促進問題意識發展的數學課堂教學研究

學貴有疑，有疑才有思，有思才有問，有問才有悟，這是做學問的真諦.想要提升學生的解題能力，首要任務就是培養學生的問題意識．問題意識屬于一種基本認知能力，它對學生思維的發展具有決定性作用，更是促進創新意識發展的核心要素.充分激發學生與生俱來的好奇心，著重培養其問題意識，不僅能夠推動深度學習的有效開展，更能促進核心素養在學生心中落地生根．同時，問題意識還是促進創新的基礎，正如愛因斯坦所言：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要.\"1新課標也強調“四能\"的培養，其中發現與提出問題就是不可或缺的一部分．為此，本研究以一道數列題的同課異構為例展開分析與思考.

原題已知 a₁，a₂，a₃，…，a_n 是一個各項均不為0的等差數列，且 n≥4 ，公差 d≠0 ，將該數列中的某一項刪除，在其他順序不變的情況下，新的數列為一個等比數列.

（1）分析 時 的值是多少；

（2）n可能的值有哪些？請寫出來.

本題適宜在高一學生完成數列知識復習后講解，此階段的學生已積累了一定的解題經驗．不同教師采用了各異的教學方法，筆者選取其中兩種，通過羅列與類比分析，探究不同教學方法對學生問題意識培養的影響.

教學過程簡錄

1.教師甲的教學

借助多媒體展示原題，并給予學生5分鐘的思考時間，而后與學生進行互動.

師：關于本題，哪位同學說說你的解題思路？

生1：根據題設條件可知，當 n=4 時， a₁，a₂，a₃，a₄ 是一個各項均不為0的等差數列，刪掉其中的一項，就要進行分類討論了.其中刪掉的項為 或a₄ ，剩下的三項要同時滿足等差與等比的條件，那么公差 d=0 ，顯然與題設條件不符，因此不可能刪除a或a4剩下的只有 或 可以被刪除，因為存在兩種情況，所以還要繼續分類討論.

師：表達得非常完整，關于 ?_a2 或 a₃ 的刪除，該怎樣分析呢？

生2：假設刪掉的是 ;a₂ ，那么 a₁，a₃ ，a₄ 三項構成一組等比數列，因此 （a₁+ （20 2d）²=a₁（a₁+3d） ，經化簡得 ；如果刪掉的是 a₃ ，那么 a₁，a₂，a₄ 三項構成一組等比數列，因此（a+d）2=a（a+3d） ，經化簡得 綜上來看， 或 （20

師：思路很清晰，結論也沒有問題，就是在描述上還缺乏嚴謹性.

生3：他沒有檢驗當 的值為-4或1時，與之對應的三項是否能夠組成一個等比數列.

師：不錯！數學是一門嚴謹的學科，任何時候都要注重周密性，來不得半點馬虎.接下來，哪位同學愿意與大家說說第二問的解題思路？

生4：在項數大于5時，刪掉其中的任意項，剩下的項都會出現原數列中連續的三個項，如果剩下的數列滿足等比條件，那么 d=0 ，而題設條件明確 d≠0 ，因此項數大于5的情況與題意不符．所以，本題僅需考慮項數為5的情況.

師：非常好！那么在5項的情況下，該如何分析呢？

生5：關于數列 a₁，a₂，a₃，a₄，a₅ ，假設刪掉 a₁ 或 a₂ 或 a₄ 或 a₅ ，均存在 d=0 的現象，因此只能考慮刪除 a₃ ，剩下的a₁，a₂，a₄，a₅ 構成一個等比數列，則 |a₁（a₁+ 4d）=（a₁+3d）（a₁+d） ，解得 d=0 ，顯然與題意不符，由此可確定 n=4

師：很完整，通過以上解題分析，你們覺得解決這道題的核心思想是什么？

生6：分類討論.

師：不錯！值得注意的是 ^?a，b，c 等比”和“ ?b²=ac \"并非等價關系，并要明確同時滿足等差與等比的數列為常數列，一旦明確這點，便能為解題提供一些幫助.

評析教師甲在講授這道題時，一共用時15分鐘，學生配合度高，課堂氛圍活躍．學生的語言表述較為簡練、規范，充分展現了教師良好的教學水平和學生扎實的知識基礎.在教學過程中，教師鼓勵學生自主解題，體現了課堂的“生本”理念，符合課標要求．當學生自主獲得 的值為-4或1時，教師及時引導學生進行檢驗，引發學生反思．從以上幾點來看，關于本題的解題教學是成功的.

2.教師乙的教學

師：已知數列 ^a，b，c 同時滿足等 差數列與等比數列， d 為公差

生（眾）： d=0.

師：看來大家都非常熟悉這個結論，在解題中，這個小小的結論有可能會發揮大作用哦！請大家來看這樣一道題（PPT展示原題）．接下來，我們一起探索這道題.

探究：一個項數為4的等差數列，在 d≠0 的條件下，去除其中的一項，在原順序不變的情況下剩下的項可否為等比數列？

學生自主思考，在此基礎上，師生互動交流如下.

生7：將等差數列設為a，a，a，a，且滿足 d≠0 ，那么去除的項則需分類討論：如果去除的項為 a₁ ，那么剩下的 a₂，a₃，a₄ 構成一個等比數列，因此a₁（a₁+3d）=（a₁+2d）²，d=0 （與題意不符）;如果去除的項為 ，那么 d=0 （與題意也不符）．因此，只能去除 a₂ 或 a₃ 來分析.

師：不錯！關于去除 a₂ 或 [a₃ ，具體是什么情況呢？

生8：如果去除的是a，那么a，a，a₄ 構成一個等比數列，因此 （a₁+2d）²= a₁（a₁+3d） ，經化簡得 ，在這種情況下的數列是： -4d，-3d，-2d，-d; 如果去除的是 ，那么 a₁，a₂，a₄ 構成一個等比數列，因此 （a₁+d）²=a₁（a₁+3d） ，經化簡得 ，數列為： d，2d，3d，4d. （204號綜上分析，可知當 或1時，去除其中的一項，所構成的數列在順序不變的情況下屬于等比數列.

師：非常好！現在大家已經具備了一定的解題經驗，可否自主提出一個與探究相似的問題，讓我們一起來研究呢？

生9：還可以探索項數為5的等差數列.

師：這是個不錯的想法，具體該怎么思考呢？

生10：設數列為 a₁，a₂，a₃，a₄，a₅ ，與條件相符，發現刪除 a₁ 或 a₂ 或 a₄ 或 a₅ ，d 值均為0（與題意不符）;若去除的是a₃ ，則 a₁，a₂，a₄，a₅ 構成一個等比數列，因此 a₁?a₅=a₂?a₄ ，也就是 a₁（a₁+4d）= （a₁+3d）（a₁+d） ，解得 d=0 （與題意不符），顯然也不能構成等比數列.

師：思路非常清晰！除此之外，還能提出什么問題呢？

生11：這就多了，比如研究項數為6，7，8，的情況.

師：真的可以嗎？

生12：不行，當項數大于5時，刪掉任何一項都存在 d=0 的情況，因此沒有研究價值.

師：非常好！現在請大家結合你的發現自主編擬問題.

生13：已知某等差數列的項數 Φ_n （204 （n?5） ，除掉其中的一項之后，在排列順序不變的情況下，獲得的新數列為一個等比數列，那么該等差數列的公差 d= （結論為0）

生14：已知某等差數列的公差d≠0 ，除掉該數列中的一項，在排列順序不變的情況下獲得一個等比數列，那么該等差數列的項數 ?_n=. （2（結論為4）

師：優秀！生14所提出的問題便是我們本來要探索的問題．通過以上分析，大家可否根據自己的理解提出一些想法？

生15：是不是可以將問題條件中的等差數列與等比數列互換？

師：這是個不錯的主意，那我們就從項數 ，公比 的情況著手探索.

學生獨立思考并在自己本子上書寫思考過程，教師邀請一名學生到講臺上板演.

生16：設數列 a₁，a₂，a₃，a₄ 為等比數列， q≠1. ，如果去除該數列中的 a₁ ，那么 a₂，a₃，a₄ 則構成一個等差數列，因此 a₁q+a₁q³=2a₁q² ，解得 q=1 （與題意不符）;如果去除 ，那么 q=1 （與題意不符）．因此，只能考慮去除 a₂ 或 ?_a3. （2

① 如果去除的項為 ，那么 a₁，a₃ a₄ 三項構成一個等差數列， a₁+a₁q³= 2a₁q² 解得 或爾 （與題意不符）；

② 如果去除的項為 a₃ ，那么 a₁，a₂ a₄ 三項構成一個等差數列， a₁+a₁q³= 2a₁q ，解得 或 （與題意不符）.

綜上分析，可確定 q 值分別為

師：如果我們改變項數，是否存在類似的等差數列？

生17：當 n?5 時，去除等比數列的其中一項，在排列順序不變的情況下獲得一個等差數列，則 q=1.

生18：如果某個等比數列的公比q≠1 ，去除該數列中的任意一項，在排列順序不變的情況下獲得一個等差數列，那么該等比數列的項數 n= （結論為4）

評析教師乙針對本題的教學共耗時半小時．縱觀整個教學過程，教師從一個重要的數學小結論切入，有效激發了學生的探索欲望．在學生興趣被充分調動后，教師借助多媒體展示問題，這充分彰顯了教學技巧與智慧．課堂中的探究環節由教師精心預設，其內容與初始的小結論緊密關聯、一脈相承；后續探討\"既是等差數列又是等比數列的數列為常數列”這一情況時，再次靈活運用了該小結論．隨著問題的逐步深入，教師積極引導學生自主提出問題、分析并解決問題，這一過程不僅凸顯了以學生為主體的課堂理念，也切實落實了數學“四能\"的培養目標，讓學生充分體會到數學學習的樂趣.

從整體教學過程分析，探究活動是激活學生數學思維的關鍵，也是促使學生真正掌握不同數列性質的核心環節．隨著問題的拓展延伸，學生在教師引導下主動提出將等差數列的研究方法遷移到等比數列，在師生互動、生生交流的熱烈氛圍中，學生不僅實現了深度學習，其問題意識也得到了有效培養與發展.

教學對比

兩位教師針對同一道題的教學所投人的時間存在顯著差異.教師甲的課堂節奏流暢，師生互動良好，解題思路清晰連貫.然而，其教學全程聚焦于題目解答，采用“就題論題”的模式，這種教學方式局限于單一問題的解決，難以充分激發學生的學習潛能，也不利于實現知識的橫向遷移與思維的縱向深化．一旦題目條件發生變化，部分學生便難以靈活運用所學知識，無法做到舉一反三.

教師乙則以解題為基礎，鼓勵學生結合自身認知經驗主動提出問題，并引導學生共同探究這些問題．這種教學設計真正實現了學生思維的發散，讓學生在探索過程中切實感受到數學學習的樂趣，進而有效促進了學生“四基”與“四能\"的發展．盡管該教學模式所需時間較長，但相較于“就題論題\"的方式，其教學成效有著顯著優勢.因此，我們大力倡導教師乙的教學模式，這是培養學生問題意識、推動深度學習的重要路徑.

幾點思考

1.開放情境是激活問題意識的基礎

1969年，科恩（R.C.Cohn）提出開放課堂模型，著重強調了開放式教學的重要意義．學習本質上是學生主動建構新知的過程，開放式教學模式包含開放式的學科情境、現實情境與數學情境.無論采用何種情境模式，都必須以激活學生的問題意識為前提.學生在豐富多元的情境中主動發現問題、提出問題、分析并解決問題，進而形成良好的“四能”，這些正是提升學習能力的基石.

以本節課教師乙的教學為例，其借助開放式教學情境，鼓勵學生在自主解題的基礎上，主動挖掘并提出新的問題，再深入思考、解決這些問題在民主自由的課堂氛圍下，學生積極思索，不僅提出了高質量的問題，還有效推動了思維的深度發展，讓課堂充滿靈動的智慧.

2.保持好奇心是激發問題意識的關鍵

學生是學習的主體，課堂教學應始終秉持\"以生為本\"的理念．但在節奏快、知識容量大的高中數學課堂中，許多教師往往只注重學生的解題效率，卻忽視了想象力與好奇心對學習的促進作用.實際上，保持好奇心是培養學生創新意識的重要基礎為有效激發學生的好奇心，教師可在課堂上為學生預留更多思考空間，創造提出問題的機會，并及時肯定、鼓勵學生的思維閃光點.

綜上所述，要在課堂教學中激發學生的問題意識，需要營造開放、民主的學習氛圍，通過教師的合理引導激活學生思維，促使學生主動思考與表達，這也是落實核心素養的重要途徑.

參考文獻：

[1］過大維，錢軍先．高中數學教學中學生的問題意識及其培養[J].中學數學月刊，2019（1）：5-8.