立足核心素養(yǎng) 考查關(guān)鍵能力

一線教師和學(xué)生通過對(duì)高考題的品味、研究、思考、交流，不斷從中汲取營(yíng)養(yǎng)，充分發(fā)揮出高考試題的效果和效益.2025年新高考I卷第18題是一道直線與圓錐曲線相交產(chǎn)生的最值問題，承載著對(duì)考生的選拔功能，對(duì)學(xué)生的關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)要求較高.本文先從多個(gè)切入點(diǎn)分析解答，然后對(duì)試題進(jìn)行多角度拓展，最后回到教材和高考中追本溯源，從而發(fā)揮出典型高考題的教學(xué)引導(dǎo)功能.

1真題呈現(xiàn)

（2025年新高考Ⅰ卷第18題）設(shè)橢圓 c gt;bgt;0AA ，記 A 為橢圓的下頂點(diǎn)， B 為橢圓的右頂點(diǎn)， |AB|= ，且橢圓 c 的離心率為

（1）求橢圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知?jiǎng)狱c(diǎn) P 不在 y 軸上，點(diǎn) R 在射線 AP 上，且滿足∣AR∣?∣AP∣=3. （20

（i）設(shè)點(diǎn) P（m，n） ，求點(diǎn) R 的坐標(biāo)（用 m，n 表示）；（ii）設(shè) o 為坐標(biāo)原點(diǎn)， Q 為 c 上的動(dòng)點(diǎn)，直線 OR 的斜率為直線 oP 的斜率的3倍，求 $| P Q ＼rrangle$ 的最大值.

分析（1）如圖1所示，易得橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y²= 1 ；（2）（i）可從求線段長(zhǎng)度、向量數(shù)量積、向量共線、三角函數(shù)等角度處理此題;

圖1

（ii）可先由條件得動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程為圓，再利用數(shù)形結(jié)合法、圓的參數(shù)方程法、幾何法等角度求解 ∣PQ∣ 的最大值，這里充分利用圖形的幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.考題對(duì)考生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)要求較高.該考題設(shè)計(jì)精巧，內(nèi)涵豐富，是一道值得探究的好試題.

2 解法探究

先探究（2）（i）的解題方法：

思路1 兩向量數(shù)量積法

解法1因點(diǎn) R 在射線 AP 上，故 3，設(shè) ，故 （m，n+1）?（x₀，y₀+1）=3 ，所以 λ_n① 又直線 AP 方程為： ，由 R 在射線 AP 上得， ，即 聯(lián)立 ①② 解得 0

點(diǎn)評(píng)本法考慮到三點(diǎn)共線，轉(zhuǎn)化成數(shù)量積運(yùn)算來處理兩條線段的積，再利用點(diǎn)在直線上得方程組.本法運(yùn)算……