創(chuàng)設(shè)情境 滲透思想 深度對話

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》新增：引導學生在探索真實情境所蘊含的關(guān)系中，發(fā)現(xiàn)問題和提出問題;數(shù)學課程設(shè)計要體現(xiàn)數(shù)學學科特征，要符合學生的認知規(guī)律，有助于學生理解、掌握數(shù)學的基本知識和基本技能，形成數(shù)學基本思想，積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗，發(fā)展核心素養(yǎng)[].因此，教師需要在平時教學中注重創(chuàng)設(shè)真實情境，滲透數(shù)學思想，開展深度對話，讓核心素養(yǎng)自然生成.

近日，我校開展課堂教學研討活動，邀請骨干教師執(zhí)教了一節(jié)代數(shù)推理與幾何直觀相融合的初一展示課“乘法公式（1）”，該教師教態(tài)輕盈，教導自然，教學流暢，獲得了所有聽者一致點贊.筆者就以此課為例，提出三點思考心得，與各位同仁交流.

1創(chuàng)設(shè)真實情境，教會學生用數(shù)學的眼光觀察

美國著名實用主義教育家約翰·杜威在1916年發(fā)表的《民主主義與教育》中首次提出創(chuàng)設(shè)教學情境，并指出真實情境是數(shù)學課程的重要啟蒙.因為學生的喜歡、好奇、探索、發(fā)現(xiàn)等都跟真實情境有關(guān)，若沒有真實情境，就不會有真正的數(shù)學眼光.所以，有人說“思維是核心，創(chuàng)造是目的，觀察是人門”，可見觀察的基礎(chǔ)性與重要性.要如何教學生學會用數(shù)學的眼光觀察呢？

片段1課前小故事

從前有一個貪心的財主，人們叫他巴依老爺.巴依老爺有兩塊地，一塊面積為 a² ，另一塊面積為 b² ，而阿凡提只有一塊地，面積為 （a+b）² C agt;0，bgt;0） .有一天，巴依老爺眼珠一轉(zhuǎn)對阿凡提說：“我用我的兩塊地換你的一塊地，可以吧？”

問題1 如果你是阿凡提，你會換么？問題2 （a+b）² 與 a²+b² 哪個大呢？

9.4乘法公代. 9.4乘法公代.ab師：a220tb時.（a+b）2

教學說明：第一，黑板上有貼圖（如圖1），所以能比較自然地啟發(fā)學生“觀察”拼圖，如從“圖形”角度解決.第二，老師引導，從整體和局部兩個角度分析.指出圖形的分解論證有局限性，要求 a_λ，b 都大于0，啟發(fā)學生從“代數(shù)”角度解決 （a+b）² 的拆解 （a+b）（a+b）

在本環(huán)節(jié)中，老師教學生用數(shù)學的眼光看世界，完成由“生活現(xiàn)實\"到“數(shù)學元素”的轉(zhuǎn)換，從“幾何圖形\"到“代數(shù)推理\"的論證，這是一種數(shù)學抽象的過程，這樣不僅引出了本課的研究對象—一完全平方公式，而且也在循序漸進的問題串的探究中體現(xiàn)了數(shù)學學科核心素養(yǎng).注重“創(chuàng)設(shè)真實情境”，以“現(xiàn)實\"世界為出發(fā)點，以“情感”為紐帶，以“觀察”為途徑，培養(yǎng)學生的“數(shù)學眼光”，挖掘代數(shù)推理背后的“幾何直觀”.

2滲透數(shù)學思想，教會學生用數(shù)學的思維思考

“用深刻的思想啟迪學生”，一旦有了數(shù)學思想的浸潤和滲透，數(shù)學課堂就有了不一樣的光彩，學生的發(fā)展就有了不一樣的風景，數(shù)學思維就有了不一樣的韻味.數(shù)學知識是數(shù)學思想的重要載體，滲透數(shù)學思想既不能束之高閣，又不能牽強附會.要如何教學生學會用數(shù)學的思維思考呢？

在操作層面上，如何滲透數(shù)學思想，在教學中達到授之以漁，且“悟其漁識\"？在本課例中，老師巧妙滲透了化歸、方程、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想，這里歸納三點：

2.1串聯(lián)新舊知識，滲透“化歸”思想

聯(lián)系已知，求解未知就是化歸思想的內(nèi)核.化歸思想的實質(zhì)就是借助已有的知識去解讀、推斷、發(fā)現(xiàn)、證實未知的正確性，當舊知串聯(lián)上新知，新的學習路徑就產(chǎn)生了.

片段2兩數(shù)和的平方的代數(shù)推導

問題1從代數(shù)角度觀察式子，我們還可以怎么拆解兩數(shù)和的平方？

問題2遇到新的知識，化歸到原來的知識，請你展開說說.

教學說明：這一環(huán)節(jié)，學生回顧整式乘法的內(nèi)容，遷移應(yīng)用，與今天的新學內(nèi)容串聯(lián)起來，抓住知識的生長點和延伸點，從代數(shù)角度對完全平方公式進行更完善的證明.

片段3兩數(shù)差的平方的轉(zhuǎn)化推導

問題聯(lián)系 （a+b）²=a²+2ab+b² ，對標 +b .-b ，如何拆解 （a-b）² ？

老師順著學生的表述，手指著兩數(shù)和的平方的公式，逐一對照.

追評：再次將新的知識，化歸到剛學的知識，掌聲送給他！

教學說明：這一環(huán)節(jié)，老師時刻關(guān)注課堂知識發(fā)生和發(fā)展的過程，立足學生最近發(fā)展區(qū)，即刻有效地提出對標和的平方，如何拆解差的平方，調(diào)動學生積極思考，肯定學生思考成果，扎實推進對兩數(shù)差的平方的理解，沿著類似的研究路徑，引導學生將“未知”化歸到“已知”

2.2串聯(lián)知識與方法，滲透“類比、數(shù)形結(jié)合”思想

片段4從兩數(shù)和的平方到兩數(shù)差的平方

在帶著學生從“圖形”“代數(shù)”角度得到兩數(shù)和的完全平方后，老師小結(jié)思維路徑：

面積相等 乘法運算律圖形 gt;法則或公式lt; 論證問題1沿著剛剛的對話路徑，自己類比試試看？

老師巡視，學生下筆做.

問題2數(shù)形結(jié)合，同樣從形、數(shù)兩個角度自主探究 （a-b）² ：

學生自主探究，如圖2.

教學說明：這一環(huán)節(jié)，老師注重把控節(jié)奏，張弛有度，不是只關(guān)注公式和法則的“快餐式”教學，而是以生為本，為生而教.調(diào)慢了學生本來快節(jié)奏的表達，細節(jié)講解對應(yīng) a 去乘 （a-b） 減去 b 去乘 （a-b） 依次得到什么？合并后發(fā)現(xiàn)中間的乘積的兩倍放中央，但是系數(shù)是一2.波利亞說“類比是發(fā)現(xiàn)的源泉，是一個偉大的引路人”，在類比中歸納相同點與不同點，強化兩數(shù)和的平方與兩數(shù)差的公式的由來，構(gòu)建更完善的知識體系.

2.3串聯(lián)知識與應(yīng)用，滲透“方程、整體”思想

（1）求 a²+b² 的值；

（2）求 （a-b）² 的值.

問題1你是聯(lián)系哪個公式來的？

追評：雖然積的兩倍放中央，但根據(jù)需要也可以靈活調(diào)整.

預(yù)設(shè)： （a+b）²=a²+2ab+b² 問題2談?wù)勀愕慕忸}過程板書： （a+b）²=a²+b²+2ab.

t4.（a-b）2

↑6師sa2-205+b2

教學說明：這一環(huán)節(jié)，老師既提醒學生重視思考，引導學生“調(diào)查才有發(fā)言權(quán)，先算完再舉手”，又尊重學生的個性化發(fā)言，肯定他們“這么棒的聯(lián)系，整體思維巧妙！\"帶著學生去分析、去推理、去建構(gòu)，整合公式（a-b）²=a²-2ab+b²，（a+b）²=a²+2ab+b² ，會發(fā)現(xiàn) （a+b）²，（a-b）²，ab，a²+b² ，知其二得其二的聯(lián)系.對比幾種解法，將已知量整體代入，會避免公式變形雜亂，滲透“整體思想”又多法歸一，滲透初中“方程思想”對比給出建議，培育學生系統(tǒng)思維的能力.

片段5完全平方公式的拆解與運用已知

數(shù)學思想源自“做中悟”，更助力學生“悟中做”.這里通過三組具象的探究，悟出抽象的思想.第一，從（a+b）² 可以看作 （a+b）（a+b），（a-b）² 可以看作[a+（-b）²] ，滲透“化歸”思想，實現(xiàn)從已知走向未知探究；第二，從小結(jié) （a+b）² 的猜想、論證思維路徑，引導學生類比應(yīng)用，自主探究 （a-b）² ，實現(xiàn)從老師“教”到學生“學”；第三，從例題“完全平方”的拆解與應(yīng)用中，對比采用“整體思想”代人，實現(xiàn)從繁雜到簡約.注重“滲透數(shù)學思想”，力求每一個學生知之有理，探之有味，積累由數(shù)想形、由形見數(shù)的基本活動經(jīng)驗.

3開展深度對話，教會學生用數(shù)學的語言表達

伽利略曾論述“沒有數(shù)學語言的表達，我們無法理解宇宙的只言片語，只能在黑暗的迷宮中徒勞地摸索”.在課堂上開展深度對話理論，就是要引導學生將知識點進行主觀上的整合、優(yōu)化、探索、表達.要如何教學生學會用數(shù)學的語言表達呢？

“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同”，即使相同幾何圖形、幾何模型、現(xiàn)實世界中的幾何問題在不同學生的眼中也會有不同的幾何直觀2.在本課例中，老師多次強調(diào)讓學生用自己的語言表達公式、歸納特征等.

3.1組織自主表達，捕捉知識的區(qū)別點

片段6兩數(shù)和的完全平方公式的文字表示問題能不能用文字語言表達一下呢？

無人舉手.

引導：最怕這個？需要攻克！試著觀察數(shù)據(jù)的特征，左式等于什么？右式等于什么？

教學說明：這一環(huán)節(jié)，老師在遇到學生有為難情緒時，及時搭梯子，耐心肯定；在學生作出相應(yīng)回答后，會補充重音“兩倍”強調(diào)系數(shù).

深度對話意味著遷移與應(yīng)用，是教學的質(zhì)量檢測，從總結(jié)出完全平方公式的符號表示，到自主組織語言表達，說明學生的思維已經(jīng)在實現(xiàn)“質(zhì)”的飛躍.因為老師的循循善誘，學生不斷地經(jīng)歷嘗試、對比、反思、調(diào)整，語言表達從隨意走向精準，深度對話正在悄然發(fā)生.

3.2融入過程性評價，修正思維的偏差點

片段7完全平方公式特征小結(jié)

問題今天得到兩個重要的公式，它們有個共同的名字——完全平方公式.觀察公式，你能發(fā)現(xiàn)什么特征？

學生反饋：左邊是和或差的平方，右邊一部分是平方的和；左邊的和或差決定了右邊2ab前的符號；右邊 a²，b² 前的符號同正， 2ab 前可正可負.

師：你們?nèi)齻€已經(jīng)賽過諸葛亮啦！老師編個口訣送給你們好么？免費贈送！“首平方，尾平方，首尾兩倍放中央，正負看前方！\"（老師邊說邊用手指向前方括號內(nèi)的符號，并強調(diào)完全平方公式中首平方與尾平方前的系數(shù)同正）.

板書：架構(gòu)類比與聯(lián)系，從形、數(shù)、文字表示、字母表示、特征幾個方面小結(jié)（見圖3）.

9.4乘法公代（1）完戲師sa2t2a5tb2 g4.（a-b）2時.（a+b）21isa2205+b，（a+b）2=（a+b）（a+b）（a-b）=（-bxa-h）=a2+a+abtb2o1 =Q22ab+b=a22ab+b（Gb）=a+（-b）2，施和和的方，與子動去的常床，力我評祖標：（aDb）2=a2Rah+b2 的2降的作：首平云，尾平，求的作斜關(guān)，能方片段8公式應(yīng)用，巧妙修正

計算：

（1） （2x+5）² ：

（2） （2x-5）² ：

（3） （-2x+5）² ：

（4） （-2x-5）² ：

（5） （2x+5）（-2x-5）. （2

教學說明：對于（5），大部分學生的運算過程為（2x+5）（-2x-5）=-（2x+5）²=-4x²-20x-25 此時，有學生提出完全平方公式中 α²，b² 的系數(shù)也可能同負.教師先肯定學生勇于提出問題，然后指出學生的錯誤.同時解釋上述最后一步本質(zhì)上是 （a+b）² 與“—1\"的乘積運算，而完全平方公式中的 a² 與 b² 還是同正.

深度對話意味著理解與評價，是教學的有力矯正.老師既尊重學生積極的發(fā)言，給予實時正面肯定的評價，又時刻緊抓學生表達的漏洞，做及時補充，準確地找到學生理解的“痛點”，為教學注人“活水\"[3].這樣的師生互動，讓學生的語言表達從籠統(tǒng)走向嚴謹，知識理解從單一走向豐富.

3.3構(gòu)建學習共同體，拓寬思考的邊界點

片段9課堂拓展

（1）你有什么方法說明 （a+b+c）² ？（2）計算以下式子的結(jié)果： （a+b）³ ， （a+b）⁴ .…，（a+b）ⁿ ：

深度對話意味著練習與構(gòu)建，是教學方向的指南針.在完成數(shù)學內(nèi)容、數(shù)學方法的小結(jié)后，老師主導學生探討從兩項式的完全平方拓展至三項式的平方后，嘗試讓學生發(fā)散思維一—還可以從什么地方進行下一步拓展？英國科學家培根有一句名言：“類比聯(lián)想支配發(fā)明.\"創(chuàng)新是在某種既有的原型基礎(chǔ)上進一步挖掘不同于以前的新的特點的過程，類比學習后會有所發(fā)現(xiàn)，有所創(chuàng)新.有了老師引導項數(shù)的增加，學生受到啟發(fā)，馬上“類比”反饋從次數(shù)的增加上再探討，將教學的熱烈研討氣氛推向高潮.注重“開展深度對話”，給學生營造一個“人人想表達”的氛圍，激發(fā)學生先思考，再對話，言之有物、言之有序地表達“幾何直觀”，才算真正掌握了數(shù)學問題的內(nèi)核.

參考文獻：

[1中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]吳立建.從一堂“拼圖中的數(shù)學”談幾何直觀教學的思考[J].數(shù)學通報，2023（2）：22-25.

[3程漢波，徐章韜.尋找代數(shù)問題背后的直觀J].數(shù)學通報，2023（5）：26-29，55.Z