運用平移法，解三類常見問題

在解決一些復雜的問題時，平移法能夠提供新的思路和視角，幫助學生打破思維定式，開拓解題思路.因此，掌握平移法對于提高學生的解題能力和數(shù)學思維能力具有重要意義.

1 造橋選址問題

造橋選址問題是一個經(jīng)典問題，根據(jù)位置不同可以分為兩類， Z 型和 U 型.圖1為 Z 型，解題中可過點A作 AA^′//MN ，且 AA^′=MN，AA^′NM 為平行四邊形，連接 A^′B ，與直線 b 交于點 N^′ ，當點 N 位于點 N^′ 時， AM+MN+NB 最小.

圖2為 U 型，解題中可過點 A，D 作 AA^′//CD ，DA^′//AC，AA^′"與 DA^′"交于點 A^′"，再作點 B 關于直線 ξ_l"的對稱點 B^′"，連接 A^′B^′"交直線 ξ_l"于點 D^′"，當點 D 位于 D^′"時， CD 即為所求.

例1如圖3，四邊形 ABCD 對角線 AC，BD 互相垂直， AC=4 BD=6 ，則 AD+BC 的最小值為

（A） ： （C）5. （D）6

解析 如圖3，平移 BD 至 CE ，連接 ED，EA ，

因為 AC⊥BD ，

則 AC⊥EC ，

因為 AD+BC=AD+DE?AE

所以 AD+BC 的最小值為

2 定邊、定高問題

平移法也常被用于解決定邊、定高問題，常涉及幾何圖形的面積或周長計算.平移法通過移動圖形，使得問題中的定邊和定高處于更易于計算的位置，從而簡化問題.常見的題型有矩形或平行四邊形中的定邊、定高問題以及三角形中的定邊、定高問題等.解題中首先需要明確題目中給出的定邊和定高是哪兩條線段，以及它們之間的關系；而后根據(jù)題目的要求和圖形的特點，確定平移的方向和距離；最后，根據(jù)已知的定邊和定高，計算所求的面積或周長.

例2如圖4，在 ΔABC 中， ∠ACB=90^° ， 在 AB 上，點 E 在 AB 延長線上， DE=AB ，求 ΔCDE 周長的最小值.

解析因為 ∠ACB=90^° 0 ∠BAC=30^° 所以 ∠ABC=60^° ·因為 ，可得 BC=1，AB=2，DE=AB=2 ，沿 AB 方向平移 CD 至 FE ，連接 CF ，則 CF=DE=2，CF//DE 作 c 關于 AB 的對稱點 G ，連接 CG，GE，GF ，CG 交 AB 于點 H ，則 所以 CD+CE=FE+GE≥FG ， 故當 F，E，G 三點共線時， ΔCDE 周長最小為

3平行四邊形存在性問題

在初中數(shù)學試卷中，平行四邊形存在性問題常見的有“兩定兩動”“三定一動”等模型，在面對這兩類平行四邊形存在性問題時，均可以借助平移法進行解題.其中需要注意的是，不同模型均會涉及分類討論思維，如“三定一動”中，需要分別討論將三個定點構建的三角形的三邊作為對角線來構建三個平行四邊形，進而求出動點位置.

例3如圖5，拋物線 與 x 軸相交于 ^A，B 兩點，頂點為 P

（1）求 A，B 的坐標；

（2）是否存在點 F ，使以 A，B，P，F(xiàn) 為頂點的四邊形為平行四邊形？

解析 （1）A（-3，0），B（1，0） （2）因為拋物線為 中得其頂點 P（-1，-2） ，此時已知 A，B，P 三點，后續(xù)則需對AB所處位置進行分類討論.當線段 AB 為邊時，平行四邊形為ABPF或 ABFP ，此時則有 AP//BF，AP=BF ，則有 A 平移得到 B 的路徑與 P 平移得到 F 的路徑相同，A（-3，0） 向右平移4個單位得到 B（1，0） ，因為 P（-1，-2） ，則可得 F₁（3，-2） ，同理，對于平行四邊形為 ABFP 時，可得 F₂（- 5，-2） ;當AB為對角線時，平行四邊形為 APBF ，此時 P 平移得到 B 的路徑與 A 平移得到 F 的路徑相同，即向右平移2個單位，向上平移2個單位，可得 F₃（-1，2） ，綜上所述，符合題意的 F 點坐標為 F₁（3，-2），F(xiàn)₂（-5，-2），F(xiàn)₃（-1，2）

4結語

綜上所述，本文總結了平移法在解答造橋選址、定邊和定高、平行四邊形存在性問題等問題中的運用，可以發(fā)現(xiàn)靈活運用平移法能夠降低相關問題的解題難度.

參考文獻：

[1]陸軍.初中數(shù)學幾何題的解題方法[J].數(shù)理天地（初中版），2023（21）：28—29.

[2]王琪瓊.借助多元解題技巧，突破初中數(shù)學幾何題解題障礙[J].數(shù)理天地（初中版），2023（19）：30-32.