立足核心素養 考查關鍵能力

一線教師和學生通過對高考題的品味、研究、思考、交流，不斷從中汲取營養，充分發揮出高考試題的效果和效益.2025年新高考I卷第18題是一道直線與圓錐曲線相交產生的最值問題，承載著對考生的選拔功能，對學生的關鍵能力和核心素養要求較高.本文先從多個切入點分析解答，然后對試題進行多角度拓展，最后回到教材和高考中追本溯源，從而發揮出典型高考題的教學引導功能.

1真題呈現

（2025年新高考Ⅰ卷第18題）設橢圓 c gt;bgt;0AA ，記 A 為橢圓的下頂點， B 為橢圓的右頂點， |AB|= ，且橢圓 c 的離心率為

（1）求橢圓 c 的標準方程；

（2）已知動點 P 不在 y 軸上，點 R 在射線 AP 上，且滿足∣AR∣?∣AP∣=3. （20

（i）設點 P（m，n） ，求點 R 的坐標（用 m，n 表示）；（ii）設 o 為坐標原點， Q 為 c 上的動點，直線 OR 的斜率為直線 oP 的斜率的3倍，求 $| P Q ＼rrangle$ 的最大值.

分析（1）如圖1所示，易得橢圓 C 的標準方程為 y²= 1 ；（2）（i）可從求線段長度、向量數量積、向量共線、三角函數等角度處理此題;

圖1

（ii）可先由條件得動點 P 的軌跡方程為圓，再利用數形結合法、圓的參數方程法、幾何法等角度求解 ∣PQ∣ 的最大值，這里充分利用圖形的幾何性質是解題的關鍵.考題對考生的邏輯推理、數學運算等核心素養要求較高.該考題設計精巧，內涵豐富，是一道值得探究的好試題.

2 解法探究

先探究（2）（i）的解題方法：

思路1 兩向量數量積法

解法1因點 R 在射線 AP 上，故 3，設 ，故 （m，n+1）?（x₀，y₀+1）=3 ，所以 λ_n① 又直線 AP 方程為： ，由 R 在射線 AP 上得， ，即 聯立 ①② 解得 0

點評本法考慮到三點共線，轉化成數量積運算來處理兩條線段的積，再利用點在直線上得方程組.本法運算……