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立足核心素養 考查關鍵能力

2025-08-14 00:00:00王東海
中學數學雜志(高中版) 2025年4期
關鍵詞:動點斜率射線

一線教師和學生通過對高考題的品味、研究、思考、交流,不斷從中汲取營養,充分發揮出高考試題的效果和效益.2025年新高考I卷第18題是一道直線與圓錐曲線相交產生的最值問題,承載著對考生的選拔功能,對學生的關鍵能力和核心素養要求較高.本文先從多個切入點分析解答,然后對試題進行多角度拓展,最后回到教材和高考中追本溯源,從而發揮出典型高考題的教學引導功能.

1真題呈現

(2025年新高考Ⅰ卷第18題)設橢圓 c gt;bgt;0AA ,記 A 為橢圓的下頂點, B 為橢圓的右頂點, |AB|= ,且橢圓 c 的離心率為

(1)求橢圓 c 的標準方程;

(2)已知動點 P 不在 y 軸上,點 R 在射線 AP 上,且滿足∣AR∣?∣AP∣=3. (20

(i)設點 P(m,n) ,求點 R 的坐標(用 m,n 表示);(ii)設 o 為坐標原點, Q 為 c 上的動點,直線 OR 的斜率為直線 oP 的斜率的3倍,求 $| P Q \rrangle$ 的最大值.

分析(1)如圖1所示,易得橢圓 C 的標準方程為 y2= 1 ;(2)(i)可從求線段長度、向量數量積、向量共線、三角函數等角度處理此題;

圖1

(ii)可先由條件得動點 P 的軌跡方程為圓,再利用數形結合法、圓的參數方程法、幾何法等角度求解 ∣PQ∣ 的最大值,這里充分利用圖形的幾何性質是解題的關鍵.考題對考生的邏輯推理、數學運算等核心素養要求較高.該考題設計精巧,內涵豐富,是一道值得探究的好試題.

2 解法探究

先探究(2)(i)的解題方法:

思路1 兩向量數量積法

解法1因點 R 在射線 AP 上,故 3,設 ,故 (m,n+1)?(x0,y0+1)=3 ,所以 λn① 又直線 AP 方程為: ,由 R 在射線 AP 上得, ,即 聯立 ①② 解得 0

點評本法考慮到三點共線,轉化成數量積運算來處理兩條線段的積,再利用點在直線上得方程組.本法運算……

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