由 (a+1)(b+1)=a+b+ab+1 想到的

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）08-0003-01

初看 （a+1）（b+1）=a+b+ab+1 似乎沒有什么特別之處，這不就是一個簡單的恒等變形嗎？仔細看，會發(fā)現(xiàn)這個恒等變形有其特點，這個特點就是 ， a+b+ab 這三個式子都加上了數(shù)字1.仔細再看，當 a ， b 互為相反數(shù)時，這個式子就是平方差公式；當 a ， b 相等時，這個式子就是完全平方公式，它們是初中階段兩個重要的公式，除了這些，好像沒有其他特別之處了.很多教師可能會說：“我們的學生都熟練地掌握了上述恒等變形，因為它太基礎、太簡單了.”

事實是這樣嗎？我們看下面這個問題，

問題：黑板上寫有0，1，2，3，…，9共十個數(shù)字，每次操作時先從黑板上的數(shù)中任意選取兩個數(shù) a ，b擦掉，然后在黑板上寫上數(shù) a+b+ab ，則經(jīng)過9次操作后，黑板上剩下幾個數(shù)？剩下的數(shù)能確定嗎？如果能確定，是多少？如果不能確定，試說明理由.

這個問題的解決要經(jīng)過9次操作，而且每次操作都是從黑板上的數(shù)中任意選取兩個數(shù)，很顯然，每次操作后黑板上少1個數(shù)，9次操作后，黑板上只剩下1個數(shù)，直覺告訴我們，這個數(shù)是確定的．如果不確定，這個問題就沒意義了，這個數(shù)大概多大？幾百，幾千，幾萬，？數(shù)量級是多少？

由于所取兩個數(shù)的任意性，理論上可以一一嘗試，有興趣的讀者可以算一算．但是這個操作單調重復、費時費力，因此，要尋求變化過程中不變的規(guī)律．也就是說，這個問題的本質是什么？或者這個問題涉及的數(shù)學知識是什么？筆者曾與很多初中數(shù)學教師交流過這個問題，他們的反饋既在意料之中，又在情理之中，意料之中的是，不知從何思考，無法下手，無從獲得問題的答案；情理之中的是，日常教學中很少接觸類似的問題，不常規(guī)自然就是困難的，不得不說，這是一個構思極其巧妙的問題，如何想到建立每次擦掉的兩個數(shù) a ， b 分別加1后，與寫上的數(shù) a+b+ab 加1之間的關系？也就是找到恒等變形 （a+1）（b+1）=a+b+ab+1 ，然后進行簡單運算，從而獲得問題的答案.

初中數(shù)學中，我們常常討論加法與乘法兩種運算的相互轉化．這些運算都可以歸結為 a+b+ab+1 這種簡單的形式．僅僅就這個式子而言，無論是從左到右，還是從右到左，運算（或推導）的難度都不大，但如何評價學生是否掌握了這個式子？可以說這個式子有很多變式，甚至有很多“花樣”.這需要在復雜的問題情境中把握基本的關系．在某種程度上，整個初中數(shù)學的代數(shù)運算就是在“整”這樣一個式子.

如何思考、解決這個問題，前面給出了提示，筆者對此不展開介紹，過程留給讀這本刊物的讀者．這個問題的答案是3628799，這是一個很大的數(shù)．筆者的自的是通過這個有別于日常教學的問題，讓學生掌握認識變化過程中的不變性的方法，發(fā)現(xiàn)不變性，感受對代數(shù)恒等式及代數(shù)運算不同水平的理解、掌握和靈活應用程度.