初中數學項目式學習的實踐探索

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在課程內容中提出：初中階段可采用項目式學習的方式培養學生綜合運用所學知識和方法解決實際問題的能力.學生通過項目式學習可以體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，發展創新意識和實踐能力.項目式學習的實施具有一定難度.比如，如何發現問題？如何提出問題？如何解決問題？作者以課例“數\"業有“磚\"攻為例，從項自導引、實施、反思三個方面，展開對初中數學項目式學習的實踐探索.

1項目導引

1.1走進生活，感受鋪地之美

前期教師組織七年級學生來到園林實地考察，帶領七年級學生欣賞園林鋪地圖案（如圖1），圖案雖簡單，但給人無限的美感和神秘感.鋪地中有很多數學元素，比如軸對稱、中心對稱、正多邊形讓學生感受到數學遍布在生活的每一個角落.

1.2發現問題，提出疑慮之趣

園林的鋪地豐富多樣，我們發現室內鋪地以方磚為主，這和現代家裝鋪地中多以方形瓷磚為主正好契合.我們發現了一個既有趣又有意義的問題：如圖 2～ 5，園林室內地面有很多柱子邊角，工人在鋪設方磚的過程中，如果遇到邊角該如何切割地磚使之密鋪合縫呢？

1.3統計分析，建模轉化問題

學生通過觀察、測量、記錄、統計、分析，可以將異形邊角大致分為三類：直線型、弧線型、不規則型.考慮到實際操作中的局限性和困難，通過數學建模把這個實際問題轉化成一個數學實驗：如何在一張方形卡紙（代替方磚）上，畫出并剪下異形邊角的形狀？

2項目實施

2.1任務驅動，實踐探究

任務一：搜集園林地磚文化的介紹，拍攝介紹視頻.

任務說明：此任務涉獵藝術、歷史、文化等，通過了解園林鋪地獨特的藝術觀和表現手法，體會匠人的智慧與想象力，理解我國傳統文化的特色.

任務二：搜集園林地磚樣式，分析幾何特征、文化內涵.

任務說明：學生通過自主搜集資料，了解江南古典園林鋪地的主要類型及其背后的文化寓意.

任務三：研究遇到直線型異形邊角的切割策略.

場景：如圖2，柱底是正方形，該如何裁切地磚使鋪設嚴絲合縫？

方案1：如圖6，方磚的一邊緊靠墻邊，另一邊緊靠柱底正方形的一邊，在方磚上確定正方形的頂點A，B.同樣的方式，可得正方形的頂點 c ，再分別過點^B，C 作所在邊的垂線，兩條垂線的交點是 D ，切割正方形ABCD，這樣方磚可以貼合柱子底部.這種切割方案，操作便捷，對地磚的損耗較少.

方案2：如圖7，將一塊完整的方磚均分為兩塊小方磚，將得到的兩塊小方磚上下疊放.在交接處分別標上 A 與 A^′，B 與 B^′ .連接 AB，A^′B^′ ，沿著 AB，A^′B^′ 裁下兩個三角形（等腰直角三角形），最后兩塊地磚可從兩側貼合柱子底部，這種鋪設方案需要多次切割地磚，對地磚的損耗也較大，所以生活中不太推薦使用這種方式切割鋪設，但如果想要鋪設更具對稱美，則可以選此方案.

升級場景：小明家進行裝修，工程已進入到了鋪地磚階段.現在其他地方的方磚已經鋪設好了.因為角落1、角落2、角落3處都有異形邊角（如圖8），所以角落 1～3 三塊灰色區域還沒鋪地磚.該怎樣裁切地磚鋪設呢？

方案：鋪設第1個角落時，需先裁出方形地磚的四分之一，再在等腰直角三角形直角頂點處裁出正方形；鋪設第2個角落時，需先裁出地磚的一半，再在等腰直角三角形斜邊上裁出正方形，通過度量確定正方形在斜邊的位置，如果裁切位置錯了的話會無法貼合；鋪設第3個角落時，需先裁出地磚的一半，再在斜邊上相應的位置處裁出梯形.

任務說明：為了讓學生親歷“平移”邊角的過程，師生一起搭建了生活中直線型邊角的三種現實場景模型，方便學生實踐操作，不斷優化切割方案.升級場景是學生思考補充的，解決方案不僅要考慮“形”，還要考慮“數”.

任務四：研究遇弧線型異形邊角的切割策略，場景：如圖4，柱底是外凸二分之一圓弧，該如何載切地磚使鋪設嚴絲合縫？

方案：如圖9，將直尺和墻邊垂直，保持直尺位置不動，使方磚和直尺也垂直.平移方磚，讓它緊靠柱子底部，這時候，方磚的一邊就和墻邊平行.固定方磚的位置，過弧的兩個端點作墻邊的垂線，與方磚的交點記為 A ，過弧的另一個端點作墻邊的垂線，與方磚的交點記為_B，AB 就是直徑，度量出直徑的長度，AB的中點是圓心，畫出半圓，裁掉這部分，可以貼合.

場景：如圖5，柱底是小于半圓的外凸圓弧，該如何裁切地磚使鋪設嚴絲合縫？

方案：如圖10，利用圓的軸對稱 圖10性，通過折紙找到圓心.將一張白紙緊靠柱底使白紙一邊和墻邊平行.固定白紙，分別過弧的兩個端點，作墻的垂線，垂線與白紙邊的交點分別記為 A，B ，白紙邊和弧的交點記為 c ，再度量出墻和白紙邊的距離.以該距離為寬畫一個矩形.過 c 作紙邊的垂線，這個交點記為 D.A，B，D 這三個點是從柱底弧線上平移下來的.圓是軸對稱圖形，折紙使 A，B 重合，圓心在這條折痕所在的直線上，對折使點 A 和點 D 重合，圓心也在這條折痕所在的直線上，延長兩條折痕，交點就是圓心.畫弧，再把白紙和方磚疊合，沿弧線裁切即可.

任務說明：借助場景模型，學生實操演練，合作探究孤線型的切割策略.利用圓的軸對稱性，可以巧妙地利用生活手段（折紙）找到圓心.因授課對象是七年級學生，鑒于學情，故未引導學生采用度量、計算半徑的方法確定圓心的位置.

任務五：研究遇不規則型異形邊角時的切割策略.

場景：柱底是圓（圓半徑為 ξ_r. ，該如何裁切地磚使鋪設嚴絲合縫？

方案：如圖11，第1步與第2步可以確定“正方形的中心就是圓心”，第3步在卡紙上剪下圓，拼一拼，發現貼合不了柱子底部.因為 直徑，所以這樣切割后的地磚沒法貼合柱底.聯系實際，一般柱子都是連接到屋頂，我們無法將切割后的地磚從柱子的上方往下套.通過進一步思考，我們可以把第3步切割好的卡紙分成兩半，從兩側去貼合柱子底部.這個方案最后拼合的兩塊地磚大小不一樣（如圖12），鋪設不美觀.可以優化方案，先將方磚均分為兩份再裁切，可使拼合更具對稱美.

任務說明：學生在解決任務五時，可以輕松地實現將邊角的形狀平移到方磚上，但是裁切后發現“拼合不了”，進一步將方磚裁開，從兩側拼合.

2.2成果交流，開拓創新

項目學習的成果是學生思維與行動的產品，是小組集體智慧的結晶.學生在進行三類邊角的模擬數學實驗時，得到了一些解決問題的通用性策略.“每固定一個位置，柱底圖形上總有兩個或多個點與之對應”，我們不妨稱它們是“非函數類邊角”，遇到“非函數類邊角時\"需要把地磚切割后分成兩半，從兩側貼合.反之像這樣的柱底圖形“每固定一個位置，柱底圖形上有且只有1個點與之對應”，我們可以稱它們是“函數類邊角”，遇到“函數類邊角”只需裁剪地磚，從一側貼合.遇到“函數類直線型\"邊角，利用數學知識和方法確定它的頂點；遇到“函數類弧線型”邊角，可以確定它的圓心、半徑，巧妙繪出“直線型\"“弧線型\"邊角.

小組成員在探究的過程中發揮集體智慧設計了一些便捷的取樣工具（見表1）.這些工具都是我們身邊常見的材料，如鐵絲、鉛筆、硬紙板、竹簽等，它們雖簡約但不簡單.它們有著共同的數學原理一—平移.從而巧妙復制異形.

3項目反思

3.1品生活之趣，悟數學之用

“綜合與實踐\"通過讓學生觀察生活，提出實際問題、解決實際問題，以此有效提升學生的核心素養.此次項目學習，學生經過實踐探究，利用數學的知識和方法最終得到一些解決問題的通用策略，利用平移原理自制了若干實用工具.我們可以思考：能否將學生發明的三種工具進一步優化？比如：在制作材料上選擇強度好、不易磨損的塑料或者金屬，使工具更具質感，操作更加絲滑、準確；在外形上進一步優化結構設計，使工具外形更美觀，功能更加完善；在制作工藝方面選用先進的現代技術.這樣就可以制成取樣的工具產品，將得到的產品批量生產，進而可以投入到建筑裝飾工程中進行大規模使用.數學源于生活又服務于生活，它是人類生產、生活的助推劑，通過感悟數學用途之大，培養學生對數學的學習興趣與熱情.

3.2建數學模型，解實際問題

“項目式學習\"在解決實際問題時往往會面臨很多現實困難.這個時候可以建立數學模型，轉化為數學問題.本次項目式研究主要是對“鋪地中地磚的切割策略研究”，如果每次都用真的地磚去操作，那會造成很大的浪費.用卡紙代替地磚，用長方體、圓柱、半圓柱等搭建場景模型，方便操作.此時可以將實際問題轉化為“如何將異形的形狀平移到卡紙上\"這一數學實驗.考慮到實際工程施工中的環保節約問題，我們可以規定這樣的實驗要求：盡量減小對卡紙的切割次數，減少卡紙的浪費.此要求也是評價切割方案優劣的標準之一.

3.3重綜合實踐，提核心素養

“項目式學習”，學生不再是局限在教室里被動地接收知識，而是主動走進生活、發現問題、分工協作，最后將問題逐一擊破.在這個過程中，學生收獲了“主動解決問題的勇氣”“勤于鉆研的精神”，同時也感受到了“合作的力量之大”.項目式學習是“綜合與實踐”的一種重要形式，能讓學生在探究與實踐中進行多角度思考，培養他們的創造性思維，促進其綜合運用所學知識，實現深度學習.在本次項目學習中，學生通過測量、對比，提升分析信息的能力；在借助數學模型解決實際問題的過程中，發展幾何直觀、模型觀念及數學的應用意識；在分析、討論、實驗、推翻、優化、再實驗的過程中，提升語言表達能力、邏輯推理能力和創新意識.

總之，項目式學習是一種可以培養學生應用能力、提升核心素養的重要學習活動，值得我們在日常教學中多關注、多研究.愿我們廣大的教育工作者也能夠像學生設計的取型工具的工作原理一樣：在前方無畏探路，勇做教學改革的探路者，相信一切未來可期.

參考文獻：

[1]時愛榮，沈逸鳴，柴國忠.問題導向教學法在初中數學微項目學習中的應用—以“探究杯子高度和杯子數量的關系”為例[J].中學數學教學參考，2024（29）：71-74.Z