平面四邊形中幾何最值與面積問題的多解探究

平面四邊形相關問題常融合多個知識點，綜合性強，在各類考試中頻繁出現，是考查學生數學綜合能力的重要題型.“隱圓”作為平面幾何中一種隱藏但極具價值的條件，在解題過程中若能被準確識別和有效運用，往往能為解決復雜問題提供關鍵思路.本文以泉州市2025屆高中畢業班質量監測（二）第14題為例，通過對多種解法，幫助學生對“隱圓”知識進行總結和梳理，分析建立系統的知識體系，提高學生對幾何問題的敏感度和洞察力

1 題目分析

題目在平面四邊形 ABCD 中， AB=4 ， BC= 2 ， AC=AD ， ，則 AC= ；若點 E 是 cD 的中點，則當 BE 取得最大值時，四邊形 ABCD 的面積為

本題以平面四邊形為依托，巧妙地將“隱圓”這一關鍵幾何要素隱匿其中.學生要突破這一難題，就必須具備從錯綜復雜的圖形關系中精準識別“隱圓”條件的敏銳洞察力，進而靈活運用圓的相關性質來解決問題.從代數角度來看，坐標法、三角換元法、向量法、三角函數法等都是將幾何問題轉化為代數運算.在轉化過程中，學生需要依據題目條件建立方程或函數模型，以此來求解幾何量的最值與面積.這不僅考查了學生對余弦定理、三角形面積公式等基礎知識的熟練運用，更突出了對學生數學運算和數學建模能力的嚴格考查.在建立函數模型時，函數與方程思想貫穿始終，學生要學會將幾何中的變量關系轉化為函數關系，通過研究函數的性質來解決幾何問題

其中，余弦定理、三角形面積公式等內容成為解題的基礎運算工具，它們是學生進行代數運算和建立數學模型的重要依據；圓的定義、性質以及軌跡問題，則構成了“隱圓”這一隱含條件的知識內核，是學生發現“隱圓”運用圓的性質解題的關鍵所在.

2 解法探究

在 ΔABC 中，由余弦定理知 AC²=AB²+AC² -2AB?AC?cos∠BAC=100 ，整理得 AC=10

解法一（坐標法）以 A 為原點， AB 所在直線為 x 軸建立平面直角坐標系，則 C（8，6） ．設D（m，n） ，因為 AC=AD ，且 AC=10 ，所以 m²+n²= 100① 又因為點 E 是 cD 的中點，所以 E 點坐標為 ，當 n 取最大值10時，D（0，10），BE² 取最大值64，此時 BE 取得最大值8，所以四邊形 ABCD 的面積為S= S△ABc + S△ACD = （2

評注坐標法通過建立平面直角坐標系，把幾何元素（點）轉化為坐標，將幾何問題轉化為代數運算.它利用代數方法求解幾何問題，解題過程規范、有序，在本題中，通過設點坐標、利用中點坐標公式得到 E 點坐標，再通過兩點距離公式建立與所求量相關的代數表達式，最終求解出最大值和四邊形面積.

解法二 （三角換元）設 D（10cosθ，10sinθ） ，其中 ，同解法一可得 BE²=34+30sinθ? 64，當 sinθ 取最大值1時， D（0，10） ，下同解法一得四邊形 ABCD 的面積52.

評注 三角換元法巧妙地引入三角函數進行變量代換，將幾何問題轉化為三角函數問題.它利用三角函數的有界性來求解最值，為解決幾何最值問題提供了獨特視角.

解法三 （向量法）設 ∠BAC=α，∠CAD=β 因為 AC=AD ，點 E 是 CD 的中點，所以 ，因為 所以 （20 4cos（α+β）=34+24sinβ+18cosβ=34+30sin（β +φ） ，其中 5，cosφ ，所以當 時， BE 取到最大值8．此時 sinβ= （20號 ，所以以 （202

評注 向量法是將幾何中的長度、角度等問題轉化為向量的數量積、模長等運算，充分體現了向量的工具性.它能夠通過向量關系簡潔地表示復雜的幾何關系，對于處理涉及多個向量關系、角度和長度綜合的問題具有獨特優勢.

解法四 （三角函數法）連結 AE ，設 ∠CAE= 0.因為 AC=AD ，點 E 是 CD 的中點，所以 AE⊥CD ！所以 AE=10cosθ. 在 ΔABE 中，由余弦定理得 AE² （204號=AB²+AE²-2AB?AE?cos∠BAE ，即 AE²=16+ 30sin（2θ+φ）+34 ，其中 所以當 時，BE取到最大值8.此時 所以

評注三角函數法通過建立三角函數關系來求解幾何問題，對于一些難以從幾何圖形直接找到關系的問題，構建三角函數模型能有效地將問題轉化為熟悉的函數問題進行解決.這種方法充分體現了函數與方程思想，有助于培養學生的邏輯思維和代數運算能力.

解法五 （幾何法）因為 AC=AD ，點 E 是 CD 的中點，所以 AE⊥CD ，所以點 E 落在以 AC 為直徑的半圓上，記圓心為 o 當 BE 過點 o 時， BE 取到最大值.

在 ΔABO 中，由余弦定理得 BO²=AB²+AO²- 所以 BO= 3 .又因為 ，所以 SΔACE=12×=20 所以S四邊形ABCD

評注幾何法的突出優勢是直觀性強，借助圖形的幾何性質，尤其是“隱圓”的性質，能快速找到關鍵解題點.這種解法利用幾何圖形的直觀特征，避免了復雜的代數運算.在本題中，通過挖掘“隱圓”這一隱含條件，結合圓的性質和余弦定理等知識，快速求解.

3 幾何法中“隱圓”常見表現形式

在解決數學問題時，并非所有題目都會直白地給出圓的信息.有些題目里，圓的條件是隱含著的，需要我們對題目展開細致分析，運用恰當的轉化方法，才能找到圓（或圓的方程），進而運用圓相關的知識解答題目.解答這類問題的核心，在于如何挖掘出隱藏的圓（或圓的方程），常見的解題策略有：

3.1 運用圓的定義和性質發現圓

（1）利用圓的定義（到定點的距離等于定長的點的軌跡）確定隱形圓；（2）動點 P 對兩定點 ^A，B 張角為 90^°（k_PA?k_PB =-1? ）確定隱形圓；（3）A，B 是兩個定點，動點 P 滿足 PA²+PB² 是定值確定隱圓；（4）A，B 是兩個定點，動點 P 滿足 確定隱圓.

3.2 根據“阿氏圓”發現圓

一般地，平面內到兩個定點距離之比為常數λ（λ≠1） 的點的軌跡是圓，此圓被叫做“阿波羅尼斯圓”不妨設 A（ε_-，ε_a，0） ， ，設 P（x，y） ，則有 ，化簡得 ，軌跡為圓心 半徑為 的圓.

3.3 向量關系中的“隱圓”

（1）向量極化恒等式推出的隱圓：乘積型 · （20

結論1 平面內，若A，B為定點，且PA·PB= λ ，則 P 的軌跡是以 M 為圓心， AB2為半徑 的圓.

證明 由 ，根據極化恒等式可知 1AB2=λ，所以PM = AB2+λ，P的軌 跡是以 M 為圓心， 為半徑的圓.

（2）向量極化恒等式推出的隱圓：極化恒等式和型 PA²+PB²=λ

結論2 若 ^A，B 為定點， P 滿足 PA²+PB²=λ ， 則 P 的軌跡是以 AB 中點 M 為圓心 為 半徑的圓.

證明 所以 ，即 P 的軌跡是以 AB 中點M 為圓心 為半徑的圓.

（3）定冪方和型

結論3若 ^A，B 為定點， mPA²+PB²=n 或 PA² 或 mPA²+nPB²=λ ，則 P 的軌跡為圓.

證明 以直線 AB 為 x 軸，以 AB 中垂線為 y 軸，建立直角坐標系，由 mPA²+PB²=n 可化為 即 1） （x²+y²）+2c（m-1）x+（m+1）c²-n=0 整理得

綜上可見，每種解法各有優劣，從不同角度展現了數學知識的相互聯系與靈活運用.在教學過程中，教師應引導學生掌握多種解法，對比分析其特點，根據題目條件選擇最優解法，以此提升學生的解題能力和數學思維.同時，強化“隱圓”等重要幾何概念的教學，幫助學生構建完整的知識體系，提高學生對幾何問題的敏感度和洞察力.