巧用函數同構，破解指對難題

一、函數同構的背景

函數同構是高中數學中的一個核心內容，其概念描述了兩個不同函數之間存在的一種特定的映射關系，這種關系指的是兩個函數在形狀和性質上具有高度的一致性。這種映射關系通常是通過一種特定的線性變換一—同構變換來實現的。這種變換允許我們將一個函數的形式轉換為另一個函數，同時保持其關鍵的數學特性不變。近幾年的高考題均考查到了運用函數同構來解決問題，所以函數同構是高考熱點。

學生在解決指對問題的過程中往往會遇到以下困難：

（1）遇到指對同時存在的問題無從下手，只能分類討論利用最值分析法解決，由于存在 e^x 和 lnx 求導過程中可能消不掉一些項，所以計算量比較大，過程繁雜；

（2）能想到利用函數同構簡化運算，但是同構的方法不熟練，只能解決較為簡單明顯的同構問題，對于較為復雜的、隱蔽的不會或者不能準確進行同構；

（3）具體解決問題的方向不明確，不確定是用同構放縮還是簡化運算。

利用指對同構解決指對函數問題，這一策略在實踐中被證明是高度有效的。其有效性主要體現在以下幾個方面：一是簡化了計算過程，通過同構轉換，原本煩瑣的計算步驟變得直觀且簡潔；二是降低了問題的難度，有些指對函數問題在原始形式下難以入手，經過同構處理后，轉化為更易于解決的形式；三是提高了解題效率，通過減少計算量和降低難度，自然能夠更快地得到問題的答案。

2023年新高考Ⅰ卷的第19題就可以運用函數同構的方法解決，下面以該題為例進行分析，探尋函數同構的一般方法。

例題已知函數 f（x）=a（e^x+a）-x ，證明：當 agt;0 時， ? 。

問題分析： f（x）=a（e^x+a）-x 中 ae^x 可轉化為 e^x+lnα ，其中內層函數為 ? ，不等式可轉化為? ，內外層形式同構則需要再出現 ? 這種結構形式進行變形，則繼續轉化為 ? ，通過觀察? 移到左邊一個1左右同構繼續轉化為 e^x+lna-（x+ ? 因 e^x+lna-（x+lna+ 1）?0 ，則 ? ? ，得證。

二、基礎知識

一般較為容易的函數同構問題可以直接觀察，指對同構問題則需要掌握以下幾個方面的知識點：

1.對數恒等式：當 ?gt;0 且 a≠1 時， ? 和log_aa^b=b

2.結合指數和對數運算法則可得到下述結論（其中 xgt;0 ）? ? ?

3.（1）積型：

? 可化為 ? ，構造函數

f（x）=xe^x ? 可化為 ? ，構造函數

? ? 兩邊取對數可化為 ?

? ，構造函數 ?

（2）商型 ? 同積型進行同構（3）和差型： ? 同積型進行同構

4.通過四則運算進行添項、拆分和配湊變形為同構式。

對一個高中導數題進行函數同構，關鍵在于：觀察函數的形式是否相似或可轉化，如互為反函數，存在運算關系或者變量可替換的函數形式；分析題目目標是否適合通過同構簡化；構造合適的函數并驗證其性質。

有些題目的條件較為隱蔽，需要嘗試進行同構，進而通過同構變換，將復雜問題簡化為更直觀、更易于處理的形式。同構的過程是確定內層函數，內層形式相近，外層同構轉化，結合性質簡化問題，進而解決問題。合適的同構可大大提高解題的效率和準確性。特別是在處理一些較為復雜的指對問題時，函數同構的策略往往能夠為我們打開新的解題思路。下面主要針對前文例題同構的過程進行分析。

問題解析：當 agt;0 時，要證 ? 只需證： ? 只需證： ? 只需證： ? 令 g（x）=e^x-x-1 ，則 g^′（x）=e^x-1 g^′（x）=0，x=0 g^′（x）lt;0，xlt;0，g^′（x）gt;0，xgt;0 g（x） 在 （-∞，0） 上單調遞減，在 （0，+∞ 上單調遞增? 令 ? ，則 ?

? h^′（x）=0 ，則 _x=1 ? 在（0，1）上 h^′（x）gt;0，h（x） 單調遞增，在 （1，+∞）上 h^′（x）lt;0，h（x） 單調遞減?h（x）_max=h（1）=0，lnx?x-1 ? ，當且僅當a=1 時等號成立此時 ?

? ? 即 ?

三、方法應用

函數同構在解決問題時可以展現出獨特的優勢。它能將看似復雜的問題轉化為易于解決的形式，從而簡化問題結構，降低求解難度。這種轉化不僅保留了原問題的本質特征，還使得我們可以利用已知的、更簡單的數學結構來求解。除了像2023年的高考題這樣通過放縮達到證明不等式的目的，也可以利用同構結合函數性質進行簡化運算。

例1若對任意的 ? ，恒有 a（e^ax+1）gt; ? ，則實數 a 的最小值是多少？

分析：題目存在指對互為反函數的形態，嘗試運用函數同構解決問題，先確定內層函數。內層函數一般是嵌套在外層函數中，可以直接觀察，不好觀察則進行拆分或配湊，如本題中指數部分 e^ax 中 ax 可確定為內層函數。下一步為內外層形式同構，即內層函數確定為 ax ，外層函數也要出現 ax ，則不等式可化為 ax（e^ax+1）gt;2（x²+1）lnx ，不等式兩邊同結構可轉化為 （e^ax+1）lnaxgt;（x²+1）lnx² 0

由對數恒等式得 （e^ax+1）lnaxgt;e^lnx2+1）lnx² ，進而達到同構的效果，再通過換元構造函數 F（t）= t（e^t+1） 或者 ? ，根據單調性即解決問題。

解答： Δxgt;0 ，恒有 ? 則 （e^ax+1）lnaxgt;（x²+1）lnx² 則 （e^ax+1）lnaxgt;（e^lnx2+1）lnx² （20構造函數 ? 則 f^′（t）=（t+1）^′lnt+（t+1）（lnt）^′=lnt+ ? 則 ?

當 0′′（t）lt;0 ，即 f^′（t） 在（0，1）上單調遞減。

當 tgt;1 時 f^′′（t）gt;0 ，即 f^′（t） 在 （1，+∞） 上單調遞增。

則 f^′（t） 在 （0，+∞） 上有且只有一個極值點t=1 ，該極值點就是 f^′（t） 的最小值點。

所以 ? ，即f（t） 在 （0，+∞） 上單調遞增。

若使得對任意 xgt;0 ，恒有 a （e^ax+1）? ? 成立。

則需對任意 xgt;0 ，恒有 f（e^ax）?f（x²） 成立。

即對任意 xgt;0 ，恒有 e^ax?x² 成立，則 ? 在 （0，+∞） 恒成立。

? ，則 g^′（x）= ?

當 0′（x）gt;0 ，函數 g（x） 在（O，e）上單調遞增

當 xgt;e 時， g^′（x）lt;0 ，函數 g（x） 在 （0，e） 上單調遞減

則 g（x） 在 （0，+∞） 上有且只有一個極值點x=e ，該極值點就是 g（x） 的最大值點。

所以 ? 即 ? ，則實數 Ψ_a 的最小值為 ?

本題利用函數同構，可以將問題轉化為更易于解決的形式。這種轉化不僅降低了問題的復雜度，還為學生提供了一種全新的解題思路。2020年新高考 I 卷第21題也可以運用函數同構的思路來解決問題。

例2已知函數 ? ，若f（x）?1 ，求 a 的取值范圍。

分析：題干中 ae^x-1 可化為 ? ，可確定 lna⁺ —1為內層函數，則f（）≥1可轉化為elm+x-1_? ，內外層同構可化為 ? ? ，整體換元即可解決問題。

解答： f（x）=ae^x-1-lnx+lna=e^lna+x-1- ?

等價于 e^lna+x-1+lna+x-1?lnx+x=e^lnx+ lnx （204號

令 g（x）=e^x+x ，上述不等式等價于 g（lna⁺ ? ，顯然 g（x） 為單調遞增函數

：等價于 ? ，即 ?

令 ? ，則 ? ?

h^′（x）=0 ，則 x=1

h（x）lt;0，0

h（x）gt;0，xgt;1

在（0，1）上 h^′（x）gt;0，h（x） 單調遞增，在 （1，+∞） 上 h^′（x）lt;0，h（x） 單調遞減

通過以上案例，我們可以看到函數同構的過程是確定內層函數，內層形式相近，利用拆分、配湊等手段外層同構，結合函數的性質解決問題。同構可大大提高解題的效率和準確性，不僅限于求解方程，還可以應用于求解不等式、最值問題以及證明題等。通過函數同構，我們可以更深入地理解函數之間的關系，為解決數學問題提供新的思路和方法。

四、未來展望

在未來的數學研究領域，指對同構的應用與研究具有廣闊的空間。以下是對未來應用與研究方向的思考：

（一）指對同構在復雜數學問題中的應用

目前，我們已經在一些基礎的指對函數問題中進行了指對同構的有效應用。然而，數學領域中還有許多問題更為復雜，如高階非線性方程、多元函數分析等，有必要關注指對同構在解決這些復雜問題中的潛力和效果。

可以考慮將指對同構的思想應用于高階或非線性方程中，尋找簡化復雜方程的新方法。例如，對于某些包含指數或對數項的高階方程，可以通過指對同構來降低方程的階數或簡化其結構，從而更便于求解。

（二）指對同構與其他數學方法的結合

數學中的許多方法都有其獨特的優勢，將指對同構與其他數學方法相結合，可能會產生更強大的解題工具。例如，可以考慮將指對同構與微積分、線性代數或復變函數等方法相結合，形成新的解題策略。這有助于我們發現新的數學規律，解決更廣泛的問題。

還可以探索指對同構在數值計算中的應用。對于一些計算較復雜的問題，可以通過指對同構來簡化數值計算過程，提高計算效率。

（三）深人研究指對同構的數學本質

盡管我們已經了解了指對同構的基本原理和應用方法，但對其數學本質沒有展開深人研究。未來，可以探討指對同構與數學中的其他概念（如群論、拓撲等）之間的聯系，以及它在更抽象的數學結構中的應用。

關于指對同構的構造方法和數學意義，也有待進一步挖掘。通過深入研究這些問題，我們可以更全面地理解指對同構的本質，為其在更廣泛領域的應用提供理論基礎。

（四）研究如何提升指對同構的解題效率

在實際應用中，我們不僅要關注方法的有效性，還要關注其效率。因此，研究如何提升指對同構的解題效率也是一個重要方向。這包括尋找更高效的構造方法、優化同構函數的選擇以及探索適用于特定問題的定制化同構策略等。

通過這些應用和研究的探索和實踐，我們可以進一步拓展指對同構的應用范圍，提高其解題效率，為數學的發展和應用做出更大的貢獻。

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責任編輯：丁蔚