模式導(dǎo)航程序化 提升解題成效

最近，筆者聽了一節(jié)初二的區(qū)級示范課，感慨良多：教師備課之充分，提問之連續(xù)，“模式”之嫻熟，問題之深人，點(diǎn)撥之到位無一不體現(xiàn)出教師功底之深厚；學(xué)生配合之積極，回答之流暢，“模型”之清晰，思維之敏捷，反應(yīng)之迅速…無一不展現(xiàn)出學(xué)生學(xué)習(xí)之主動(dòng).除此之外，筆者也想談?wù)務(wù)n堂中的一道習(xí)題引發(fā)的關(guān)于解題教學(xué)的幾點(diǎn)思考.

1如何理解“運(yùn)動(dòng)中的不變性”

本節(jié)課，就一道習(xí)題進(jìn)行了長達(dá)40分鐘的講解與提問，原題如下：

題目如圖1，在 RtΔABC 中，∠ABC=90^°，AB=BC，D 是 AC 邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接 BD ，設(shè) ∠ABD=α ?0^°αlt;45^°） ，點(diǎn) A 關(guān)于直線 BD 的對稱點(diǎn)為 E ，直線 CE 交直線 BD 于點(diǎn)F ，求 ∠BFC 的度數(shù).

教師采用“一問一答”的方式帶領(lǐng)學(xué)生對該題進(jìn)行了探究.在教師的提問與啟發(fā)下，得到了 ΔABC ，ΔABE ΔCBE 都是等腰三角形，并且得到了 BA= BE=BC .根據(jù)對稱性可知， ∠ABF=∠EBF ，同時(shí)，由圖可知， ∠BEC=∠BFE+∠EBF ，由于 BE= BC，因此可得 ∠EBC=180^°-2∠BEC. 在△ABC中，∠EBC+∠ABE=90^° ，即 ∠EBC=90^°-∠ABE= 90^°-2∠EBF ，所以 ∠EBF 結(jié)合 ∠BEC=∠BFE+∠EBF ，得 ∠BFE= 45^° ，即 ∠BFC=45^°

上述解法僅僅是課堂上的一種解法，在師生的共同努力下，還得到了許多解答方法，但大多是大同小異.緊接著，老師指出了“雖然 D 是 AC 邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，但求出來的 ∠BFC 卻是一個(gè)定值”.筆者認(rèn)為這才是本題值得研究的地方，因?yàn)樗w現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)中的不變性.然而，整節(jié)課似乎都在刻意回避對這個(gè)問題的解釋，總是在尋求“多解”上下功夫，對于為什么由動(dòng)點(diǎn)D 的運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的 ∠BFC 是一個(gè)定值沒有進(jìn)行研究.

其實(shí)，如圖2，由于 ΔABC 為等腰直角三角形，所以以 AC 為直徑作ΔABC 的外接圓（記為 ?O .因?yàn)?D 為 AC 邊上任意一點(diǎn)，連接BD交?O 于點(diǎn) F ，連接 CF ，由 ΔABC 為等腰直角三角形，易知 BF 是 ∠AFC 的平分線，因而點(diǎn) A 關(guān)于直線 BD 的對稱點(diǎn) E 必在直線 FC 上，故 ∠BFC=∠BAC=45^°（ 定值）.而這個(gè)定值不會(huì)因?yàn)辄c(diǎn) D 的運(yùn)動(dòng)而改變，這就是本題的實(shí)質(zhì)一—同圓中同弧所對的圓周角相等.

可能你會(huì)說他們是初二的學(xué)生，還沒有學(xué)到圓，但是，我們可以借助多媒體讓學(xué)生直觀地感知“運(yùn)動(dòng)中的不變性”（本節(jié)課沒有多媒體的參與是一個(gè)遺憾）.這樣更可以激發(fā)他們的探究欲望，加之信息技術(shù)的強(qiáng)大功能，有探究精神的學(xué)生將會(huì)主動(dòng)去探索，實(shí)現(xiàn)課內(nèi)到課外的自然延伸，因?yàn)楸绢}的實(shí)質(zhì)是同圓中同弧所對的圓周角相等，其他再多的解釋都是蒼白無力的.

2有效變式來自對試題本質(zhì)的精準(zhǔn)把握

在本節(jié)課即將結(jié)束的時(shí)候，教師也給出了幾種變式，而這些變式總是在尋找等腰三角形、相等的線段等方面下功夫，加上時(shí)間倉促，導(dǎo)致沒有出現(xiàn)有價(jià)值的變式.下面僅僅從試題本身的特點(diǎn)并且結(jié)合圓內(nèi)接四邊形的有關(guān)性質(zhì)給出如下變式：

變式在等腰三角形 ABC 中， AB=BC ，底角的大小為 α，D 是直線 AC 上異于 A，C 的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接 BD ，點(diǎn) A 關(guān)于直線 BD 的對稱點(diǎn)為 E ，直線 CE 交直線 BD 于點(diǎn) F ，求 ∠BFC 的大小.

探索1如圖3，當(dāng) D 是線段AC 上異于 A，C 的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線 BD 交△ABC的外接圓于點(diǎn) F ，則可得 ∠BFC=∠BAC ，∠BFA=∠BCA .由 AB=BC 知∠BAC=∠BCA ，則 ∠BFC= ∠BFA ，所以 FB 是 ∠AFC 的平分線，故點(diǎn) A 關(guān)于直線 BD 的對稱點(diǎn) E 在 FC 上，所以圖3滿足題設(shè)，于是

∠BFC=∠BAC=α.

如圖4，當(dāng)點(diǎn) D 在線段 CA 的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)直線 BD 交ΔABC 的外接圓于點(diǎn) F ，連接 CF 并延長到至點(diǎn) G ，則 ∠BFC=∠BAC ，∠BFC=∠GFD （對頂角相等），∠AFD=∠BCA （圓內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角等于其內(nèi)對角）.由 AB=

BC可知 ∠BAC=∠BCA ，從而 ∠AFD=∠GFD ，所以 BD 是 ∠AFG 的平分線，故點(diǎn) A 關(guān)于直線BD的對稱點(diǎn) E 在直線 CF 上，所以圖4滿足題設(shè)，因而可得∠BFC=∠BAC=α.

如圖5，當(dāng)點(diǎn) D 在線段 AC 的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)直線 BD 交 ΔABC 的外接圓于點(diǎn) F ，連接 CF 并延長至點(diǎn) G ，同理可得 BD 是 ∠AFG 的平分線，故點(diǎn) A 關(guān)于直線 BD 的對稱點(diǎn)E 在 CF 上，所以圖5滿足題設(shè)，于是∠BFC=180^°-∠BAC=180^°-α.

探索1借助三角形的外接圓，就動(dòng)點(diǎn) D 相對于線段 AC 的三種位置關(guān)系通過逆向思維得到了 ∠BFC 的大小與等腰三角形 ABC 的底角的大小有關(guān)（即相等或互補(bǔ)）.下面僅就圖3中的情況在不借助于ΔABC 外接圓的情形下進(jìn)行探索（其余的兩種情形留給大家探討）.

探索2如圖6，連接 BE ，由對稱性，易知 FA=FE ， BA= BE ，又 BA=BC ，從而可得

∠BEC=∠BFC+∠FBE=90^° 而 ∠EBC=180^°-2∠BEC 在等腰三角形 ABC 中 ∠ABC+2∠BAC=180^° ，即∠EBC+2∠FBE+2∠BAC=180^° ，所以有 180^°- 2∠BEC+2∠FBE+2∠BAC=180^° ，即

∠BEC=∠FBE+∠BAC.

比較 ①② ，可得 ∠BFC=∠BAC=α 由上面的探討，我們可以得到如下定理：

定理在等腰三角形 ABC 中， D 是底邊 AC 所在直線上任意一點(diǎn)（點(diǎn) _A，C 除外），過點(diǎn) A 作直線 BD 的對稱點(diǎn) E ，直線 BD 交直線 CE 于 F ，則 ∠BFC 的大小與這個(gè)等腰三角形的一個(gè)底角相等或互補(bǔ)

3合理調(diào)配模式化下的程序化方法

著名認(rèn)知心理學(xué)家J.R.安德森說：“人類習(xí)得的一切能力都是陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)相互作用的結(jié)果.\"陳述性知識(shí)是關(guān)于事物及其關(guān)系的知識(shí)，包括事實(shí)、規(guī)則、事件等，用于回答“是什么\"的問題.程序性知識(shí)被定義為：個(gè)人無法有意識(shí)地提取，因而它的存在只能借助于某種作業(yè)形式間接推測，它是關(guān)于完成某項(xiàng)任務(wù)的行為或操作步驟的知識(shí)，用于回答“怎么辦”的問題[1].

陳述性知識(shí)涵蓋數(shù)學(xué)概念、定理、公式等基礎(chǔ)內(nèi)容，如函數(shù)的定義、導(dǎo)數(shù)的概念，為解題奠定理論基石.教師通過系統(tǒng)講解、實(shí)例剖析，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系.程序性知識(shí)關(guān)注解題的步驟與方法，例如利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的具體操作流程.而數(shù)學(xué)模型能將復(fù)雜問題抽象為可操作的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，為程序化解題提供框架.以線性規(guī)劃問題為例，建立數(shù)學(xué)模型后，按設(shè)定變量、列出約束條件、確定目標(biāo)函數(shù)、求解模型的程序步驟，可高效得出最優(yōu)解.陳述性知識(shí)提供理論依據(jù)，程序性知識(shí)規(guī)范解題流程，數(shù)學(xué)模型則使程序更具針對性與系統(tǒng)性.學(xué)生通過運(yùn)用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行程序化解題，不僅能加深對知識(shí)的理解，還能提升邏輯思維與問題解解決能力，顯著提高解題的準(zhǔn)確性與效率，真正實(shí)現(xiàn)學(xué)以致用.

在問題解決的過程中，往往以陳述性知識(shí)為引導(dǎo)，調(diào)配程序性知識(shí)的應(yīng)用.比如，首先我們要明確本題實(shí)質(zhì)上是一個(gè)什么問題（是一個(gè)同圓中同弧所對的圓周角相等的問題），即“模式識(shí)別”，然后，分別呈現(xiàn)出探索1和探索2等一系列行動(dòng)，即“程序行動(dòng)”雖然探索1中我們借助了三角形的外接圓等有關(guān)知識(shí)，可能對還沒有學(xué)習(xí)“圓”的有關(guān)知識(shí)的初中生來說不太合適，但是，一方面，如果我們輔助以多媒體等技術(shù)，是可以讓學(xué)生們進(jìn)行直觀感知的；另一方面，通過探索2，我們也可以得到問題的解答，同時(shí)還可以將探索得到的結(jié)論以定理的形式給出來.這里的關(guān)鍵在于進(jìn)行“模式識(shí)別”，也就是抓住問題的本質(zhì)特征：隨著點(diǎn)D 的運(yùn)動(dòng)， ∠BFC 的大小是一個(gè)定值.它體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)中的不變性，而這種“不變性”又是怎樣體現(xiàn)的呢？于是，需要我們合理地調(diào)配“程序行動(dòng)”.探索1與探索2的出現(xiàn)，就是給不同層次的學(xué)生提供了不同“程序行動(dòng)”的范例.

一般來說，陳述性知識(shí)的提取和建構(gòu)是一個(gè)有意識(shí)、主動(dòng)地激活有關(guān)命題的過程，速度較慢；程序性知識(shí)一旦成熟，則可以自動(dòng)執(zhí)行，速度較快[1].

因此，解題教學(xué)中，如果能夠合理地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“模式識(shí)別”，并且能夠熟練掌握各種模式下的“程序”，那么，解題教學(xué)的效率自然就高了.

參考文獻(xiàn)：

[1]曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].3版.北京：北京師范大學(xué)出版社，2018：103-104.