求解變力做功大小問題的幾種方法

方法1 微元法

在對問題的分析過程中，將整個運動過程細分為許多微小的階段，把每個階段內的力近似地看成恒力，然后利用恒力做功公式 W=Fscosθ 計算每個微元的功，最后通過求和，即可求出總功.

例1如圖1所示，在水平面上，有一根長度為6m 的輕繩，其一端固定在 O 點，另一端連接著一個質量為 m=2.0kg 的小球.現對該小球施加一個沿水平面大小不變的力 F 使其沿著圓弧MN運動，力F 方向始終與小球運動方向成 37^° 角，大小始終為10N.已知小球與水平面之間的動摩擦因數為 μ= 0.2，空氣阻力忽略不計，重力加速度取值為 g= 10m/s² ，sin37^°=0.6，cos37^°=0.8 ，則（ ）

（A）力 F 對小球做功為 16πJ （B）力 F 對小球做功為 8πJ （C）小球克服摩擦力做功為 16πJ （D）小球克服摩擦力做功為 4πJ ·

解設每小段上做的功為 W₁，W₂，…，W_n ，因為拉力 F 大小不變，方向始終與小球的運動方向成37^° 角，

所以 W₁=Fl₁cos37^°，W₂=Fl₂cos37^°，…，W_n= Fl_ncos37^°

故 W_F=W₁+W₂+…+W_n=Fcos37^°（l₁+ =16π] ，（A）正確，（B）錯誤.

同理可得小球克服摩擦力做的功 W_f=μmg · ，（C）（D）錯誤.

評析合理選取微元是運用微元法的關鍵，要確保所取的微元足夠小，確保微元內變力可視為恒力，同時要準確確定每個微元中力和位移的關系，以及計算總功時的邊界點.

方法2 圖像法

建立 F-x 圖像，根據圖像與坐標軸圍成的面積來求解變力做功.若圖像所圍成的是規則圖形，可以直接利用幾何公式求面積；若圖像所圍成的圖形不規則，則可以采用分割、近似的方法估算面積.

例2水平面上有一物體在力 F 的作用下沿著固定方向運動，力 F 與位移 x 之間的關系圖像如圖2所示，則力 F 對物體做功為（ ）

（A）3J. （B）6J. （C）7J. （D）8J.

解利用 F-x 圖像中面積的幾何意義可知，力 F 對物體做功等于圖線與 x 軸所包圍面積的代數和.物體運動到 4m 時所做的功為： ×2J=7J ，物體在 4～5m 位移內所做的功為：

全過程中 W=W₁+W₂=7J-1J=6J ，（B）正確.

評析若題中已給出 F-x 圖像，則只需計算圖形所圍成的面積大小即可.同時要注意區分圖像在坐標軸上方和下方所代表的意義，上方表示力做正功，下方表示力做負功，總功是各部分面積的代數和.

方法3 轉化法

利用功能定理、功能關系或能量守恒定律等將變力做功問題轉化為其他易于求解的問題.例如，通過動能定理 W_a=ΔE_k ，可將求變力做功轉化為求物體動能的變化量；或者利用能量守恒定律，將變力做功與其他形式能量的變化聯系起來.

例3如圖3所示，在粗糙水平地面上，有一物體通過繞過光滑定滑輪的輕繩相連，在輕繩的另一端施加大小恒定的拉力 F ，使得物體從 A 點開始由靜止開始運動.在物體運動過程中， AB，BC 段拉力F 做功分別為 W₁，W₂ ，已知 AB=BC ，物體與地面之間的動摩擦因數不變，則（ ）

（A）摩擦力增大， W₁gt;W₂ ：（B）摩擦力減小， W₁2 ·（C）摩擦力增大， W₁2 （D）摩擦力減小， W₁gt;W₂

解物體受力分析如圖4所示，由平衡條件得： F_?N+Fsinθ=mg ，

滑動摩擦力 F_f=μF_N=μ（mg-Fsinθ） ，物體從 A 向 C 運動的過程中，輕繩與水平方向的夾角 θ 增大，所以物體所受滑動摩擦力減小，由于物體被繞過光滑定滑輪的輕繩系著，拉力大小不變，所以拉力做的功等于輕繩對物體所做的功，力 F 做功 W= FΔl，Δl 表示輕繩的長度變化，物體從 A 點運動到B 點時，繩長的變化為 Δl₁ ，從 B 點運動到 C 點時繩長的變化為 Δl₂

已知 AB=BC ，由幾何關系可知 Δl₁gt;Δl₂ ，因此 W₁gt;W₂ ，（D）正確.

評析轉化法需要準確分析物體的受力情況和運動過程，確定哪些力做功，以及物體的能量如何轉化.同時，要正確選擇合適的定理或定律進行轉化，避免出現能量轉化關系分析錯誤或定理應用條件不滿足的情況.

4結語

本文聚焦于求解變力做功的問題，系統闡述了三種有效的方法.微元法通過將變力做功過程分割為眾多微小過程，化變力為恒力來求解；圖像法借助力一位移圖像 b 所圍成的面積來直觀呈現變力做功的數值；轉化法巧妙地將變力做功問題轉化為已知規律的恒力做功或其他可求解的形式.

參考文獻：

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