數列在解物理題中的應用

在涉及多個物體和多個過程的問題中，逐個分析每個過程有時不太現實.在這種情況下，我們可以著重分析過程之間的聯系，把握其中的規律，并總結適用于各個過程的通用表達式.隨后，借助等差數列或等比數列的相關知識進行求解，從而實現問題的有效解決.

1利用數列解物理問題的方法與步驟

利用數列解答物理問題的前提是利用遞推法推導規律性的結論.而遞推法是一種通過分析具體問題、建立遞推關系，并利用該關系求解問題的方法.當問題涉及多個相互關聯且有規律的對象時，應根據題目特點運用數學思維對問題進行歸類，然后推導出通式.具體步驟如下：首先，對單次作用的情況進行分析，得出初步結論；隨后，基于多次作用的重復性和共同特征，將結論進行推廣；最后，結合數學知識進行求解.以下是應用遞推法的主要步驟：

1)建立遞推關系一—利用物理規律推導出第一次相互作用中（或第一個過程中）物理量之間的關系或相鄰兩次作用中的遞推關系；

2)遞推關系有何性質 —尋找規律，得出第 n 次相互作用的遞推關系；

3)如何求解遞推關系—一結合數學知識（如數列)求解.

2數列在物理問題中的應用

2.1運用等差數列公式

等差數列通項公式： a_n=a₁+(n-1)d ，其中 a₁ 為首項， n 為項數， d 為公差.等差數列求和公式： S_n= ，其中 a_l 為首項， n 為項數， a_n 為尾項.

例1 N 個質量相同的滑塊等間隔地靜置于傾角為 θ 的固定斜面上，如圖1所示，相鄰兩滑塊之間的距離均為 L ，滑塊與斜面間的動摩擦因數均為 μ= tan θ 現給最上端的滑塊1一沿斜面向下的初速度v₀ ，運動距離 L 后滑塊1和滑塊2發生正碰，兩滑塊粘在一起運動距離 L 時與滑塊3相碰，三個滑塊粘在一起運動距離 L 時與滑塊4相碰…已知滑塊間的碰撞時間極短，求：

...cicnicien Tm

(1)第一次碰撞和第二次碰撞系統損失的動能之比；(2)滑塊1開始運動直到與第 N 個滑塊碰撞經歷的時間.

(1)因 μ=tanθ ，滑塊1沿斜面勻速下滑，以速度 O₀ 與滑塊2發生完全非彈性碰撞，根據動量守恒定律得

mv₀=2mv₁.

第一次碰撞損失的動能

1、2兩滑塊勻速下滑與滑塊3發生完全非彈性碰撞，根據動量守恒定律得

2mv₁=3mv₂.

第二次碰撞損失的動能

兩次碰撞損失的動能之比

ΔE_kl:ΔE_k2=3:1.

(2)與 N-1 個滑塊碰撞全過程動量守恒，有mv₀=(N-1)mv_N-1 ，故 ，因每次碰撞結束后滑塊均勻速下滑，故整個過程經歷的時間

在解答本題第（2）問時，通過分析可以發現每個滑塊的運動時間呈現等差數列關系.因此，可以直接將所有滑塊的運動時間相加，并運用等差數列的求和公式來計算總時間.在解題過程中，關鍵在于識別問題中存在的等差數列物理量，并靈活運用等差數列的相關公式進行求解.

2.2運用等比數列公式

等比數列通項公式： a_n=a₁q^n-1 ，其中 a₁ 為首項， n 為項數， q 為公比.等比數列求和公式： S_n= ，其中 a_?1 為首項， n 為項數， q 為公比.

例2如圖2所示，傾角 θ=30^° 的光滑斜面底端固定一塊垂直于斜面的擋板.將足夠長的長木板 A 靜置于斜面上， A 上放置一小物塊 B 且 B 不會滑離

A ，初始時 A 下端與擋板相距 L ，現無初速度釋放 A 和 _B.A 和 B 質量均為 Ω_m ，它們之間的動摩擦因數 μ=

力加速度為 g .求：

(1)A 第一次與擋板碰前瞬間的速度大小 v₁ (2)A 第二次與擋板碰前瞬間的速度大小 v₂ ：(3)從開始釋放到最后的整個過程摩擦產生的熱量.

(1)A，B 一起下滑有 2mgsin30°=2ma_# ，得 g，則v1=√2a共L=√gL.

(2)第一次碰撞后

方向沿斜面向下，而

方向沿斜面向上.

設碰后經過時間 t，A，B 速度相同且為 ，則v₃=v₁-a_Bt=-v₁+a_At ，解得 .此時 A 向上運動的位移大小為 s_A=v₁t- ，則第二次與擋板相碰時有 ?_V2=

(3）分析可知最終 A 下端停在擋板處， B 停在 A 某處，則有

Q=μmgcos30^°(Δs₁+Δs₂+Δs₃+?+Δs_n)， 第一次 A 與擋板相碰，到 A，B 速度相等， B 相對于A ，相對初速度 v₀=v₁-(-v₁) ，相對末速度為0.

相對加速度

根據

2a_BAΔs₁=0-v₀²，

解得

同理

所以 ，故 Q= μmg cos 30^°(Δs₁+Δs₂+Δs₃+?+Δs_n)=3mgL

在本題中， A 和 B 會與擋板發生無窮多次碰撞.每次碰撞后，它們的速度與前一次碰撞的速度之間存在特定關系，而在每次碰撞后到二者速度相等的過程中，相對位移構成一個等比數列.我們可以利用等比數列求和公式來計算相對位移，從而進一步求得摩擦產生的熱量.在解決此類問題時，關鍵在于敏銳地發現物理量中存在的等比數列關系，并靈活運用等比數列的相關公式.

在處理涉及數列的物理習題時，我們需要運用所學的物理知識來求解第一、第二和第三次方程，并通過不完全歸納法找出規律性的結論.同時，要善于運用等比、等差數列的知識進行求解.通常，這類問題包含多個變量，但總會有一個或多個物理量呈現出等比或等差的排列規律.在解題過程中，我們要勇于提出假設并加以驗證，即使嘗試失敗，也要勇于重新嘗試.這類習題通常難度較大，但若能熟練掌握，將為我們在考試中取得優異成績增添重要砝碼.

（完）