一道有特殊條件的四邊形問題解法探究

1原題呈現(xiàn)

如圖1，四邊形ABCD 中，AB=CD ∠ABC+∠BCD=270^°. （1）求 ∠A+∠D 的度數(shù)；（2）連接 AC ，若 ∠ACB= 45^° ，求證： BC²+2AC²=AD²

（3）E，F(xiàn) 分別為線段BC和 AD 上的點(diǎn)， G 是線段 EF 上任意一點(diǎn)，且 ΔGAB 和 ΔGCD 的面積相等，過點(diǎn) D 作 DH⊥EF ，交直線 EF 于點(diǎn) H ，連接 AH .若AD=4 ，求 AH 的最小值.

2試題分析

（1）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求解即可.

（2）平方和一般與勾股定理相結(jié)合，而 BC，AC 與直角三角形沒有聯(lián)系，解題陷入僵局.此時(shí)，分析條件與前面的結(jié)論是調(diào)整思路的一個(gè)策略.由 AB=CD ，∠BAD+∠D=90^° ，我們可以考慮以 CD 為邊作一個(gè)新三角形與 ΔABC 全等.于是過點(diǎn) D 作 DG⊥AC 交AC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G ，在 DG 的延長(zhǎng)線上截取 DF= AC .連接 CF ，易證得 ΔABC?ΔCDF ，則 ∠F= ∠ACB=45^° CF=BC ，從而 根據(jù) AG²+DG²=AD² ，可以得到 ，進(jìn)一步得出結(jié)論.

第二種解題思路，構(gòu)造全新的直角三角形，使其三邊分別等于 .怎樣實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)？將 ΔACD 繞點(diǎn) c 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^° 得 ΔECF ，連接 AE ，AF ，得到 ΔAEF ，則 EF=AD ；再證明四邊形 ABCF 為平行四邊形，則 AF=BC ；由旋轉(zhuǎn)容易證得等腰直角三角形 CAE ，則 問題獲解.

（3）考慮到 ∠A+∠D=90^° ，延長(zhǎng) AB，DC ，交于點(diǎn) X ，可得 ∠AXD=90^° ，審視已知條件 AD=4，AD 所對(duì)的角是不變的，容易作出 RtΔADX 的外接圓，從而得出點(diǎn) X 在以 AD 為直徑的圓 o 上運(yùn)動(dòng).根據(jù)ΔGAB 和 ΔGCD 的面積相等， AB=CD ，結(jié)合三角形面積，可知 AB，CD 邊上的高相等，進(jìn)而由“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”的逆定理，推出 EF 在∠AXD 的角平分線上.設(shè) EF 交圓 O 于點(diǎn) W ，運(yùn)用圓的性質(zhì)“同圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等”，可推出 W 是半圓弧 AWD 的中點(diǎn).進(jìn)一步運(yùn)用圓的性質(zhì)、等腰直角三角形、輔助圓等，得 進(jìn)而推出點(diǎn) H 在以DW為直徑的圓 I 上運(yùn)動(dòng)，連接AI ，交 ?I 于點(diǎn) H ，則 AH 最小，解三角形 ADI ，進(jìn)一步得出結(jié)果.

3試題解答

（1）解：在四邊形 ABCD 中，

： ?∠A+∠D+∠ABC+∠BCD=360^°， ∠ABC+∠BCD=270^°，

： ∴∠A+∠D=360^°-（∠ABC+∠BCD）=90^°. （204號(hào)（2）證法一：如圖2，過點(diǎn) D

作 DG⊥AC 交 AC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

G ，在 DG 的延長(zhǎng)線上截取 DF=

AC ，連接 CF ： ∠DAC+∠ADC ∠CDG=90^° ，∠BAD+∠ADC=90^°， ·∠CDF=∠BAC

又 AB=CD ，

！ ?ΔABC?DCF（SAS）

·∠F=∠ACB=45^°，CF=BC.

（20號(hào)

： ∠AGD=90^°

∴AG²+DG²=AD²

∴（AC+CG）²+（DF-FG）²=AD².

！ ?BC²+2AC²=AD²

點(diǎn)評(píng)：以 AD 為邊的 RtΔADG ，其斜邊 AD 與所求證等式的一邊一致，因此只需證明 BC²+2AC² 與RtΔADG 的直角邊的平方和相等，采用線段的和差與代換進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)果.這種構(gòu)造三角形全等與“算”相結(jié)合的幾何證明，有難度，需解題者有扎實(shí)的幾何功底和較強(qiáng)的目標(biāo)意識(shí)及探究精神.

證法二：如圖3，將 ΔACD 繞著點(diǎn) c 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^° 得到ΔECF ，連接 AE，AF ，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得 CF=CD ，而 AB=CD ，則AB=CF ：

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得 CA=CE ， 圖3∠ACE=90^° ，則 ： ∠ABC+∠BCD=270^°，∠ ∠FCD=90^° ： .∠ABC+∠BCF=180^° ·.AB//CF ：四邊形 ABCF 為平行四邊形.： .AF=BC ·.∠FAC=∠ACB=45^°. 又 ∠EAC=45^° ： ∠EAF=90^° ∴AF²+AE²=EF² ： ∴BC²+2AC²=AD².

點(diǎn)評(píng)：此法通過旋轉(zhuǎn)，將要證明的每條線段進(jìn)行轉(zhuǎn)移.其中 AD 與 容易處理，證明 BC=AF ，∠EAF=90^° 是解題的關(guān)鍵.這需要借助條件中的 270^° 及已知的等線段、旋轉(zhuǎn)線段來共同作用，突破思維節(jié)點(diǎn).

（3）解：如圖4，延長(zhǎng) AB，DC ，交于點(diǎn) X ，由（1）知∠BAD+∠CDA=90^°. （204： ∠AXD=90^° ∴點(diǎn) X 在以 AD 為直徑的圓 O 上運(yùn)動(dòng).： ΔGAB 和 ΔGCD 的面積相等， AB=CD ，

∴點(diǎn) G 到 AB 與 CD 的距離 相等. ：點(diǎn) G 在 ∠AXD 的角平分 線上. 又 G 是 EF 上任意一點(diǎn)， ： EF 在 ∠AXD 的角平分 線上.

設(shè) EF 交圓 O 于點(diǎn) W ，則 ∠AXE=∠DXF ∴W是半圓弧 AWD 的中點(diǎn). ： DH⊥EF .∴點(diǎn) H 在以 DW 為直徑的圓 I 上運(yùn)動(dòng).連接 AI ，交 ?I 于點(diǎn) H ，當(dāng) A，H，I 三點(diǎn)共線時(shí)，AH 最小.過點(diǎn) I 作 IV⊥AD 于點(diǎn) V ，則 ∠ADW=45^° 又 （2號(hào) ： ?AV=AD-DV=4-1=3. ： （204： AH 的最小值為

點(diǎn)評(píng)：此問難度大，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的靈活運(yùn)用與知識(shí)的轉(zhuǎn)化能力.首先，要能夠根據(jù)條件畫出符合題意的圖形.其次，要思考題目的條件或前問的結(jié)論能不能直接運(yùn)用，對(duì)解題是否有推動(dòng)作用.由∠A+∠D 的度數(shù)，自然想到延長(zhǎng) AB，DC ，得到直角三角形.運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)、方法將知識(shí)轉(zhuǎn)化為技能，將解題不斷向前推進(jìn).結(jié)合 AD 為定長(zhǎng)線段， AD 所對(duì)的角為 90^° ，聯(lián)想“定弦定角”模型，作出輔助圓.進(jìn)一步由等底等面積三角形得高相等，聯(lián)系角平分線，過渡到等孤，再次運(yùn)用“定弦定角”基本圖形作出輔助圓，運(yùn)用“穿心模型”求得最值.

本文中給出的四邊形的情景較陌生，但對(duì)學(xué)生來說都是公平的.解答本題，學(xué)生需要有扎實(shí)的幾何基礎(chǔ)與解題技能，更重要的是要具有能夠利用基礎(chǔ)知識(shí)、技能進(jìn)行轉(zhuǎn)化進(jìn)而解決問題的數(shù)學(xué)素養(yǎng).現(xiàn)在的考題，檢驗(yàn)的是將知識(shí)技能應(yīng)用于真實(shí)情景的水平.平時(shí)老師教的知識(shí)、技能只是學(xué)生學(xué)習(xí)的階段性目標(biāo)，是通向素養(yǎng)的手段.學(xué)生學(xué)習(xí)的終極目標(biāo)是在不同情景中，擁有運(yùn)用知識(shí)與技能的決策能力，擁有處理問題的內(nèi)在潛質(zhì)，擁有處理復(fù)雜問題的態(tài)度與決心，從而將這種素養(yǎng)內(nèi)化成處理任何問題的能力.