立足核心素養(yǎng) 考查關(guān)鍵能力

一線教師和學(xué)生通過對高考題的品味、研究、思考、交流，不斷從中汲取營養(yǎng)，充分發(fā)揮出高考試題的效果和效益.2025年新高考I卷第18題是一道直線與圓錐曲線相交產(chǎn)生的最值問題，承載著對考生的選拔功能，對學(xué)生的關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)要求較高.本文先從多個(gè)切入點(diǎn)分析解答，然后對試題進(jìn)行多角度拓展，最后回到教材和高考中追本溯源，從而發(fā)揮出典型高考題的教學(xué)引導(dǎo)功能.

1真題呈現(xiàn)

（2025年新高考Ⅰ卷第18題）設(shè)橢圓 c gt;bgt;0AA ，記 A 為橢圓的下頂點(diǎn)， B 為橢圓的右頂點(diǎn)， |AB|= ，且橢圓 c 的離心率為

（1）求橢圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知?jiǎng)狱c(diǎn) P 不在 y 軸上，點(diǎn) R 在射線 AP 上，且滿足∣AR∣?∣AP∣=3. （20

（i）設(shè)點(diǎn) P（m，n） ，求點(diǎn) R 的坐標(biāo)（用 m，n 表示）；（ii）設(shè) o 為坐標(biāo)原點(diǎn)， Q 為 c 上的動(dòng)點(diǎn)，直線 OR 的斜率為直線 oP 的斜率的3倍，求 $| P Q ＼rrangle$ 的最大值.

分析（1）如圖1所示，易得橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y²= 1 ；（2）（i）可從求線段長度、向量數(shù)量積、向量共線、三角函數(shù)等角度處理此題;

圖1

（ii）可先由條件得動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程為圓，再利用數(shù)形結(jié)合法、圓的參數(shù)方程法、幾何法等角度求解 ∣PQ∣ 的最大值，這里充分利用圖形的幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.考題對考生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)要求較高.該考題設(shè)計(jì)精巧，內(nèi)涵豐富，是一道值得探究的好試題.

2 解法探究

先探究（2）（i）的解題方法：

思路1 兩向量數(shù)量積法

解法1因點(diǎn) R 在射線 AP 上，故 3，設(shè) ，故 （m，n+1）?（x₀，y₀+1）=3 ，所以 λ_n① 又直線 AP 方程為： ，由 R 在射線 AP 上得， ，即 聯(lián)立 ①② 解得 0

點(diǎn)評本法考慮到三點(diǎn)共線，轉(zhuǎn)化成數(shù)量積運(yùn)算來處理兩條線段的積，再利用點(diǎn)在直線上得方程組.本法運(yùn)算量較大，需要學(xué)生有扎實(shí)的數(shù)學(xué)運(yùn)算功底.

思路2 共線向量法

解法2 因點(diǎn) R 在射線 AP 上，故設(shè) ，則 故 從而 又 A（0，-1） ，所以動(dòng)點(diǎn)

點(diǎn)評本法由共線向量定理引人參數(shù) λ ，計(jì)算出 λ 后利用向量間的線性運(yùn)算可以較快得到答案，它應(yīng)該是解決該題的通解通法.

思路3 直線的方向向量法

解法3 由題知，直線 AP 的斜率存在，設(shè)其為 k ，則直線

AP 的方向向量為 （1，k） ，故可設(shè) ，

μ（1，k），因點(diǎn)R在射線AP上，故λμgt;0，所以AP·AR=

λμ（1+k²）=3 又 ，故

而 m=λ，n+1=λk，x_?R=μ，y_?R+1=μk，λμ（1+k²）=3 3’

以

點(diǎn)評此法利用直線 AP 和直線 AR 的方向向量共線，再利用待定系數(shù)法求出參數(shù)值，從而得到所求點(diǎn)的坐標(biāo).

思路4 三角函數(shù)法

解法4如圖1所示，設(shè)直線 AP 的傾斜角為 α∝，R（α_x0. y₀， ，由 ∣AP∣?∣AR∣=3 ，則 ∣AP∣cosα?∣AR∣cosα=3cos²α 即 |m|?∣x₀∣=3cos²α①. 而由斜率知，tan 故而 代人 ① 式得 因R 在射線 AP 上，故 mx₀gt;0 ，所以 故 ，進(jìn)而

點(diǎn)評本法引入直線的傾斜角表示題設(shè)所給條件，然后利用三角函數(shù)恒等變換化簡可以得到所求點(diǎn)的坐標(biāo).

思路5 直線參數(shù)方程法

解法5 因直線 AP 過 A（0，-1） ，故可設(shè)其參數(shù)方程為 （ χ_t 為參數(shù)），由 χ_t 幾何意義知， |AP| ：，∣AR∣=t_Pt_R=3. 又 P（m，n） ，故 則 兩式平方并相加得 ，所以 從而 x_R=t_Rcosα= 依題意知 t_Pt_Rgt;0 ，所以 同理 故動(dòng)點(diǎn)

點(diǎn)評對于兩線段乘積為定值的條件恰好可使用直線參數(shù)方程的幾何意義加以表示，較為簡捷的表示可簡化運(yùn)算，提高解題效率.

下面再對（2）（ii）進(jìn)行解析：

思路1 軌跡法 + 數(shù)形結(jié)合法

解法1 因直線 OR 的斜率為 oP 的斜率的3倍，由（i）結(jié)論知， 化簡整理得， m² ．故動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡是以E（0，--4） 為圓心， 為半徑的圓.觀察圖1知， |PQ|? .設(shè)橢圓上點(diǎn) Q（x，y） ，故 ，當(dāng)且僅 時(shí)取等，所以 |PQ| 的最大值為 思路2 軌跡法 + 三角換元法

解法2前同解法1知，動(dòng)點(diǎn) P 軌跡為以 E（0，--4） 為圓心， 為半徑的圓．又 .設(shè)橢圓上點(diǎn)Q（3cosθ，sinθ） ，則 當(dāng)且僅當(dāng) 或 5π 時(shí)取等.所以 ∣PQ∣ 的最大值為

點(diǎn)評這里（ii）的兩種解法均是先根據(jù)斜率比值得到動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡，再利用數(shù)形結(jié)合法或三角代換法來求距離的最大值，充分觀察并發(fā)現(xiàn)圖形的幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3一般化推廣

波利亞曾說：“在你找到第一個(gè)蘑菇時(shí)，繼續(xù)觀察，就能發(fā)現(xiàn)一堆蘑菇.”當(dāng)我們幸運(yùn)地發(fā)現(xiàn)第一朵蘑菇后，可以通過推廣、類比、變換條件結(jié)論等數(shù)學(xué)方法發(fā)現(xiàn)周圍更大的蘑菇.細(xì)品解題過程及結(jié)論，筆者思考該題的結(jié)論是巧合還是必然呢？探究第（2）問能否推廣至一般情形呢？

結(jié)論1 已知橢圓 c 的下頂點(diǎn)為 A ，且點(diǎn) P（m，n） 點(diǎn) R 在射線 AP 上，滿足 |AR|?|AP|=μ 則點(diǎn)

結(jié)論2 已知橢圓 ，平面內(nèi)一定點(diǎn) A（s，t） ，點(diǎn) P（m，n） 點(diǎn) R 在射線 AP 上，且滿足 ∣AR∣ |AP|=μ 則點(diǎn)

證明 因點(diǎn) R 在射線 AP 上，故設(shè) ，則 ，故 （m-s）2+（n-t）2，從而AR=λAP= 又 A（s，t） ，所以動(dòng)點(diǎn)

結(jié)論3 已知橢圓 的下頂點(diǎn)為 A ，點(diǎn) P（m，n） 不在 y 軸上，點(diǎn) R 在射線 AP 上，且滿足 ∣AR∣ ：|AP|=μ .直線 OR 的斜率為直線 oP 的斜率的 Φ_t 倍， Φ_t 滿足 tgt; μ（t²-1） ．則點(diǎn) P 的軌跡方程為圓 m²+

證明 由結(jié)論1知，動(dòng)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 A 因直線 OR 的斜率為直線 oP 的斜率的χ_t ，化簡并整理得， μ（μ-μt2+t），因tgt;μ（t²-1） .故點(diǎn) P 軌跡為一個(gè)圓，且 m≠0

4拓展探究

該題所涉及到的模型較為典型，還可以拓展得到下面結(jié)論：

結(jié)論4已知點(diǎn) A 是橢圓 C 上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) P 在線段 oA 的延長線上，且 ∣OA∣?∣OP∣=

μ，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的最大值為 1

證明 因點(diǎn) P 在線段 oA 的延長線上，故設(shè) ，由 ，可得 λ 設(shè) A（x，y），P（m，n） ，則 當(dāng)且僅當(dāng)x=± 時(shí)取等.所

以點(diǎn) P 橫坐標(biāo)的最大值為

5考題溯源

5.1 教材溯源

該題第（2）小問對思維有著較高要求，但它也不是無本之源，而是與教材有著緊密的聯(lián)系.上面（i）解法中解法5較為新穎，即利用直線的參數(shù)方程解決該題.而事實(shí)上直線的參數(shù)方程現(xiàn)行教材早有滲透，它來源于人教版（2019）選擇性必修1第68頁的探究與發(fā)現(xiàn)，“方向向量與直線的參數(shù)方程”中，如圖2，設(shè)直線 ξ_l 經(jīng)過點(diǎn) P（x₀，y₀），ν= Ξ（m，n） 是它的一個(gè)方向向量， P（x，y） 是直線 ξ_l 上的任意一點(diǎn)，則稱 {x =xo+mt，（t為參數(shù)）為直線l的參數(shù)方程.并提出想一想：直線的參數(shù)方程中 Ξ（m，n） 的幾何意義和 χ_t 的幾何意義是什么？平時(shí)教學(xué)中只要教師稍微引申點(diǎn)撥一下即可理解直線的參數(shù)方程形式.另外，對于（ii） $| P Q ＼rrangle$ 最值問題，本文介紹的解析中把問題轉(zhuǎn)化為橢圓上動(dòng)點(diǎn)到定圓上點(diǎn)距離最大問題，使用了熟悉的三角換元解法，相似于人教版（2019）選擇性必修1第116頁14題，已知橢圓 直線 l：4x-5y+40=0 ，橢圓上是否存在一點(diǎn)，使得：（1）它到直線 l 的距離最小？最小距離是多少？（2）它到直線 ξ_l 的距離最大？最大距離是多少？［因此筆者在平時(shí)教學(xué)中重視對課本例習(xí)題的挖掘，尤其是對教材中那些蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想、開闊思路的例習(xí)題的挖掘，針對這些好題，挖掘其中的高等數(shù)學(xué)背景，剖析背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)，感悟試題設(shè)計(jì)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想等，為高考打好基礎(chǔ)[2].

圖2

5.2 高考溯源

題1（2019年全國 I 卷22題）在直角坐標(biāo)系 _xOy 中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C₁ 的方程為pcos θ=4.M 為曲線 C₁ 上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) P 在線段 oM 上，且滿足 ∣OM∣?∣OP∣=16 ，求點(diǎn) P 軌跡 C₂ 的直角坐標(biāo)方程.

解析因 ρcosθ=4 ，故 C₁ 的直角坐標(biāo)方程為 x=4. 設(shè)M（4，t），P（x，y） ，則可得 ，所以 又 兩式相除得 消去 Φ_t 得 x²+y²=4. 故軌跡 C₂：x²+y²=4

題2（2022年全國聯(lián)賽一試11題）如圖3，在直角坐標(biāo)系 xOy 中，菱形ABCD的邊長為4，且 ∣OB∣=∣OD∣=6. （20（1）求證： |OA|?|OC 為定值.（2）當(dāng)點(diǎn)A在半圓 M （x-2）²+y²=4（2?x?4） 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn) c 的軌跡.

圖3

解析（1）因 ∣OB∣=∣OD∣ ， |AB|=|AD| ，故 ΔOAB ?ΔOAD ， ，同理 ∠COB=∠COD ，所以 o ，^A，C 三點(diǎn)共線.如圖3，連接 BD ，則 BD 中垂線為 AC ，設(shè)垂足為K ， ∣OK∣²-∣AK∣²=∣OB∣²-∣AB∣²=20（ （定值）.

（2）設(shè) ，其中 α=∠xMA 則 因 ∣OA∣²=（2+2cosα）²+ 所以 ，又由 ∣OA∣ |OC|=20 知， ，所以 從而 .所以 c 的軌跡是一條線段，其兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（5，5），（5，－5）.

6 教學(xué)建議

圓錐曲線內(nèi)容兼具代數(shù)與幾何的特征，是歷年高考壓軸命題的熱點(diǎn)板塊.2025年的高考全國卷此內(nèi)容的考查中，以往常見的定點(diǎn)定值等問題出現(xiàn)較少，考查呈現(xiàn)出新特點(diǎn)，即圓錐曲線與三角形面積、函數(shù)最值問題深度結(jié)合.

6.1突出數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，注重算法和算理

從今年這道高考圓錐曲線解答題中發(fā)現(xiàn)，試題對運(yùn)算能力的要求較高.可以預(yù)測今后這塊內(nèi)容的考查仍然會重視計(jì)算能力，因此考生在圓錐曲線復(fù)習(xí)備考過程中，除了加強(qiáng)“四基”訓(xùn)練外，還要抓住核心問題一運(yùn)算能力的提升，時(shí)刻注重強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算，一步一個(gè)腳印.在計(jì)算的時(shí)候要注重算理、算法和技巧，不斷在解題中滲透強(qiáng)化，長期不解的加強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的訓(xùn)練.只有這樣，考生自己才可以提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，從而不再“畏懼”解析幾何的計(jì)算[3].

6.2 發(fā)揮幾何性質(zhì)作用，有效減少運(yùn)算量

對于第二問，無論是利用兩直線的斜率比值得到點(diǎn)P（m，n） 的軌跡為圓，還是求解橢圓上任意一點(diǎn) Q 到圓上點(diǎn) P 的最大值所用的數(shù)形結(jié)合，都需要充分挖掘圖形的幾何性質(zhì)，為問題的解決帶來思路和運(yùn)算的便捷.從而啟發(fā)我們解析幾何的運(yùn)算是帶有幾何特征的代數(shù)運(yùn)算，解答時(shí)要充分利用圖形要素及相互之間的關(guān)系，這樣才能有效減少運(yùn)算量，提高效率.

參考文獻(xiàn)

[1]王東海.一道創(chuàng)新性多選題的解法探究及高考溯源［J].高中數(shù)理化，2023（13）：33-36.

[2]王東海.多措并舉拓寬視野背景探究體現(xiàn)本質(zhì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2024（9）：48-51.

[3]王東海.多方視角覓思路推廣引申探本質(zhì)[J].廣東教育，2024（9）：31-35.

作者簡介王東海（1974—），合肥肥東人，中學(xué)一級教師，合肥市高中數(shù)學(xué)骨干教師；安徽省高考優(yōu)秀閱卷員，任教班級中有多人次在全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽賽區(qū)榮獲一、二、三等獎(jiǎng)；主要研究方向是高中數(shù)學(xué)教學(xué)；發(fā)表論文多篇.