探尋“滑輪兩側(cè)”輕繩張力相等的條件

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

中學(xué)物理提到滑輪兩側(cè)輕繩上的張力，物理教師通常會(huì)總結(jié)出一個(gè)這樣的結(jié)論：繞過滑輪兩側(cè)輕繩的張力處處相等，有些參考書叫輕繩形成的“活結(jié)”兩端力相等。這個(gè)結(jié)論通常是解題的重要突破點(diǎn)。那么，滑輪兩側(cè)的力真的一定相等嗎？它成立的條件是否只是不計(jì)滑輪的質(zhì)量？對(duì)此，以下從理論出發(fā)進(jìn)行探討。

1輕繩與滑輪之間摩擦足夠，兩者無打 滑現(xiàn)象

情境設(shè)滑輪為一勻質(zhì)圓盤，質(zhì)量為 Ω_m ，半徑為 r ，軸對(duì)滑輪摩擦形成的力矩 M 為一恒量（圖1），已知滑輪兩側(cè)物體的質(zhì)量分別為 m₁ 和 m₂ （其中 m₁gt;m₂ ，物體運(yùn)動(dòng)過程中輕繩與滑輪保持相對(duì)靜止（即無打滑現(xiàn)象）。求物體的加速度和滑輪兩側(cè)輕繩的張力。

其中， ，I 為輪對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

分別以物體 m₁ 和 m₂ 為對(duì)象（兩物體加速度大小相等），根據(jù)牛頓第二定律有

m₁g-T₁=m₁a

T₂-m₂g=m₂a

由于輕繩與滑輪之間無打滑現(xiàn)象

聯(lián)立（1）—（5）式解得

圖1輕繩、滑輪無打滑運(yùn)動(dòng)

分析設(shè)兩側(cè)輕繩的張力分別為 T₁ 和 T₂ ，物體的加速度為 Ψ_a ，滑輪的角加速度為 β 以滑輪和兩側(cè)輕繩為對(duì)象，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理有[2]

（T₁–T₂）r–M=Iβ

根據(jù)計(jì)算結(jié)果可知，一般情況下滑輪兩側(cè)輕繩張力不相等（ ）。要讓兩側(cè)輕繩張力相等0 （T₁=T₂） ，從上面數(shù)學(xué)結(jié)果看需滿足以下兩種特殊情形。

情形1兩物體質(zhì)量相等 m₁=m₂=m₀ ，且軸對(duì)滑輪的摩擦力矩為零 M=0 （即不計(jì)軸與滑輪間的摩擦情況）。當(dāng)同時(shí)滿足以上兩個(gè)條件，上述三個(gè)式將變?yōu)?a=0，T₁=T₂=m₀g ，對(duì)應(yīng)物理特殊情境為滑輪兩側(cè)懸掛質(zhì)量相等的物體而處于靜止?fàn)顟B(tài)。

情形2軸對(duì)滑輪的摩擦力矩為零 M=0 （即不計(jì)軸與滑輪間的摩擦情況）且滑輪的質(zhì)量不計(jì)m=0 （實(shí)際上是滑輪的質(zhì)量遠(yuǎn)小于兩側(cè)物體的質(zhì)量）。當(dāng)同時(shí)滿足以上兩個(gè)條件，上述三個(gè)式將變?yōu)?/p>

對(duì)應(yīng)物理情境為滑輪兩側(cè)物體做勻加速運(yùn)動(dòng)，這與中學(xué)物理質(zhì)點(diǎn)力學(xué)方法求解的答案完全相同。因此，中學(xué)物理常見的滑輪模型是在此情形下理想化構(gòu)建出來的。

2輕繩與滑輪間出現(xiàn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，兩者有打滑現(xiàn)象

情境質(zhì)量分別為 m₁ 和 m₂ （其中 m₁gt;m₂ 的兩物體用輕繩懸掛在滑輪兩側(cè)，輕繩與滑輪的摩擦因數(shù)為 μ ，物體運(yùn)動(dòng)過程中，輕繩與滑輪間發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)（圖2）。求物體的加速度和兩側(cè)輕繩的張力。

兩邊定積分

可得 T₁=T₂e^μθ

聯(lián)立方程（1）（2）（3），結(jié)合 θ=π ，解得

圖3輕繩微元的受力圖

圖2輕繩、滑輪有打滑運(yùn)動(dòng)

分析設(shè)兩側(cè)輕繩的張力分別為 T₁ 和 T₂ ，物體的加速度為 Ψ_a ，分別以物體 m₁ 和 m₂ 為對(duì)象（兩物體加速度大小相等），根據(jù)牛頓第二定律有

m₁g-T₁=m₁a

選一段與滑輪發(fā)生滑動(dòng)的繩子為微元，受力情況如圖3所示。

T₂-m₂g=m₂a

由于輕繩的質(zhì)量忽略不計(jì)，則有以下方程：

切線方向

法線方向

化簡為 dT=μdN，Tdθ=dN ，即有

根據(jù)計(jì)算結(jié)果，此模型下兩側(cè)輕繩張力也不相等，二者的比值為 。要使滑輪兩側(cè)輕繩張力相等（ T₁=T₂） ，從上面的數(shù)學(xué)結(jié)果看需滿足以下兩種特殊情形。

情形1當(dāng) θ?0 （包絡(luò)角很小），兩側(cè)輕繩張力 T₁=T₂e^μθ=T₂e⁰=T₂ 。此情形為點(diǎn)與點(diǎn)接觸沒有包絡(luò)角（即滑輪沒有改變力的方向），但真實(shí)情況滑輪的包絡(luò)角應(yīng)該為 θ=π ，這與上述實(shí)際物理事實(shí)不符。

情形2當(dāng) μ?0 （不計(jì)滑輪與輕繩間的摩擦），此時(shí)上述三式變?yōu)?/p>

這與中學(xué)物理質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中求解的答案也完全相同。由于不計(jì)繩與滑輪的摩擦，即使滑輪有質(zhì)量或者軸對(duì)滑輪有摩擦力矩，滑輪都處于靜止?fàn)顟B(tài)，也就是說滑輪在此種情形下沒有傳動(dòng)效果。這也是中學(xué)物理常見的理想化滑輪模型之一。

3 小結(jié)

綜上所述，關(guān)于“滑輪兩側(cè)\"輕繩張力是否相等的條件，中學(xué)物理可以給出兩種預(yù)先假定：一是不計(jì)滑輪的質(zhì)量且不計(jì)軸對(duì)滑輪的摩擦（輕繩與滑輪間沒有打滑現(xiàn)象），二是不計(jì)滑輪與輕繩間的摩擦。前者承認(rèn)滑輪作為轉(zhuǎn)在物理題目中也是比較常見的。

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭泰玉，王文濤.高觀點(diǎn)下的中學(xué)物理問題探討（第2版）[M].北京：高等教育出版社，2018：32-34.

[2]繆鐘英，羅啟蕙.力學(xué)問題討論[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2018：262-265.

（欄目編輯 蔣小平）