

圖中 P₁，P₂ 是測速儀發出的超聲波信號， n₁…n₂ 是 P₁，P₂ 由汽車反射回來的信號.設測速儀勻速掃描， P_lΩ?P₂ 之間的時間間隔 Δt=1.0s ，超聲波在空氣中傳播的速度取 v=340m?s^-1 ，若裝有車載超聲波測速儀的警車的速度大小為 v₁=10m?s^-1 ，被測汽車勻速行駛，則被測汽車的速度大小 σ_v2 是多少？

作出被測汽車和警車的 s–t 圖像（如圖5），圖中 AB 表示被測汽車的運動情境， OC 表示裝有車載超聲波測速儀的警車的運動情境， OAD 和EBC分別表示測速儀發出的超聲波信號和由汽車反射回來的信號的運動情境，即對應 P₁ 和 n₁，P₂ 和n₂ .由題意可知圖5中 分別表示兩次超聲波信號發出時警車的位置與被測汽車接收到超聲波信號時位置的間距，則 2x₁=v₁t₁+ vt₁ ，將 v₁=10m?s^-1 ， v=340m?s^-1 . t₁=0.4s ，代人上式得 x₁=70m

圖5

同理 2x₂=v₁t₂+vt₂ ，得 x₂=52.5m ，被測汽車兩次反射超聲波脈沖的時間內所行駛的距離

Δx=x₁-x₂-v₁Δt=

70m-52.5m-10×1m=7.5m.

對應的時間 ，故被測汽車的車速

2利用“位移一時間”圖像推導多普勒效應公式

高中學習不要求推導多普勒效應公式，只要求定性了解當波源與觀察者有相對運動時觀察者收到的波頻率會發生改變.為了深化理解，可以用“位移一時間\"圖像推導多普勒效應公式.

例5 如圖6所示，聲源 s 和觀察者 A 都沿 x 軸正方向運動，

圖6

相對于地面的速率分別為 v_s 和 v_A .空氣中聲音傳播的速率為 v_P ，設 v_ASP ，空氣相對于地面沒有流動.

（1）若聲源相繼發出兩個聲信號，時間間隔為 Δt ，請根據發出的這兩個聲信號從聲源傳播到觀察者的過程，確定觀察者接收到這兩個聲信號的時間間隔 Δt^′ ：

（2）請利用（1）的結果，推導此情形下觀察者接收到的聲波頻率與聲源發出的聲波頻率間的關系式.

（1）作聲源 s 、觀察者 A 、聲信號 P（P_i 為首 發聲信號， P₂ 為再發聲信號）的位移一時間 圖像，如圖7所示，則圖線的斜率即為它們的速度 v_s ！ v_A?v_P ，則有

兩式相減可得 v_A?Δt^′-v_S?Δt=v_P?（Δt^′-Δt） ， 解得

圖7

（2）設聲源發出聲波的振動周期為 T ，由以上結論，觀察者接收到的聲波振動的周期為 T'=Up－UsT .由此可得，觀察者接收到的聲波頻率與聲源發出聲波頻率間的關系為f'=p

3總結

由以上例題可以看出數理融合在中學物理教育中十分重要，數學工具和方法在物理學中扮演著至關重要的角色.利用兩門學科的知識互通性，將物理圖像的關系轉換為數學圖像定量描述，即物理模型數學化.通過數學的數形結合方法對應得出物理圖像參量的含義，利用兩門學科知識耦合探討同一問題，學生可以更深入地理解物理概念和定律，提高分析能力，培養科學思維能力.數理融合鼓勵學生在不同學科之間建立聯系，促進跨學科學習.這種綜合性的學習方式有助于學生形成更全面的認識，理解不同學科之間的內在聯系，增強學習動機，提升解決復雜問題的能力，最終實現提升物理學科核心素養的目的.

（完）