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立足核心素養(yǎng) 考查關(guān)鍵能力

2025-08-14 00:00:00王東海
關(guān)鍵詞:動(dòng)點(diǎn)斜率射線

一線教師和學(xué)生通過對(duì)高考題的品味、研究、思考、交流,不斷從中汲取營(yíng)養(yǎng),充分發(fā)揮出高考試題的效果和效益.2025年新高考I卷第18題是一道直線與圓錐曲線相交產(chǎn)生的最值問題,承載著對(duì)考生的選拔功能,對(duì)學(xué)生的關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)要求較高.本文先從多個(gè)切入點(diǎn)分析解答,然后對(duì)試題進(jìn)行多角度拓展,最后回到教材和高考中追本溯源,從而發(fā)揮出典型高考題的教學(xué)引導(dǎo)功能.

1真題呈現(xiàn)

(2025年新高考Ⅰ卷第18題)設(shè)橢圓 c gt;bgt;0AA ,記 A 為橢圓的下頂點(diǎn), B 為橢圓的右頂點(diǎn), |AB|= ,且橢圓 c 的離心率為

(1)求橢圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)已知?jiǎng)狱c(diǎn) P 不在 y 軸上,點(diǎn) R 在射線 AP 上,且滿足∣AR∣?∣AP∣=3. (20

(i)設(shè)點(diǎn) P(m,n) ,求點(diǎn) R 的坐標(biāo)(用 m,n 表示);(ii)設(shè) o 為坐標(biāo)原點(diǎn), Q 為 c 上的動(dòng)點(diǎn),直線 OR 的斜率為直線 oP 的斜率的3倍,求 $| P Q \rrangle$ 的最大值.

分析(1)如圖1所示,易得橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y2= 1 ;(2)(i)可從求線段長(zhǎng)度、向量數(shù)量積、向量共線、三角函數(shù)等角度處理此題;

圖1

(ii)可先由條件得動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程為圓,再利用數(shù)形結(jié)合法、圓的參數(shù)方程法、幾何法等角度求解 ∣PQ∣ 的最大值,這里充分利用圖形的幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.考題對(duì)考生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)要求較高.該考題設(shè)計(jì)精巧,內(nèi)涵豐富,是一道值得探究的好試題.

2 解法探究

先探究(2)(i)的解題方法:

思路1 兩向量數(shù)量積法

解法1因點(diǎn) R 在射線 AP 上,故 3,設(shè) ,故 (m,n+1)?(x0,y0+1)=3 ,所以 λn① 又直線 AP 方程為: ,由 R 在射線 AP 上得, ,即 聯(lián)立 ①② 解得 0

點(diǎn)評(píng)本法考慮到三點(diǎn)共線,轉(zhuǎn)化成數(shù)量積運(yùn)算來處理兩條線段的積,再利用點(diǎn)在直線上得方程組.本法運(yùn)算……

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