作圖驅動思考 評價引領教學

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）07-0055-06引用格式：，．作圖驅動思考評價引領教學：用尺規作 30^° 角的問題探研[J].中國數學教育（初中版），2025（7）：55-60.

在初中數學教學中適當加強尺規作圖教學，對于學生增強幾何直觀、深刻理解幾何知識、提高推理能力等方面有重要價值．無運動，不幾何．尺規作圖是學生“做中學”的物化載體，加強尺規作圖教學，能讓靜態的數學靈動起來，增添數學的秀色．為了更好地引導教師關注作圖教學，落實“教一學一評”一致性，嘗試把尺規作圖嵌于2023年濱州市義務教育學業質量檢測八年級試卷中.

二、課標定位

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）中對尺規作圖的相關要求如下.

（1）能用尺規作圖：作一個角等于已知角；作一個角的平分線；作一條線段的垂直平分線；過一點作已知直線的垂線；過直線外一點作這條直線的平行線.

一、題目呈現

題目尺規作圖是數學歷史文化中的瑰寶，圍繞它曾產生過許多有趣的問題和故事．如作圖“三大不能”問題、費馬素數與尺規作圖、高斯與尺規作正十七邊形等，給后人留下寶貴的精神財富．拿起尺規，玩轉乾坤，試發揮自己的聰明才智，用尺規作出 ∠ABC= 30^° ．（要求：用兩種不同的方法作圖，不寫作法，保

（2）能用尺規作圖：已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形；已知一直角邊和斜邊作直角三角形.

（3）能用尺規作圖：過不在同一直線上的三點作圓；作三角形的外接圓、內切圓；作圓的內接正方形和內接正六邊形；過圓外一點作圓的切線.

（4）在尺規作圖中，了解作圖的道理，保留作圖

痕跡，不要求寫出作法.

在初中階段，尺規作圖對于培養中學生的思維能力和推理能力有著重要作用，是將書本知識和實際動手解決問題相結合的一種途徑．下面就從這道題出發，研究如何引導學生用尺規作圖的方法作 30^° 角，并分析其中蘊含的數學思想方法.

三、教學導引

1.構造 60^° 角的一半

作為八年級的學業質量檢測，先立足八年級學生現有的知識水平構想該題的解法．相應地，作為課堂教學，同樣從學段出發利用教材已有資源進行引導，幫助學生學會逆向探究作圖思路，進一步熟練基本作圖方法，使得幾何的核心知識在動手操作中得以理解與深化.

首先，人教版《義務教育教科書·數學》（以下統稱“教材”）八年級上冊“13.3.2等邊三角形”的“探究”提供了一個很好的 30^° 角的作法．“探究”內容如下.

如圖1，將兩個含 30^° 角的全等的三角尺擺放在一起，你能借助這個圖形，找到 RtΔABC 的直角邊 BC 與斜邊 AB 之間的數量關系嗎？

觀察圖1可知， ΔABD 是等邊三角形，AC既是∠BAD的平分線，也是邊 BD 上的中線和高線， 根據以上結論，從作圖角度出發，可以引導并幫助學生得到以下作圖方法.

方法1：利用等邊三角形的定義構造等邊三角形，再通過作角平分線得到 30^° 角.

作法：如圖2，先分別以點A、點 B 為圓心， AB 長為半徑畫弧，作等邊三角形 ABD ，再作∠ABD的平分線BC，則∠ABC就是所求作的角.

方法2：構造等邊三角形，根據等腰三角形“三線合一”的性質作底邊的垂直平分線，也能達到平分角的效果.

作法：如圖3，先作等邊三角形 ABD ，再作線段AD的垂直平分線交 AD 于點 C ，則∠ABC就是所求作的角.

這兩種方法都是構造 60^° 角的一半，也是大多數學生能想到的最簡單、最基本的方法，是對“作一個角的平分線”“作一條線段的垂直平分線”這兩個基本尺規作圖的靈活應用.

2.利用含 30^° 角的直角三角形的性質構造 30^° 角

若教學進程到八年級下學期，第十八章“平行四邊形”的數學活動1“折紙作 60^° ， 30^° ， 15^° 的角”則通過折紙給出了作 30^° 角的方法.

活動：如果我們身旁沒有量角器或三角尺，又需要作 60^° ， 30^° ， 15^° 等大小的角，可以采用下面的方法作角．如圖4，先對折矩形紙片ABCD，使 AD 與BC重合，得到折痕 EF ，把紙片展平．再一次折疊紙片，使點A落在 EF 上，并使折痕經過點B，得到折痕BM.同時，得到了線段BN.觀察所得的∠ABM，∠MBN和∠NBC ，這三個角有什么關系？你能證明嗎？

通過證明可知，這是從矩形得到 30^° 角的好方法，簡單而準確．由此， 15^° ， 60^° ， 120^° ， 150^° 等角就容易得到了.

不難發現，這道題與人教版教材八年級上冊“13.3.2等邊三角形”的“探究”有異曲同工之妙，用直觀的拼接和折疊來體現 30^° 角.在圖4中，連接 AN 構建等邊三角形，既為方法1和方法2提供了證明過程，也為下面的作圖提供了思路.如此進行不同時段教學的銜接，能更好地體現知識、方法的前后聯系，促進認知的結構化.

需要說明的是，學生在八年級只學習了“在直角三角形中，如果一個銳角等于 30^° ，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半”，借助上述“平行四邊形”一章的數學活動1提供的思路，可以根據這個定理的逆定理“在直角三角形中，直角邊與斜邊的比為 時，直角邊所對的角為 30^° ”（可以證明）來作圖.

方法3：利用人教版教材八年級下冊“平行四邊形”一章的數學活動1中的圖形來還原 30^° 角.

作法：如圖5，作線段 AD ，分別以點A、點 D 為圓心，以大于 的任意長為半徑畫弧，作線段 AD 的垂直平分線 BC ，再以點A為圓心， AD 長為半徑畫弧交直線 BC 于點 B ，則ABC就是所求作的角.

方法4：利用定理“在直角三角形中，如果一個銳角等于 30^° ，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半”作具有二倍關系的線段，再根據“已知一直角邊和斜邊求作直角三角形”作 RtΔABC

作法：如圖6，作線段 a ，線段 PQ=2a ，在直線l上取點A，過點A作直線 l 的垂線，在垂線上截取線段AC=a 再以點 C 為圓心，線段 PQ 長為半徑畫弧，交直線 l 于點 B ，則 ∠ABC 就是所作的角.

以上作圖方法的本質都是從等邊三角形出發，利用等邊三角形的性質，從角平分線、中線、高線等方面進行探索，再根據基本尺規作圖的方法作出 30^° 的角.

3.運用角的和差關系構造 30^° 角

我們再回到人教版教材八年級下冊“平行四邊形”一章的數學活動1，如圖4，可知 ∠NBC=30^° 可以由ABC減去ABN，也就是在直角里減去等邊三角形的一個內角，從而得到 30^° 的角．既然這樣，就可以引導學生從角的和差即‘ 30^°=90^°-60^°=180^°- 90^°-60^° ”出發探求作圖之法.

方法5：利用 90^° 角和 60^° 角作差或作和，需要利用尺規構建直角三角形和等邊三角形，

作法：如圖7和圖8，利用“過一點作已知直線的垂線”構造直角三角形，與等邊三角形的一個內角作差，得到 ∠ABC=30^°

方法6：除了利用 90^° 角和 60^° 角作圖，也可以思考其他角度是否可行，既要作出 30^° 角，又可以用尺規操作.

作法：如圖9，構造等邊三角形和等腰三角形，即任意作等邊三角形 ADC ，延長 AD 并在其延長線上截取BD=DC ，根據“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和”，獲得 ∠ABC=30^° ，此時不難得到

任何方法的出現都不是空穴來風，利用角的和差關系作角源于人教版教材七年級上冊“4.3.2角的比較與度量”的“探究”（如圖10，借助三角尺畫出 15^° ，75^° 的角，用一副三角尺，你還能畫出哪些度數的角？試一試）.

4.利用圓的性質構造 30^° 角

以上方法的獲取均是在八年級學生已有的知識水平上進行的探索．在批閱試卷過程中，發現有學生用到了九年級要學習的圓的相關知識來作圖．因此，可以基于整個第四學段去思考定位題目，充分挖掘其應有的功能價值，一以貫之地發揮其作用．下面我們在圓中探研一下如何落實用尺規作 30^° 角的教學.

《標準》指出：“能用尺規作圖：過不在同一直線上的三點作圓；作三角形的外接圓、內切圓；作圓的內接正方形和內接正六邊形.”借此就可以獲得一些特殊角，進而利用圓周角定理及“直徑所對圓周角為直角”等推論實施角的和差作圖.

依據教學進程，當學生對圓心角、弦、弧等關系有一定的認知時，可以引導學生完成 30^° 角的尺規作圖.

方法7：如圖11，作 ?B 的直徑MN，過點 B 作MN的垂直平分線 AB ，以點 M 為圓心，BM長為半徑畫弧，交 ?B 于點 C ，則 ∠ABC 就是所求作的角.

當學生認識到“直徑所對的圓周角是直角”時可以形成方法8.

方法8：如圖12，作 ?C 的直徑 AD ，以點 D 為圓心， CD 長為半徑畫弧，交 ?C 于點 B ，連接 BC ， BD ，AB ，則 ∠ABC 就是所求作的角.

在圖12中，我們發現 ∠A=30^° ， ，可以利用“直徑所對的圓周角是直角”作直角三角形，在直角三角形中作直角邊等于斜邊的一半，還發現 ∠A= 1 ∠BCD=30，即利用圓周角的定理也可以作出 30°角，作法略．接下來，進一步引導學生在圓中利用圓周角的定理作 30^° 角.

以方法8為依托，作 60^° 的圓心角，由同弧所對的圓周角為 30^° ，得到方法9.

方法9：如圖13，構造等邊三角形DEF，以頂點 E 為圓心，小于 DE 的任意長為半徑作圓，根據“同弧所對的圓周角等于圓心角的一半”作 30^° 角.

既然可以在一個圓中作圖，自然會想到在兩個圓中試試．其實，人教版教材九年級上冊習題24.2第13題（如圖14，等圓 ?0₁ 和 相交于 A ， B 兩點， 經過 $＼textcircled { ＼cdot } O O _ { 2 }$ 的圓心 O₂ ，求 ∠O₁AB 的度數）就給出了一個很好的方法．教學時，在完成這道題的基礎上，若引導學生進一步觀察與思考，不難發現這個過程就是尺規作圖的完整過程．作兩個彼此過圓心的等圓，連接兩個圓心及兩圓的一個交點，即得等邊三角形，再連接公共弦即得方法10.

態，故而在八年級學習過程中，也可以在思考怎樣實現 60^° 角和等邊三角形時拓展出來，并非在學過圓后才想到用圓相關的方法.

方法10：如圖15，以線段 AD 長為半徑，分別以點A和點 D 為圓心作 ?A ， ?D ： ?A 與 ?D 交于點 B 和點 C 連接 AB ， BD ， BC ，則 ∠ABC 就是所求作的角.

以方法10為原型，進一步思考，還可以獲得另一種作圖方法.

方法11：如圖16，以線段 oc 長為半徑，分別以點 o 和點 C 為圓心作 ?o ， ?C ： ?o 與 ?c 交于點 A 連接 AO ，AC.在 ?o 上任取一點 B ，連接 AB ， BC ∠ABC 就是所求作的角.

方法10和方法11的本質還是在圓中構造等邊三角形，再利用圓周角得到 30^° 角.

綜合以上所有作圖方法，我們不難發現作 30^° 角就是從 30^° 角的特殊性出發，找與它相關的特殊角、特殊邊，如特殊的 60^° 角和 90^° 角、等邊三角形、直角三角形等.通過作圖凸顯幾何直觀與邏輯推理的聯手之力．另外，利用圓作圖的方法產生于“圓”一章的學習，由于尺規作圖利用的是直尺與圓規，作圓就是常

四、教學啟示

1.對師生重視教材的引導：題在書外，根在書內，重在根深葉茂

在“用好教材”理念的指引下，教師要重視教材中一些經典問題的教學功能．教材是教材編寫人員的集體智慧，習題的編擬也是經過精心設計的，我們在研讀教材時，既要認真研讀教材的編寫意圖，又要思考它對學生已有知識的承上啟下的作用．這就要求教師在深入研讀習題的情況下，也要對其進行必要的拓展，讓學生看到并看出一些較難題不是橫空出世，而是由熟悉的經典問題一步一步生長、拓展出來的，讓學生充分感知到“題在書外，根在書內”的命題定位，以便于學生重視教材而不是教輔書，進而有效規避知識的碎片化，實現“解一題、會一類、通一片”的效果，讓學生立足教材建立有意義的知識結構.

2.對尺規作圖教學的引導：看似動手，實則動腦，重在探究明理

從該題的得分情況來看是不理想的．從題目本身來看，考查兩種及以上基本作圖的組合作圖比考查單一的基本作圖難度大，這是不爭的事實，但也同時暴露出我們平時教學中存在的問題，應引起教師的注意．教師若不能因勢利導，轉變就圖論圖的操作性作圖觀念，就會在當下素養立意的命題下敗下陣來．綜觀近年來各地中考試卷，不難發現尺規作圖題不再只是對單一的作圖技法的操作考查，更注重考查在操作過程中所蘊含的作圖原理、思維過程等．但在當下大多數的課堂教學中，尺規作圖被弱化為一種操作，當成技能訓練去反復強化，導致學生對作圖原理認識不足，無法構建作圖的完整思維過程．反復強化練習的結果就是學生只知其形，不明其理．在學生對作圖原理認識不足的情況下，會出現亂作圖、編造圖等情況，無法體現尺規作圖的教學價值．在上述作圖方法中，通過對教材上的一些探究或習題的追本溯源，我們看到了教材中的例題、習題與考試題的必然聯系，既體現了知識的拓展性和試題的可塑性，又體現了在尺規作圖題中“說理”的重要性．因此，在平時尺規作圖的教學中，教師要把分析和作圖與計算、證明等數學思維活動聯系起來，要踏著基本作圖（這其實就是數學模型）形成的基石，朝向數學核心素養的建構，步步進階．

關于這一點，《標準》其實已經給出了明確要求：“經歷尺規作圖的過程，增強動手能力，能想象出通過尺規作圖的操作所形成的圖形，理解尺規作圖的基本原理與方法，發展空間觀念和空間想象力.”該題既突出了尺規作圖蘊含的教學價值，又暴露了當前尺規作圖教學中存在的問題，很好地指引了尺規作圖教學的方向.

參考文獻：

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