借助函數單調性解答函數類壓軸題

壓軸題既考查我們對數學知識的掌握情況，又檢驗數學思想方法的運用能力與數學活動經驗的積累水平。作為核心解題工具，函數單調性在壓軸題中具有基礎性與統領性的功能，它能揭示函數變化趨勢，劃定關鍵區間，是解決最值、不等式及參數范圍問題的重要依據。本文將探討如何通過導數判斷增減性、如何應對復雜函數結構，以及如何結合圖像與邏輯實現關鍵突破，以期為函數類壓軸題提供可參考的解題路徑。

一、梳理單調性分析流程，明確解題思路

在高考函數類壓軸題的解題過程中，函數單調性的分析往往起著指明解題方向的重要作用。許多以最值判斷、不等式構造、參數范圍求解為核心指向的問題，實際上都可歸結為對函數變化趨勢的刻畫與利用。因此，形成一套規范、系統的單調性分析流程，是提升解題能力的關鍵方法之一。單調性分析的基本流程主要包括以下四個方面：明晰函數結構與定義域、求導并化簡導數表達式、判斷導數符號并劃分增減區間、總結單調性結構。為進一步說明該分析流程的具體應用，現引入以下典型例題。

例題1：已知函數 f（x）=x³-3x+1 試分析其單調性，并結合圖像判斷函數在不同區間內的最值分布。

解析：

函數 f（x）=x³-3x+1 為三次整式函數，定義域為R，計算導數得：f^′（x）=3x²-3=3（x²-1） 令導數為零，解得臨界點為 x=-1 和x=1 。分析導函數符號得：

當 xlt;-1 時， f^′（x）gt;0 ，函數遞增；當 -1′（x）lt;0 ，函數遞減；當 xgt;1 時， f^′（x）gt;0 ，函數再次遞增據此可知，函數在（ -∞ ， ^-1 ）U（1，+∞ ）上單調遞增，在（-1，1）上單調遞減。函數在 x=-1 和 x=1 附近達到局部極值點。此結論可為后續最值求解或參數取值范圍分析提供直接支持。

函數 f（x） 及其導函數的圖像變化趨勢如圖1所示，可輔助我們理解單調性結構。

由該實例可見，完整的單調性分析流程不僅能揭示函數的整體變化趨勢，還能為壓軸題中關鍵步驟的推進提供清晰的結構支撐。系統化的分析路徑能強化問題的表達邏輯，優化解題過程中的判斷依據，為復雜函數問題的求解打下穩固的理論基礎。

二、利用導數判斷增減性， 鎖定關鍵區域

通過對導函數符號的分析，我們不僅可以迅速判斷函數在不同區間的單調性，還能據此鎖定問題所需的最值點、交點位置或參數的有效取值范圍。合理運用導數，是將函數分析過程轉化為數學模型判斷的關鍵步驟。導數在鎖定關鍵區域中的應用主要體現在以下三個方面：導數符號與函數單調性的對應關系、導數在參數化問題中的區間限定功能、導數圖像與單調性結構的直觀輔助。為說明導數如何鎖定關鍵區間，特列出一組典型問題變式作為參考。

圖1函數 8（x-2） 及其導函數的圖像變化趨勢

例題2：設函數 f（x）=x³-3ax ，若 f（x） ）在區間 [-2 ，2]上單調遞增，求實數 a 的取值范圍。

解析：

首先計算導數：

f^′（x）=3x²-3a

函數在[-2，2]上單調遞增，即要求對任意 x∈[-2 ，2]，均有 f^′（x）?0 。

由于 ，則函數最小值出現在 x=0 時，即：

f^′（0）=-3a?0?a?0

然后考慮最大值點 x=±2 時，即：

f^′（λ±2λ）=3×（λ±2λ）²-3a=12-3a?0? （20 a?4 （20

將兩部分條件綜合，得 a?0 。

但由于函數在區間內必須始終為遞增，導數應恒非負，且不能出現負值，因此最嚴條件應取導函數最小值 ?0 ，即

minx ∈[-2，2]， f^′ a?0

故實數 a 的取值范圍為 a?0 。

該題通過對導函數符號的整體判斷，實現了對參數區間的有效限定，體現出導數分析在解答函數壓軸題中的關鍵作用。導數與單調性之間的邏輯鏈條，有助于我們明確變量與區間之間的關系，構建嚴密的推理路徑，從而提升整體解題過程的條理性與準確性。

三、借助分類討論與結構分析應對復雜條件

函數類壓軸題往往結構復雜、條件繁多。其中，有一類典型問題往往變量與參數交織出現、定義域受限或函數形式在不同區間內差異顯著。在此類題型中，單一的分析路徑往往難以覆蓋全部情形，需借助分類討論與結構分析相結合的方法，分層解構題設，厘清邏輯鏈條，進而實現解題的逐步推進。接下來以2023年新高考Ⅰ卷第19題為例，對分類討論在解題中的應用進行說明。

例題：已知函數 f（x）=a（e^x+a）-x （1）討論 f（x） 的單調性；（2）證明：當agt;0時，f（x）gt;2na+2。

解析：（1）求導得： f^′（x）=ae^x-1 為討論 f（x） 的單調性，需分析 f^′（x）

的符號。當 ae^x-1gt;0 即 時，得 ，當 時， f^′（x）=0 ：因此：當 時 f^′（x）lt;0，f（x） 單調遞減;當 時 ，f^′（x）gt;0，f（x） 單調遞增;（2）證明 對任意實數x成

立（當 agt;0 ）由于 f（x） 在 處取得極小值，故

只需證明 代人 ： 所以要證明： 通過構造函數法分析左邊表達式：設 ， agt;0 （2對 求導得： 令 g^′（a）=0 ，解得臨界點： 討論可知：當 agt;1 時， 單調遞增;當 a=1 時， 因此 agt;0 時， 恒成立。故不等式得證，即：當 agt;0 時，有 恒成立。本題通過對函數導數的分析，結合函數的

結構特征，采用分類討論的方法，逐步確定函數的單調性和參數的取值范圍。該過程體現了分類討論與結構分析在處理復雜條件下的重要作用，能有效提升函數壓軸題的解答效率與準確性。

四、借助函數單調性解答函數類壓軸題的綜合路徑

要攻克以函數單調性為考查核心的壓軸題，關鍵在于將規范的分析流程、精準的模型應用與靈活的結構化思維實現高效協同。首先，我們必須樹立牢固的解題意識，嚴格遵循“流程化明晰定義域-求導并化簡 - 判斷導數符號 - 劃分單調區間”這一標準化路徑。如例1所示，上述四步流程不僅是分析任何函數單調性的基礎框架，還是我們學習所有復雜推理的邏輯起點，它能確保分析過程的嚴謹性與系統性。

在此基礎上，我們要深刻理解導數與單調性之間的對應關系，并能將其轉化為具體的數學模型來解決問題。例如，當遇到含參函數的單調性問題時（如例2），應迅速將“函數在某區間單調”這一抽象描述，精準地轉化為“導函數在該區間內恒為正（或恒為負）”的代數模型，進而通過求解導函數的最值來限定參數范圍，實現對關鍵區域的鎖定。

然而，壓軸題的挑戰往往在于其條件的復雜性和多變性。此時，我們必須啟動不同的思維方式，尤其是運用結構化分類討論這一核心策略。面對變量與參數交織、函數形式分段等復雜結構（如2023年新高考Ⅰ卷19題），不能寄望于通過單一路徑解決問題。正確的做法是，以影響導函數符號的關鍵因素（如參數的正負、零點的位置等）為標準，對問題進行邏輯分層與解構。在每個確定的分類下，回歸到標準化的分析流程，利用模型化工具進行求解，最終再將各分支的結論進行整合。