薄壁橢球殼在沖擊載荷作用下的動態變形模型

中圖分類號：0347 國標學科代碼：13015 文獻標志碼：A

Dynamic deformation model of thin-walled ellipsoidal shells under impact loading

FAN Shengyang， LI Jianqiao （StateKeyLboratoryofExploioniencedfetyrotectioneiingItitutefchnologyejingo，na）

Abstract：Inorder to studythe deformationcharacteristics of thin-walled ellpsoidal shells under localized impact loading， experimental investigationsandnumerical simulationswereconducted.The global deformationcharacteristics，centraldent depthaddentboundaryof therecoveryellipsoidalshellimpactedbycylindrical projectilesatdiferentvelocitieswere obtained by projectile impact testson a light gas gun apparatusandthree-dimensional digital imagecorrelatio （DIC） technologyfordeformation processrecord.Thesimulationanalysis focusedonthe effectsof three diferent curvatureradiion the depression depth and the lengths of the major and minor axes of theelipsoidal shell.Theprimary dimensionless independentvariablesonwhich the dimensionlessdeformationcharacteristics dependweredetermined bymeansof dimensional analysis.Theinfluence of lesssignificant parameters was reduced through parameter sensitivity analysis.Under theconditionofmaintaingconsistentsalingatiosformateralproperties，projectiledimensions，ndshelltckess，peific response surface function expressonsbetween dimensionlessdeformationcharacteristics vs.three curvature radiiandvelocity parameters were derived.Aformula for predicting global deformation based on the depth of thedepressionand the depression boundary was proposed.The established expression can well describethesize effect and has ahigh predictionaccuracy，and can provide reference for the design of impact load protection oflarge-sized curved thin shels in engineering.

Keywords：thin-walledelipsoidalsell;impactload;stereodigitalimagecorrelationtechnology;dimensionalanalysis; response surface model

曲面薄殼結構具有優良的承載能力，被廣泛應用于管道、土木工程、航空航天、海洋工程等領域，如建筑物的曲面穹頂結構、壓力容器以及整流罩結構等[]。沖擊載荷是一種局部強動態載荷，容易導致曲面薄殼結構發生大變形，降低甚至失去承載能力，從而造成安全事故，因此，需要重點考慮沖擊載荷作用下曲面薄殼防護結構的動態響應特性2。在眾多不同曲率分布的曲面薄殼結構中，橢球殼能夠有效地表征大跨度曲面薄殼結構局部的曲率分布，因此，開展薄壁橢球殼動態沖擊響應研究具有一定的科學意義與工程應用價值。

球殼作為橢球殼的一種特殊情況，被廣泛應用于工程設計中，除直接用于組成工程結構外，也被用于近似表征不同曲率分布的薄殼。針對球殼結構的動態響應，學者們已經開展了較廣泛的研究：Updike等[3-4]、Kitching 等[5]對半球殼在2塊剛性平板間的軸向壓縮進行了多次實驗研究，探究了薄壁半球殼的大變形問題，得到了薄壁半球殼的變形模式;Gputa 等[6研究了半球殼及淺球殼在落錘沖擊載荷作用下的坍塌行為及變形模式，并分析了殼厚度和曲率半徑對殼體力學性能的影響;Wen[7給出了球殼在鈍頭彈沖擊下的塑性大變形計算方法，基于實驗觀測，將球殼的沖擊問題等效為求解鈍頭彈沖擊一定邊界條件下的等效圓板問題;寧建國等[8對圓柱彈丸撞擊淺球殼的彈塑性變形進行了一系列實驗和理論研究，針對變形較集中的邊緣區域，提出了一種位移模式，并討論了不同本構模型的影響;Li等[通過考慮徑向位移對位移模式進行改進，分析了沖擊球殼的射孔響應，此外，還討論了理論模型中各參數對沖擊殼變形和射孔響應的影響。當前關于球殼受沖擊載荷作用方面的研究相對較完善，但由于球殼上曲率分布是均勻的，利用球殼能夠在一定程度上近似任意曲率分布淺殼的局部特征，但無法反映曲率分布對大跨度薄曲殼沖擊響應的影響。

不同于球殼，橢球殼表面曲率分布不均勻，能夠有效地表征任意曲率曲面薄殼結構的局部幾何特征，服務于復雜曲殼結構設計。同時，橢球殼本身也被廣泛應用于工程設計，如壓力容器的橢球封頭等[0，因此，研究橢球殼的沖擊響應具有更廣泛的工程應用價值。目前，對橢球殼的研究集中在應力分析、屈曲等方面，Paliwal等[]對置于彈性地基上的小橢圓度各向同性薄殼進行了均勻內壓下的彎曲變形分析，采用漸近方法將一般旋轉殼的方程簡化為橢球殼，分析了均勻內壓與邊界載荷疊加下的應力分布;Patel等[2]通過內壓實驗研究了橢球形封頭的彈塑性屈曲行為，并給出了一種預測屈曲壓力的理論分析方法，發現屈曲壓力隨環面半徑的增大而升高;Bushnel[3]認為，壓力容器中橢球封頭的屈曲為分叉屈曲，屈曲行為對幾何非線性和材料非線性都很敏感，幾何非線性導致屈曲壓力升高，材料非線性導致屈曲壓力降低；Chao 等[4通過解析分析確定了徑向噴管與橢球殼交點處的臨界應力，利用無量綱參數作為交點的應力集中系數，分析了殼結構各組分復雜的相互作用；Ross等[15]開展了玻璃鋼半橢球殼在靜水壓力作用下的實驗研究和理論分析，考慮了幾何非線性和材料非線性預測屈曲壓力，其理論結果與實驗結果的一致性較好;Blachut 等[采用數值模擬方法分析了橢球殼的缺陷形狀、缺陷位置對其屈曲強度的影響;Smith 等[17]分析了橢球殼彈塑性屈曲的理論臨界條件，采用數值模擬與實驗研究相結合的方法，重點分析了邊界條件、材料性能以及壁厚對屈曲的影響。Liu等[基于等度量變換方法，對橢球殼在沖擊載荷下的變形進行了理論分析，采用數值模擬方法求解了橢球殼在沖擊作用下的位移模式;陳旭東等[19]通過哈密頓原理建立了中厚圓球殼及橢球殼的自由振動控制方程，采用數值模擬方法求解了不同邊界條件的自振頻率。上述研究與橢球殼的力學行為密切相關，但是針對橢球殼受局部沖擊時的動態變形的研究較少，橢球殼受局部沖擊載荷作用下的大變形在工程實際中具有重要的應用價值，對曲面薄殼結構的抗沖擊設計具有重要的參考意義。在工程設計中，通過實驗方法確定橢球殼的變形特征需要較高的時間成本和經濟成本，通過數值模擬方法研究大尺寸橢球殼時需要平衡網格尺寸和計算精度，難以為工程設計提供及時有效的參考，而現有的沖擊載荷下橢球殼動態響應模型給出的變形計算結果受參數選取的影響較大，且需要通過數值求解方法獲得結果，并不能直接獲得沖擊載荷作用下橢球殼變形特征與曲殼幾何、材料參數之間的定量關系，而定量關系往往能夠在工程設計中提供較直觀快速的指導。

基于此，本文中，首先，采用無量綱參數描述薄壁橢球殼在沖擊載荷作用下的變形特征，利用二階響應面擬合橢球殼的變形特征與曲率半徑、沖擊速度之間的定量關系，并討論該模型對不同尺寸橢球薄殼的適用性。然后，針對薄壁橢球殼在局部沖擊載荷下的動態大變形開展實驗研究和數值模擬分析，通過實驗獲得橢球殼在不同速度圓柱形彈丸沖擊下的終態變形、凹陷深度以及凹陷長短軸等變形特征，同時采用三維數字圖像相關（digital image correlation，DIC）技術獲得橢球殼從受沖擊到最終達到穩態的全過程的變形情況;通過ABAQUS軟件模擬對照實驗的變形情況，分析一般橢球殼3個方向的曲率半徑對中心點凹陷深度和凹陷邊界的影響。最后，利用無量綱參數描述薄壁橢球殼的變形特征，考慮尺寸效應，提出一種包含3種曲率半徑、殼體厚度和沖擊速度的響應面模型，以期為沖擊防護工程中自由彎曲殼體的設計提供參考。

1薄壁橢球殼的沖擊實驗與DIC分析

1.1 試件與實驗方法

利用輕氣槍加載平頭圓柱彈丸開展薄壁橢球鋁殼沖擊加載實驗，加載和測試裝置如圖1所示。測試系統由橢球殼夾具、激光測速儀、高速攝像機和輕氣槍等組成。發射彈丸的速度范圍為 25.69～60.78m/s 橢球殼的夾具如圖2所示，采用多個螺栓將扁橢球殼緊固在2塊厚度為 1cm 的鋼板上，鋼板用螺栓固支在與輕氣槍相連的工作臺上，可以認為沖擊扁橢球殼為固支邊界條件。實驗中采用的扁橢球殼是由完整橢球殼截取而來，完整橢球體的三軸 （x，y，z 方向）長度分別為300、200、 100mm ，殼體厚度為 1mm 截取部分為 z 方向的頂部，表1給出了扁橢球殼的截面尺寸和5052Al殼的材料參數。表中： S₁ 和 S₂ 為橢球殼截面半徑， d 為橢球殼截取深度， E，ρ 和 μ 分別為殼體材料的楊氏模量、密度和泊松比。實驗中使用的平頭圓柱彈丸材料為45鋼，半徑為 6mm ，長度為 45mm 。

實驗中，采用Stereo-DIC技術記錄橢球殼沖擊過程，DIC技術能夠重構橢球殼受沖擊過程中的位移場變化云圖，為觀察橢球殼的變形過程提供了有效手段。在實驗開始前，利用標定板標定左右相機的內外參數，用于變形過程的三維重構。

表1薄壁金屬橢球殼幾何與材料參數[20]

1.2 實驗結果與分析

通過Stereo-DIC技術獲取薄壁橢球殼在沖擊載荷作用下的動態變形過程，圖3給出了高速攝像機記錄的橢球殼的變形過程。其中， u₀ 為沖擊速度。

中心凹陷深度 和凹陷邊界是薄壁橢球殼受局部沖擊過程的重要變形特征，實驗結束后，拆下橢球殼測量中心凹陷深度和凹陷邊界。將DIC方法得到的中心凹深與實驗靜態測量得到的中心凹深進行對比，其中DIC中心凹深受限于測量時間，選取振蕩上下峰值的平均值，用于代替穩態凹深。

圖4對比了靜態測量橢球殼回收件的最大凹陷深度與DIC得到的最大凹陷深度，采用最小二乘法，通過線性擬合得到2條 w-ν₀ 線，2種測量方法的平均差值為 1.588mm 。實驗結束后，試件被夾具約束，存在一定的殘余變形，將試件從夾具卸載后進行靜態測量，該部分變形被釋放，而DIC結果直接從夾持的試件上獲得，因此，兩者之間存在一定的偏差。由于橢球殼自身幾何特征類似于軸對稱旋轉殼，大部

分殘余變形被自身幾何特征約束，因此，靜態測量過程中釋放的變形量極小，與DIC測試結果偏差不大。可見，DIC方法能夠正確描述變形過程，證明了DIC測試方法的可靠性。靜態測量變形后試件雖然可以得到中心點凹陷深度，但是難以得到橢球殼的全局凹陷變形，人工測量全局變形會引入很多不確定因素，因此，考慮采用DIC方法重構變形曲面，并分析動態變形過程。

通過對散斑點進行三維重構，去除離群點。由于沖擊面圓柱彈體的遮擋，沖擊點中心處局部很小的區域會出現圖像缺失，但不影響對凹陷變形主要特征的識別，通過重構點云插值補全重構曲面，得到隨時間變化的凹陷區域，對沖擊速度為 25.69m/s 的實驗組進行分析。Stereo-DIC重構計算的位移場誤差較小，圖5（a）為初始未變形區域，各散斑均未發生位移;圖 5（b）～ （f）為彈體撞擊橢球殼不同時刻的離面位移云圖。變形邊界在不同時刻均為橢圓形邊界，且隨著沖擊時間的增長，沖擊波由中心向邊界擴展，達到峰值位移后，橢球殼進行阻尼震蕩，直至最終穩定。

觀察位移云圖可知，橢球殼凹陷邊界區域呈現為一系列橢圓形包絡線，其位移差值相對較小，將橢球殼沖擊方向離面位移超過 1mm 的區域定義為凹陷區域。在此基礎上，對橢球殼凹陷變形過程中的橢圓形凹陷邊界的長短半軸特征進行分析，對沖擊后的橢球殼試件進行靜態測量，得到橢球殼變形邊界長半軸 （L₁） 和短半軸（L₂） 隨沖擊速度的變化，如圖6所示。

由圖6可知，在彈丸未貫穿殼體時，殼體凹陷變形區域的橢圓邊界長半軸和短半軸均隨速度升高而增大，近似呈線性關系，且凹陷變形區域的橢圓長半軸與短半軸之比在 1.4～1.5 之間，接近未變形橢球殼初始長短軸比1.5。

2數值模擬分析

2.1 橢球殼沖擊動態有限元模型

通過實驗和DIC技術可以得到不同沖擊速度下橢球殼在不同時間下的凹陷全局變形，但是受限于DIC子區域以及彈體對散斑的遮擋，對于變形較大的殼體，無法通過DIC方法完整獲取長、短軸邊界位置。因此，考慮采用數值模擬方法對實驗工況進行模擬，分析長、短軸長度隨時間的變化，并通過拓展工況研究曲率變化對薄壁橢球殼變形的影響。

利用ABAQUS進行實驗工況的數值模擬，模型如圖7（a）所示。曲殼幾何尺寸與圖2及表1所列參數一致，薄壁橢球殼邊界條件設置為完全固支，彈體與殼體間設置通用接觸，法向硬接觸，切向無摩擦。子彈采用實體單元C3D8R，薄壁橢球殼采用殼單元S4R，S4R單元能夠適用于薄殼單元及中厚度單元的模擬。材料參數如表1所示，橢球殼材料為5052Al，采用Johnson-Cook（J-C）本構模型，J-C本構模型參數如表2所示。其中： A 為屈服應力， B 為硬化模量， c 為應變率強化系數， n 為硬化指數， m 為熱軟化指數。子彈材料為45鋼，由于子彈在沖擊過程中未發生顯著變形，將子彈視為剛體。數值模擬分析前開展網格收斂性測試，結果如圖7（b）所示。考慮到凹陷深度隨網格尺寸變化，分別給出網格尺寸為1、2和4mm 情況下中心沖擊點凹陷深度隨沖擊速度的變化，結果表明，彈體網格設置為 2mm 時能兼顧計算效率和計算精度，為此殼體網格設置為全局 2mm 網格。

2.2數值模擬與實驗結果的對比及分析

對實驗工況進行驗證，將實驗組與模擬組進行全局凹陷變形對比。圖8展示了5組實驗與數值模。0000（a） u₀=25.69m/s （204號 （b） u₀=36.23m/s （204 （c） u₀=47.24m/s （204號 （d） u₀=52.70m/s （e） u₀=60.78m/s 擬全局變形形貌的對比，結果表明，數值模擬與實驗得到的全局變形吻合較好。數值模擬全局變形展現出2種變形模式，分別為橢圓形凹陷、橢圓形凹陷且短軸兩側發生屈曲，靜態測量試件的全局變形在這2種變形模式之外，還出現了另一種變形模式 ν₀=36.23m/s ，即發生橢圓形凹陷并于短軸一側發生屈曲。考慮是因為實驗中通過16顆螺栓緊固，預緊過程并不能保證完美的全固支邊界條件，且橢球殼加工過程可能存在一定的內在缺陷，而數值模擬無法考慮到這樣的因素。

圖9給出了實驗、DIC和數值模擬得到的凹陷深度和凹陷長短半軸的對比。從圖9可以看出，對于凹陷深度，數值模擬結果與實驗及DIC結果匹配較好，且數值模擬得到的凹陷長短半軸與實驗得到的凹陷長短半軸匹配良好，橢圓度隨沖擊速度變化的趨勢相同。因此，數值模擬結果能夠較好地反映局部載荷下橢球薄殼的變形情況，可以采用數值模擬方法對橢球殼在沖擊載荷下的變形規律進行進一步研究。

2.3 曲率半徑對變形特征的影響

本文中，重點關注曲率半徑變化對橢球殼變形特征如凹深、凹陷長短半軸的影響。固定厚度、深度、彈速以及彈體尺寸時，分別改變3個方向的曲率半徑，研究其對凹深、凹陷長短軸的影響。其中R₃ 為沖擊方向（ z 方向）的曲率半徑， R₁ 和 R₂ 為垂直于沖擊方向 （x，y 方向）的曲率半徑，經過分析可知，R₁，R₂ 對中心凹深的影響完全相同，對各自方向凹陷半軸 L₁，L₂ 的影響完全對稱，即令 R_1，new=R_2，old R_2，new=R_1，old 時中心凹深不變，凹陷長短半軸發生如下改變： L_1，new=L_2，old L_2，new=L_1，old 。因此，可以減少討論對象，僅研究凹深、凹陷長短半軸與曲率半徑 R₁，R₃ 的關系。

固定厚度 h=1.0mm ，截取深度 d=40mm ，給出不同沖擊速度（40、45和 50m/s 下中心凹深、凹陷長短半軸隨曲率半徑的變化，如圖10所示。從圖10可以看出，中心凹陷深度 w 受 R₁ 影響較小，在列出的幾組 R₂ ！ R₃，ν₀ 組合中，中心凹陷深度 w 都隨 R₁ 增大而先增大后減小，且變化范圍很小；由于前述 R₁ 、R₂ 在 z 方向沖擊作用中地位相同，因此，中心凹陷深度 w 與 R₂ 的關系與中心凹陷深度 w 與 R₁ 的關系規律一致，不做討論；中心凹陷深度 w 受 R₃ 的影響存在一定規律，在列出的幾組 R₁，R₂ 組合及不同沖擊速度 u₀ 下，中心凹陷深度 w 均隨 R₃ 增大而減小，且 w-R₃ 關系近似滿足二次分布。

圖11給出了不同沖擊速度下凹陷邊界 L₁，L₂ 隨曲率半徑 R₁ 的變化。從圖11可以看出， R₁ 對 L₁ 影響很大， R₁ 從 200mm 增大至 500mm 時， L₁ 增大約 60mm ，且 L₁ 與 R₁ 的關系可以用二階多項式擬合；L₂ 受 R₁ 影響較小， R₁ 從 200mm 增大至 500mm 時， L₂ 僅增大約 5mm 。

圖12 給出了不同沖擊速度下凹陷長短半軸隨曲率半徑 R₃ 的變化。從圖12可以看出，在不同的 R₁ 、R₂ 組合下，改變沖擊速度 u₀，R₃ 對 L₁，L₂ 都存在較大影響，且在選擇的2組 R₁，R₂ 組合的多組不同速度沖擊下， x，y 方向的凹陷邊界均隨 R₃ 增大而減小，且 L₁–R₃、L₂–R₃ 近似滿足二次分布，從物理意義上理解， R₃ 增大，意味著由 z 方向看，橢球殼逐漸收縮、尖銳，具備更強的抗沖擊變形能力，因此，凹陷區域變小。

上述分析討論了橢球殼變形特征受3個方向曲率半徑單因素變化的影響，但是難以得到曲率半徑之間的交互作用對變形特征的影響，需要通過量綱分析進行定量分析。

3 量綱分析與響應面模型

3.1 量綱分析與參數敏感性分析

橢球殼在子彈沖擊作用下的響應涉及多個物理量，可以通過量綱分析法得到各物理量之間的關系。薄壁橢球殼在沖擊載荷作用下的最大撓度和凹陷長短半軸都是衡量殼體結構抗沖擊性能的重要指標，表3給出了對中心凹陷深度w 和凹陷長短半軸 L₁ 、 L₂ 存在影響的物理量參數及其量綱。表中： Y 為殼體屈服強度， L_s 為彈體長度， m_s 為彈體質量， R_s 為彈體半徑， E_s 為彈體彈性模量， μ_s 為彈體泊松比。

基于表3中的15個物理量，中心凹陷深度w 和凹陷長短半軸 L₁，L₂ 與各物理量之間的關系可以表示為：

L₁=f₁（L_s，m_s，R_s，E_s，μ_s，ν₀，R₁，R₂，R₃，ρ_e，E，Y，μ，h，d）

L₂=f₂（L_s，m_s，R_s，E_s，μ_s，ν₀，R₁，R₂，R₃，ρ_e，E，Y，μ，h，d）

w=f₃（L_s，m_s，R_s，E_s，μ_s，ν₀，R₁，R₂，R₃，ρ_e，E，Y，μ，h，d）

式 （1）～（3） 在LMT單位制里共有3個獨立量綱，選取其中3個彼此獨立的物理量作為基本量，本文中選取殼厚度 h 、橢球殼屈服強度 Y 和彈丸質量 m_s 等3個具有獨立量綱的物理量作為基本量，則根據π 定理，式 （1）～（3） 可以改寫成由12個無量綱量決定的因果關系：

式 （4）～（6） 為此類問題的通用計算模型，適用于求解不同殼體及彈體材料、不同幾何參數、不同沖擊速度下的最大撓度及凹陷長短半軸。

但是由于參數過多，難以給出顯式的表達，從實驗給出的曲殼動態響應過程來看，應力波傳播過程對動態響應的影響不大，殼體材料泊松比和彈體材料泊松比對凹陷變形影響較小，殼體密度對凹陷變形影響較小，殼體材料和彈體材料的楊氏模量與變形的發展并沒有緊密耦合在一起，因此，忽略以上幾項參數，并保證部分尺寸參數的等比縮放，在 L_s/h，R_s/h 固定的前提下建立預測模型：

選取固定厚度 h=1.0mm R₂ 、 R₃ 均在 200～320mm 范圍內抽樣， u₀ 在 30～45m/s 范圍內抽樣，d 在 50～80mm 范圍內抽樣，對以上因素進行正交實驗設計，采用 L₁₆ 的5因素4水平進行參數敏感性分析。正交實驗工況設計及數值模擬結果如表4所示。

根據正交實驗結果，各參數對凹深、凹陷長短軸的影響程度排序，極差分析如圖13所示。從圖13可以看出，對于中心凹深 w ，各參數的影響排序為：沖擊速度 u₀ 為影響程度最大的因素，且遠大于其他因素; R₁ ?₁，R₂，R₃ 的影響程度相當;深度 d 為最不敏感的參數。考慮到后續擬合需要，忽略深度 d 對凹深的影響；對于 x 方向凹陷邊界， R₁，ν₀，R₃，R₂，p 的影響依次減小；對于y 方向凹陷邊界， R₂，ν₀，R₃，R₁，d 的影響依次減小。即對于凹陷邊界，同方向的曲率半徑為最大的影響因素，決定著抵抗能力的強弱，在凹陷邊界的參數敏感性分析中，深度 d 同樣是最不敏感參數，因此，出于減少參數的需求，可以忽略深度 d 對凹陷邊界的影響。

橢球殼 z 方向的截取深度 d 在較大范圍內對變形特征最大撓度、長短半軸長度影響較小，原因可能是截取深度 d 只會影響固支邊界位置，

不影響殼體形狀。當固支邊界區域的范圍遠大于變形區域時，可以忽略其作用，認為后續所建立的方程是限制在模型邊界遠大于凹陷邊界這一條件內，即可選取 d 為定值。因此，后續工況設計中可以固定深度 d 為 50mm ，即固定 d/h=50 。量綱分析式可以簡化為：

3.2曲率半徑和沖擊速度的響應面模型

2.3節中討論了不同曲率半徑單獨變化時對中心凹深、凹陷長短軸的影響，本節中通過建立凹深、凹陷長短軸響應面模型，定量分析變形特征與模型參數的關系。

厚度 h 固定為 1.0mm d 固定為 50mm ，采用正交抽樣， R₁ ，R₂，R₃ 在 200～400mm 范圍內抽樣，u₀ 在 35～50m/s 范圍內抽樣，其中 R₁，R₂，R₃ 選取為3水平， u₀ 為4水平，由于 R₁，R₂ 相互替換后，凹深不變，凹陷長短半軸互換，所以 R₁，R₂ 在 z 方向受局部沖擊載荷作用時體現出相似的影響規律。選取 R₁?R₂ 的全工況下，數值模擬結果如表5所示。

2.3節中單獨探究了不同方向曲率半徑對凹深、凹陷長短軸的影響，凹深和曲率半徑都可以近似使用一次分布、二次分布來描述，且凹陷長短軸和曲率半徑也滿足一次分布、二次分布形式，考慮到預測精度需要，對得到的數據進行二階響應面擬合，結果如下：

對所建立的二階響應面模型進行誤差分析，使用多重決定系數 R² 、相對平均絕對誤差 δ_RAAE 、相對最大絕對誤差 δ_RMAE 和均方根誤差 δ_RMS 等4個指標同時對目標函數模型進行精確度評價，其中 R² δ_RAAE和 δ_RMS 是對模型的全局誤差進行評價， δ_RMAE 對模型的局部精度進行評估。 R² 越接近1，模型的精度越高; δ_RAAE，δ_RMAE 和 δ_RMS 越小，模型的誤差越小。隨機選取20組數據對模型進行誤差分析，結果如表6所示。可以看出，所建立的關于橢球殼 w/h 、 L₁/h 、 L₂/h 的二階響應面模型精確性良好。

為檢驗所建立的二階響應面的尺寸效應及材料效應，建立 h=2.0mm 和 h=0.5mm 的數值模型，隨機設計3組對應工況，前2組殼體材料為5052Al，厚度分別為0.5和 2.0mm ，第3組殼體材料為45鋼[21]，厚度為 0.5mm 。模型中無法考慮應變率效應，認為5052A1的屈服強度為 121MPa ，45鋼的屈服強度為507MPa 。表7中， w_s，L_1s 和 L_2s 為數值模擬得到的變形特征， w_a，L_la 和 L_2a 為響應面預測變形特征。結果表明，對于5052A1材料橢球殼，響應面模型預測值與數值模擬計算值的相對誤差較小，可以認為模型的尺寸效應良好，能夠對橢球殼局部沖擊凹陷變形特征進行預測；對于45鋼材料橢球殼，響應面模型具備一定的預測能力，對中心凹陷深度的預測誤差較大，對凹陷邊界的預測誤差相對較小，說明模型對于不同材料的橢球殼沖擊響應具備一定的預測能力。誤差較大的原因可能為，數值模擬中選用的材料本構模型為J-C本構，材料塑性階段的應力不僅與屈服強度相關，還與應變及應變率效應相關。

所建立的響應面模型是對一定范圍內數據的擬合，對于 u₀ 處于 35～50m/s 且 R₁，R₂ 和 R₃ 處于 200～ 400mm 范圍內的工況具有良好的預測精度，但僅在上述工況范圍內取樣并不具有廣泛的代表性，對所建立的響應面模型進行適用范圍討論。對于沖擊速度 u₀. 曲率半徑 R₁ ，R₂，R₃ 進行一定范圍的拓展驗證。

以實際值上下各 10% 作為誤差界限，不同沖擊速度及曲率半徑下的適用范圍不同，由圖14（a）可以得到，以較低速度沖擊薄壁橢球殼時， x，y 方向曲率半徑 R₁，R₂ 較大的情況下，預測值與真實值的誤差很大，遠遠超出誤差界限，原因是，當 R₃ 固定， R₁，R₂ 取較大值時，橢球殼截取部分近似接近于平板，當沖擊速度較低時，不易形成塑性變形棱區，初始撞擊造成的變形會發生大幅度的回彈，使得中心區域位移大幅減小，而本文中響應面模型基于的訓練集的沖擊速度及曲率半徑范圍均處于發生塑性變形棱區的情況，所以對接近低速沖擊平板的情況預測不準確。對比圖14（a）和（b）可以發現，其他條件不變，僅增大R₃ 時，預測模型的預測范圍更大，原因是，增大 R₃ 使得橢球殼截取部分更凸，在同一沖擊速度下更易形成棱區變形。對比圖14（a）、（c）、（e）或者（b）、（d）、（f），發現固定 R₃ ，僅提高沖擊速度，當沖擊速度由25m/s 升至 55m/s 時，預測模型的預測范圍逐漸增大，當沖擊速度較高時，所建立的響應面模型預測范圍可以進行拓展，曲率半徑不局限于訓練集的 200～400mm 。

圖15為預測模型凹陷邊界在不同沖擊速度及曲率半徑下的適用范圍，同樣采用真實值的上下10% 作為誤差界限，預測凹陷邊界的適用范圍整體趨勢與預測中心凹陷深度相同，原因同樣是接近平板時塑性棱區不易形成，且同樣隨著沖擊速度升高，預測范圍增大。

根據得到的中心凹陷深度、凹陷邊界描述全局變形區域，由于實驗及數值模擬中得到的橢球殼變形區域邊界為橢圓形，且邊界橢圓度近似等于橢球殼初始橢圓度，假定橢球殼的凹陷變形區域始終為一個與原橢球殼長短軸之比相同的橢圓形，則橢球殼的離面位移投影到 xy 平面為一簇相似的橢圓環。給出描述全局離面位移 w（x，y） 與中心凹陷深度、凹陷邊界之間的關系式：

抽取工況進行驗證，根據響應面模型計算中心凹陷深度、凹陷長短軸長，代入全局變形公式（式（16））對比數值模擬結果。

圖16給出了響應面模型與數值模擬得到的1/4區域全局變形的對比。從圖16可以看出，所提出的全局變形公式能夠較好地描述薄壁橢球殼受局部沖擊載荷作用下的凹陷變形規律，具有一定的物理意義，反映了橢球殼凹陷變形的擴展過程。

4結論

開展了薄壁橢球殼受局部沖擊載荷作用的實驗和數值模擬分析，采用三維DIC技術記錄實驗中的動態變形過程，采用ABAQUS/Explicit進行模擬，數值模擬結果與實驗結果吻合較好。通過數值模擬擴展工況，探究了曲率半徑、沖擊速度對變形特征的影響，通過量綱分析方法探討了各因素對變形特征的共同作用，擬合得到了一種具有尺寸效應的響應面模型。得到以下主要結論。

（1）橢球殼凹深受沖擊方向曲率半徑影響較大，受垂直于沖擊方向的曲率半徑影響較小;橢球殼凹陷長短半軸受沖擊方向曲率半徑和同軸方向曲率半徑影響顯著。（2）截取深度對變形特征影響較小，在關注的大尺寸殼體受局部沖擊載荷問題中僅影響邊界范圍。（3）橢球殼在局部沖擊載荷作用下以橢圓形凹陷為主。橢球殼全局變形分布可以用中心凹陷深度和凹陷變形邊界來近似表達，從而將曲殼在局部沖擊載荷作用下的全局變形分布問題轉化為中心凹陷深度和凹陷變形邊界。（4）所建立的響應面模型精度較高，模型具有尺寸效應和一定的延展性，可用于大尺寸橢球殼受沖擊載荷作用的全局凹陷變形預測。

參考文獻：

[1] LIMHK，LEEJS.Onthestructuralbehaviorofship'sshellstructuresduetoimpactloading[J].InterationalJournalof Naval Architectureand Ocean Engineering，2018，10（1）：103-118.DOI：10.1016/j.ijnaoe.2017.03.002.

[2] MOHAMMADZ，GUPTAPK，BAQIA，etalBalisticperformanceof monolithicand double layered thin-metalic hemisphericalshellsatnrmalandobliqueimpact[J].in-WaledStructures，02159：07257.DOI：10.016/.t.00. 107257.

[3] UPDIKE D P，KALNINS A. Axisymmetric behavior ofan elastic spherical shellcompressed between rigid plates[J]. Joumal of Applied Mechanics， 1970，37（3）： 635-640. DO1： 10.1115/1.3408592.

[4] UPDIKE DP. On the large deformation ofarigid-plastic spherical shellcompresed bya rigid plate [J].Journalof Engineering for Industry， 1972， 94（3）： 949-955. DOI： 10.1115/1.3428276.

[5] KITCHING R， HOULSTONR，JOHNSON W. Atheoretical and experimental studyof hemispherical shels subjected to axial loads between flat plates[J].International JoualofMehanical Sciences，1975，17（11/12）： 693-703.DOI：10.106/0- 7403（75）90072-7.

[6] GUPTAN K，MOHAMED S N， VELMURUGANR. Experimental and numerical investigations into colapse behaviourof thin spherical shelsunder drophammer impact [J]. Interational Jourmal ofSolidsand Structures，20o7，44（10）： 3136-3155. DOI： 10.1016/j.ijsolstr.2006.09.014.

[7] WENHM.Large plastic deformation of spherical shellsunder impact byblunt-ended misiles[J]. Interational Journal of Pressure Vessels and Piping， 1997， 73（2）： 147-152. DOI： 10.1016/S0308-0161（97）00043-4.

[8] 寧建國，楊桂通.球形扁殼在沖擊載荷作用下的超臨界變形[J].爆炸與沖擊，1992，12（3）：206-212.DOI：10.11883/1001- 1455（1992）03-0206-7. NING JG， YANG G T. Supereritical deformations of sallow spherical shels under impact[J]. Explosionand Shock Waves， 1992，12（3）： 206-212. DOI： 10.11883/1001-1455（1992）03-0206-7.

[9] LI J Q，RENHL，NINGJG. Deformationand failure of thin spherical shels under dynamic impact loading： experiment and analytical model[J]. Thin-Walled Structures，2021，161： 107403.DO1： 10.1016/j.tws.2020.107403.

[10]ZHENGJ，IK，LIUS，etal.Efectofshapeimperfectiononthebucklingofarge-scale thin-waledelipoidalheadsteel nuclear containment [J]. Thin-Waled Structures， 2018，124： 514-522. DO1： 10.1016/j.tws.2018.01.001.

[11]PALIWALDN， GUPAR，JAINA.Stressanalysis of elipsoidal shellona elastic foundatio[J]. InterationalJoualof Pressure Vessels and Piping，1993， 56（2）： 229-242. DOI： 10.1016/0308-0161（93）90095-B.

[12]PTELPR，GILLSS.Experimentsonthe bucklingunder interal pressureof tintorisphericalendsofcylindricalpresure vessels[J].IntemationalJourmalofMechanical Sciences，1978，20（3）：159-175.DOI：10.1016/002-7403（78）90003-6.

[13]BUSHELLD.Nonsymmetric bucklingof inteallypressurized ellpsoidaland torisphericalelastic-plastic pressurevessel heads[J]. Jourmal of Pressure Vessel Technology，1977， 99（1）： 54-63.DOI： 10.1115/1.3454520.

[14]CHAOYJ，SUTONMA.Stressanalysisofelipsoidalshellwithadialnozzle[J].InterationalJoualofressure Vessels and Piping， 1985， 21（2）： 89-108. DO1： 10.1016/0308-0161（85）90042-0.

[15]ROSS CTF，HUATBH， CHEITB，et al.The bucklingof GRP hemi-elipsoidal dome shellsunder external hydrostatic pressure [J]. Ocean Engineering， 2003，30（5）： 691-705. DOI： 10.1016/s0029-8018（02）00039-2.

[16]BLACHUTJ，JWALOR.Onthechoiceofinitial geometric imperfections iexteallypresurizedshels[J].Joualof Pressure Vessel Technology，1999，121（1）： 71-76.DOI： 10.115/1.2883670.

[17]SMITH P， BLACHUT J. Buckling of extermallypressurized prolate ellpsoidal domes [J]. Journal of Pressure Vessel Technology，2008， 130（1）： 011210. DOI： 10.1115/1.2834457.

[18] LIUL，LIJQ.Dynamic deformation and perforationofellpsoidal thinshellimpactedbyflat-noseprojetile[J].Materials， 2022，15（12）： 4124.DOI：10.3390/ma15124124.

[19]陳旭東，葉康生.中厚橢球殼自由振動動力剛度法分析[J].振動與沖擊，2016，35（6）：85-90.DOI：10.13465/j.cnki.jvs. 2016.06.015. CHENXD，YEKS.Free vibrationanalysisof moderately thick eliptical shellsusingthedynamicstifnessmethod[J]. Journal of Vibration and Shock， 2016， 35（6）： 85-90. DO1： 10.13465/j.cnki.jvs.2016.06.015.

[20]MA TB，SHEN Y，NINGJG，etal. Analysis on dynamic shear fracture basedona novel damage evolution model[J]. International Journal of Impact Engineering，2024，183： 104810. DOI： 10.1016/j.ijimpeng.2023.104810.

[21]陳剛，陳忠富，徐偉芳，等.45鋼的J-C損傷失效參量研究[J].爆炸與沖擊，2007，27（2）：131-135.DOI：10.11883/1001- 1455（2007）02-0131-05. CHENG，CHENZF，XUWF，etal.InvestigationontheJ-Cductile fracture parametersof45stel[J]. ExplosionandSock Waves，2007，27（2）： 131-135.DOI：10.11883/1001-1455（2007）02-0131-05.

（責任編輯 蔡國艷）