單元整體教學(xué)視角下初中數(shù)學(xué)專題課的教學(xué)探索

1單元整體教學(xué)與專題課教學(xué)內(nèi)涵

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標》提出：改變過去注重以課時為單位的教學(xué)設(shè)計，推進單元整體教學(xué)設(shè)計，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，以及學(xué)習(xí)內(nèi)容與核心素養(yǎng)表現(xiàn)的關(guān)聯(lián)[1].單元整體教學(xué)，主要是指通過學(xué)科的內(nèi)在規(guī)律進行知識整合，促進學(xué)生構(gòu)建完整的思維體系.有的學(xué)者認為單元整體教學(xué)可以看成是一種教學(xué)策略，是指在實施教學(xué)的過程中，將一個單元的知識作為教學(xué)的整體，引導(dǎo)學(xué)生整體獲取知識，提高學(xué)習(xí)效率的教學(xué)策略.傳統(tǒng)的教學(xué)重視課時設(shè)計，往往只關(guān)注幾個知識點的學(xué)習(xí)和知識的局部或細節(jié)，復(fù)習(xí)課主要是知識加習(xí)題訓(xùn)練的低效復(fù)習(xí)模式，容易造成知識分解過度，導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)碎片化、零散化，教學(xué)效益低下等現(xiàn)象，不利于將知識點形成一個有機整體.因此，我們的教學(xué)要對單元進行整合、重組，重構(gòu)單元知識與數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)在聯(lián)系，推進單元整體教學(xué).

數(shù)學(xué)專題課是指將數(shù)學(xué)知識依據(jù)其內(nèi)在聯(lián)系進行整合，使之形成模塊化專題的課堂[3].專題的設(shè)計聚焦某類問題的解決，幫助學(xué)生整合知識、方法、思想，貫通經(jīng)驗，助力學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣與思維品質(zhì)的培養(yǎng).在單元整體教學(xué)理念的指導(dǎo)下，整體設(shè)計單元內(nèi)容，提升學(xué)生的高階思維能力.本文中以單元整體教學(xué)視角下“正方形的多維探究\"專題課的教學(xué)設(shè)計及教學(xué)為例，探索數(shù)學(xué)專題課中單元整體教學(xué)的實施，以期待同仁們的廣泛探討.

2課題的選擇背景與課前準備

2024年徐州市中考復(fù)習(xí)研討會預(yù)設(shè)了兩節(jié)中考復(fù)習(xí)觀摩課，筆者從圖形與幾何這個模塊中選擇課題.中考復(fù)習(xí)指導(dǎo)目錄中有相交線與平行線、三角形及四邊形、圓三個單元，筆者認為四邊形這個單元中起到承前啟后的作用，有著非常重要的地位.從四邊形這個單元中提取特殊的正方形進行設(shè)計研究，非常有意義.如圖1，它可以在四邊形單元內(nèi)部網(wǎng)狀鏈接，還可以與“三角形”“圓\"建立單元間聯(lián)系.不僅考查學(xué)生抽象能力、推理能力，還考查運算能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

如圖2，筆者要求學(xué)生課前用概念圖整理與正方形相關(guān)的知識、方法、思想結(jié)構(gòu)圖，為本課的順利展開作了充分的準備.

定義 有一組鄰邊相等，且有一個角是直角的平行回邊砂叫正方形。]對稱性 既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形。性質(zhì) 邊 對邊平行，鄰邊垂魚，回條邊都相等。

3“正方形的多維探究”教學(xué)呈現(xiàn)

在單元整體建構(gòu)的視角下，情境創(chuàng)設(shè)環(huán)節(jié)設(shè)計知識由整體到局部的過程，以鞏固學(xué)生知識的整體性，促使思維系統(tǒng)化.展示交流環(huán)節(jié)主要引導(dǎo)學(xué)生在課前用概念圖把正方形的相應(yīng)知識、思想、方法可視化、網(wǎng)絡(luò)化、結(jié)構(gòu)化.探索活動環(huán)節(jié)主要設(shè)計一題多變、一圖多用、一題多解，訓(xùn)練學(xué)生思維的發(fā)散性、靈活性、深刻性，促進學(xué)生思維提升，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，以期待達成單元整體教學(xué)的目的.

環(huán)節(jié)1：情境創(chuàng)設(shè).

初中階段學(xué)習(xí)的正方形內(nèi)容在初中數(shù)學(xué)體系的什么位置？初中階段學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐四個模塊.圖形與幾何模塊研究了線、角、三角形、四邊形、圓等內(nèi)容.正方形就在四邊形研究的范圍中，如圖3，可以看出正方形所在的位置.正因為它的特殊性，所以具備矩形、菱形的一切性質(zhì).

與人工智能對話：正方形美在哪里？

答：正方形的美，在于其規(guī)則性和對稱性.它有四條相等的邊和四個相等的角，這種完美的平衡和對稱給人以穩(wěn)定與和諧的感覺.同時，正方形也是矩形和菱形的一種特例，是二維平面上最穩(wěn)定的形狀之一.這種穩(wěn)定性也增加了它的美感.在設(shè)計中，正方形的美表現(xiàn)在其簡潔而強烈的設(shè)計感.設(shè)計師們常常利用正方形的元素來鋪裝、裝置等，創(chuàng)造出獨特的視覺效果.

教學(xué)說明：展現(xiàn)了結(jié)構(gòu)化教學(xué)理念.同時，用現(xiàn)代化信息技術(shù)手段，將人工智能引入課堂，讓課堂教學(xué)緊跟時代腳步，體現(xiàn)了研究正方形的重要性.

環(huán)節(jié)2：展示交流.

請你歸納正方形相關(guān)知識點.

如圖2，學(xué)生在課前用概念圖已完成了對正方形相關(guān)知識的整理，主要包含正方形的定義、性質(zhì)、判定、模型、應(yīng)用等.（大屏冪展示學(xué)生作品）

環(huán)節(jié)3：探索活動.

例題如圖4，在正方形ABCD 中， E 是邊 AB 上的一個動點（點 E 與點 A，B 不重合），連接CE ，過點 B 作 BF⊥CE 于點 G ，交AD 于點 F

（1）請你提出一個問題并嘗試解決這個問題；

（2）如圖5，連接 EF，CF ，若 CE=8 ，求四邊形BEFC的面積；

（3）如圖6，當(dāng)點 E 運動到 AB 中點時，連接 DG ，求證： DC=DG ：

（4）第（3）問的條件與結(jié)論互換后還成立嗎？為什么？

（5）若點 E 在射線 BA 上運動，點 F 在射線 AD 上運動，點 G 的運動軌跡是什么？若 BC=2 ，求 DG 的取值范圍.

教學(xué)片斷1

師：對于問題（1），在幾何畫板中觀察，動點 E 在正方形的AB邊上運動的過程中， CE，BF 也在發(fā)生變化，請你添加條件，使之符合它的運動規(guī)律.

生1：我添加的條件 BF=CE 生2：我添加的條件 BE=AF

師：如圖4，在正方形 ABCD 中， E 是邊 AB 上的一個動點（點 E 與點 A，B 不重合），連接 CE ，過點 B 作 BF⊥CE 于點 G ，交 AD 于點 F .請你提出一個問題并嘗試解決這個問題.

生3：求證： BE=AF

教師讓提問的同學(xué)板演，其他同學(xué)在下面完成.之后交流答案.

師：對于問題（2），如何求四邊形BEFC的面積？

教學(xué)說明：該問題中點 E 的特殊位置添加條件，引發(fā)思考，在對角線垂直時可用對角線的積的一半來計算四邊形的面積，同時關(guān)注學(xué)生有條理的表達.

教學(xué)片斷2

師：對于問題（3），證明兩邊相等的方法有哪些？生4：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；等量代換.生5：等角對等邊；全等三角形的對應(yīng)邊相等.生6：線段垂直平分線上的一點到線段兩端點的距離相等；平行四邊形的對邊相等；等等.

師：圍繞這些依據(jù)，思考具體怎樣證明？

生7：我主要利用直角三角形斜邊中線定理證明.延長圖6中的 BF，CD 交于點 H ，可證明 ΔABF? ΔBCE ，得 BE=AF ，進而得 F 是 AD 的中點，再證 ，得 AB=DH ，由 AB=CD ，求出DC=DH .再由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，得到 DG=DC

生8：我主要通過建立直角坐標系的方法，利用兩點間的距離公式求線段的長度.以 A 為坐標原點， ? 所在直線為 x 軸， AD 所在直線為 軸，建立平面直角坐標系.設(shè)點 B 的坐標為 （2a，0） .求出直線 BF 和直線CE 的表達式，利用解析法求出點 G 的坐標，最后求出DG 的長為 2a ，與 CD 相等.

生9：我主要用計算方法證明.在 GC 上截取一點M ，使 MG=GE .主要是要證 ΔDFG?ΔBMC. 首先，易證 BM=DF ， ∠BMC=∠DFG .易證 CE=BF ，接下來只要證出 ME=BG ，就可以得到 FG=CM 在RtΔABF 中， ∠ABF 的正切值為 ，因此在Rt△BGE中， EG：BG=1：2 ，由 MG=GE ，可證得 EM=BG ，于是 FG=CM. 所以 ΔDFG?ΔBMC ，從而 DC=DG

生10：我主要用證明四點共圓的方法證明4].連接 CF ，由 ∠ADC+∠FGC=180^° ，得 C，D，F(xiàn)，G 四點共圓.由同弧所對的圓心角相等可證 ∠DCF= ∠DGF .易證 ΔCBE?ΔCDF ，得 ∠BCE=∠DCF ，進而證得 ∠BCE=∠DGF .由等角的余角相等，證得∠DCG=∠DGC ，得到 DG=DC. （仍有一些同學(xué)舉手示意，等待回答.）

師：同學(xué)們的方法很豐富，表達嚴謹，課后大家把多種解法整理到好題集里.請同學(xué)們繼續(xù)思考，問題（3）的條件與結(jié)論互換后還成立嗎？為什么？

教學(xué)說明：引導(dǎo)學(xué)生思考題目中的條件與結(jié)論互換后可以得到新的命題，有的逆命題也是真命題.學(xué)生重復(fù)使用以上方法，感受到四點共圓的方法可以作為解決這題的主要方法，感受了方法的普適性，提升了思維的靈活性、深刻性和敏捷性.

教學(xué)片斷3

師：如圖6，通過計算得到了 EG：BG=1：2 .GB：CG=1：2 ，那么 EG：BG：FG：CG：BF 等于多少？

生 11：EG：BG：FG：CG：BF=1：2：3：4：5.

師：如果連接 AG ，那么 ∠AGF 等于多少度？

生12：連接 AG ，可由 ∠FAE+∠EGF=90^°+90^°= 180^° ，可證得 A，E，G，F(xiàn) 四點共圓，進而可證明∠AGF=∠AEF ，易證 AE=BE=AF ，所以 ∠AGF= ∠AEF=45^° ：

生13：作 AN⊥BF 于點 N ，易證 FN：AN=1：2 AN：BN=1：2 ，易證 BG=NG ，可推得 BF= FN+BN=5FN ，所以 AN=2FN，GN=2FN ，得到AN=GN ，于是有等腰直角三角形 ANG ，進而求出∠AGF=45^°

教學(xué)說明：通過計算 ∠AGF 的度數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生思考點 E 的特殊位置除了得到線段間的特殊關(guān)系，也能得到角度的特殊值.啟發(fā)我們要有“數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界”，并有批判性思維推理、驗證，提升應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.

師：若點 E 在射線BA上運動，點 F 在射線 AD 上運動，點 G 的運動軌跡是什么？若 BC=2 ，如何求DG 的取值范圍？（引導(dǎo)學(xué)生先獨立思考，再看幾何畫板動態(tài)演示驗證.）

生： G 點的運動軌跡是以 BC 中點 O 為圓心， BC 為直徑的半圓弧 BC （不包括點 ^B，C） .當(dāng) _D，G，O 三點共線時， DG 最短，當(dāng)點 G 與點 B 重合時， DG 等于DB的長.于是 ：

教學(xué)說明：點 E 在特殊位置時，線段存在特殊關(guān)系，角有特殊值.同樣，點 E 在變化過程中，圖形中也會存在一些線段的特殊關(guān)系和角的特殊值.這需要我們用“數(shù)學(xué)的思維”來思考.比如點 E 在運動的過程中，有變化的隱圓和個不變的隱圓.變化中抓不變的本質(zhì)，訓(xùn)練思維、提升素養(yǎng).

環(huán)節(jié)4：小結(jié)反思.

本節(jié)課，你有哪些收獲？

教學(xué)說明：板書在教學(xué)過程中生成，從知識線、方法線、思想線多維度展開，最終物化成提示學(xué)生回顧學(xué)習(xí)內(nèi)容的概念圖（如圖7）.

課題：正方形的多維探究知識線 方法線 思想線定義 定義 轉(zhuǎn)化性質(zhì) 幾何法 性質(zhì)正方形 數(shù)形結(jié)合判定 判定模型 代數(shù) 建立直角 模型應(yīng)用 法 坐標系化動為靜 從特殊到一般圖7

4教學(xué)啟示

4.1單元整體設(shè)計，概念圖結(jié)構(gòu)化內(nèi)容

《課標》指出“重視單元整體教學(xué)設(shè)計”本課是一節(jié)中考復(fù)習(xí)課，通過情境創(chuàng)設(shè)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生感受本課題在模塊中的位置.圖形與幾何研究的主要內(nèi)容有相交線與平行線、三角形、四邊形、圓、圖形與變換等.而正方形就是四邊形內(nèi)容中的一個特殊內(nèi)容.課前，學(xué)生用概念圖完成了正方形定義、性質(zhì)、判定、模型、應(yīng)用等方面內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化梳理，為本課的學(xué)習(xí)做好了鋪墊.課后小結(jié)，通過板書將本課知識、方法、思想結(jié)構(gòu)化.

4.2緊跟時代腳步，妙用人工智能技術(shù)

上海師范大學(xué)的黎加厚教授指出，隨著生成式人工智能在中國社會各行業(yè)應(yīng)用的迅速普及，生成式人工智能帶來課堂教學(xué)的新變化.他指出：生成式課堂是人工智能時代的學(xué)習(xí)空間，教師在教學(xué)中使用生成式人工智能輔助教學(xué)，學(xué)生在教師的引領(lǐng)和管控下使用生成式人工智能輔助學(xué)習(xí)，在教學(xué)活動中，“師一生一AI\"三者互動，動態(tài)生成教學(xué)內(nèi)容[5].人工智能AI助力課堂教學(xué)，不僅能提供智能輔助學(xué)習(xí)，而且能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和探究欲望，啟發(fā)學(xué)生獨立思考和批判性思維.課上與人工智能對話，AI給出的語音答復(fù)讓課堂妙趣橫生.

4.3設(shè)計一題一課，培養(yǎng)學(xué)生高階思維

愛因斯坦曾說過：提出一個問題比解決一個問題更重要.本節(jié)課的例題第（3）問體現(xiàn)了一題多解，先思考證明兩邊相等的方法，然后再思考如何做，問題的設(shè)計符合學(xué)生的認知規(guī)律，同時真思考、真探究，遷移知識、發(fā)散思維.第（4）問、第（5）問體現(xiàn)了一題多變，引導(dǎo)學(xué)生逆向思考和拓展延伸，訓(xùn)練了思維的靈活性、發(fā)散性、深刻性.本題以正方形為基本圖形進行一圖多變、一圖多用，引導(dǎo)學(xué)生深人思考，感受到變化中的特殊位置非常值得研究，從變化中挖掘不變的性質(zhì)和規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，訓(xùn)練了批判性思維和創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)了學(xué)生的高階思維.

4.4問題激發(fā)思考，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)

本例題由5個問題構(gòu)成.問題是從觀察圖形后發(fā)現(xiàn)問題、提出問題入手，起點低、易思考，而后再賦予特殊位置的特殊值，進一步研究線段、面積、角度等.在此過程中，教師不僅關(guān)注到基本問題的有條理表達，而且學(xué)生的分析問題和解決問題的能力不斷得到強化.有梯度設(shè)計問題，到第（5）問的變式提升，探究點 G 軌跡及最值問題，研究變化中不變的結(jié)論，學(xué)生的抽象能力、推理能力、模型觀念、幾何直觀等核心素養(yǎng)都得到了培養(yǎng).

本節(jié)專題復(fù)習(xí)課的設(shè)計是在單元整體建構(gòu)視角下進行的.一題一課、一題多解、一題多變、一圖多用，讓學(xué)生思維進階，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).單元教學(xué)注重數(shù)學(xué)知識的整體性和關(guān)聯(lián)性，有利于揭示數(shù)學(xué)知識本質(zhì)，促進學(xué)生核心素養(yǎng)的落實，所以單元教學(xué)成為當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)研究的熱點[6].

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2朱文蘭.核心素養(yǎng)下初中數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)有效性探究——以浙教版“平行四邊形”和“特殊平行四邊形”為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2024（8）：17-18，21.

[3劉鵬，虞秀云，龍曉玉.深度學(xué)習(xí)視角下初中數(shù)學(xué)專題課的教學(xué)探索——以“完全平方公式的變形”為例[J].中國數(shù)學(xué)教育，2024（7）：53-56.

[4]袁健.一道試題的多種解法與教學(xué)反思[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2020（17）：33-35，32.

[5]黎加厚.生成式人工智能時代的課堂教學(xué)創(chuàng)新[J].中小學(xué)信息技術(shù)教育，2024（Z1）：6-10.

[6]石樹偉.傳統(tǒng)與現(xiàn)代之中間道路：數(shù)學(xué)學(xué)科單元教學(xué)落地的應(yīng)然選擇[J].上海教育科研，2023（6）：84-88.Z