基于直觀想象素養(yǎng)發(fā)展的課堂教學實踐與思考

直觀想象是數(shù)學學科六大核心素養(yǎng)之一，是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學問題的素養(yǎng)[1].在數(shù)學教學中，教師可通過圖形化的呈現(xiàn)方式，將抽象的數(shù)學知識轉(zhuǎn)化為直觀可視的內(nèi)容，幫助學生更深刻地理解數(shù)學原理，進而提升數(shù)形結(jié)合能力，發(fā)展幾何直觀與空間想象能力.

導數(shù)的幾何意義是導數(shù)概念的延伸，教材從“形\"的角度出發(fā)，引導學生通過觀察發(fā)現(xiàn)、思考歸納等方式，探究割線與切線的關(guān)系．在理解這一關(guān)系的過程中，學生不僅能獲得導數(shù)的幾何意義，還能培養(yǎng)和發(fā)展直觀想象素養(yǎng).

教學過程

1.溫故知新，誘發(fā)思考問題1上節(jié)課我們學習了導數(shù)的概念，請回顧一下研究路徑和思想方法.

師生活動：教師預留時間，組織學生進行回顧、交流與表達．隨后，基于學生的反饋，教師進一步完善內(nèi)容，繪制出圖1所示的思維導圖，以結(jié)構(gòu)化形式呈現(xiàn)知識要點.

設(shè)計意圖教師運用思維導圖，直觀呈現(xiàn)導數(shù)概念的形成過程，借助圖形展示知識發(fā)展脈絡(luò)，自然引出本節(jié)課的研究主題．在此基礎(chǔ)上，通過歸納梳理，為導數(shù)幾何意義的學習提供知識載體和方法準備，進而提高學生參與課堂的積極性.

2.創(chuàng)設(shè)情境，積累經(jīng)驗

問題2已知函數(shù) f（x）=x²，x₀=-2 （1）令 Δx=2，1，0.5 ，求 f（x） 在區(qū)間[x₀，x₀±Δx] 上的平均變化率，并畫出過點 Φ（x₀，f（x₀）. 的相應(yīng)割線；

物理意義： 平均速度4s △t0 瞬時速度v△t （取極限）（抽象概括）

代數(shù)定義： 平均變化率4y △x→0 瞬時變化率f'（x）△x （取極限）（數(shù)形結(jié)合）△x→0

幾何意義： 割線斜率kp 導數(shù) f^′（x） 的幾何意義？（取極限）圖1

（2）求函數(shù) f（x）=x² 在 x=x₀ 處的導 數(shù)，并畫出曲線 f（x）=x². 在（-2，4）處的 切線.

師生活動：問題給出后，學生獨立求解，然后交流展示結(jié)果．根據(jù)已知條件求出函數(shù) f（x）=x² 在區(qū)間[-2，0]，[-2，-1]，[-2，-1.5]的平均變化率分別為-2，-3，-3.5，對應(yīng)的割線如圖2所示，其中直線 l₁ 過點（-2，4）和點 （0，0） ，直線 l₂ 過點（-2，4）和點（-1，1），直線 l₃ 過點（-2，4）和點（-1.5，2.25）；函數(shù) f（x）=x² 在 x=x₀ 處的導數(shù)為 f^′（-2）=-4 ，其切線如圖3所示.

設(shè)計意圖通過創(chuàng)設(shè)問題情境引導學生運用導數(shù)概念求出導數(shù)，進一步深化導數(shù)概念的理解．同時，在此過程中，通過動手操作讓學生直觀感知 Δx0 ，割線向切線逼近，從而為導數(shù)的幾何意義的生成奠定基礎(chǔ).

3.深入探究，直觀建構(gòu)

問題3問題2中 取了幾個特殊值，發(fā)現(xiàn)當 趨近于0時，割線向切線逼近，若 取任意趨近于0的值時，是否還能得到相同的結(jié)論呢？

追問：函數(shù) f（x）=x² 是特殊的函數(shù)，對于一般函數(shù)，情況會是一樣的嗎？

師生活動：問題給出后，學生通過互動交流達成共識：無論是特殊函數(shù)還是一般函數(shù)，無論是特殊值還是任意值，當 Δx0 時，割線會逐漸逼近一條直線，而這條直線是該函數(shù)的切線.

問題4圖4所示的是函數(shù) y=f（x） 的一段圖象，在曲線上任取一點 P 過點P作割線 PP_n（P_n 自上而下逐漸逼近點 P ），觀察割線的變化，說說你的發(fā)現(xiàn).

生1： P_r 越接近于點 P ，割線越貼近切線 PT ，比如 PP₂ 比 PP₁ 更貼近切線 PT，PP₃ 比 PP₂ 更貼近切線 PT…

師：也就是說：當 Δx0 ，割線PP_n 切線 PT，k_PP??k_PT ，即 f^′（x₀）=

至此，學生通過觀察、操作、歸納，得到了導數(shù)的幾何意義

設(shè)計意圖通過運用從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、無限逼近、以直代曲等數(shù)學思想方法，引導學生經(jīng)歷導數(shù)幾何意義的建構(gòu)過程，有效提升學生歸納概括、數(shù)學抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)．在這一過程中，教師借助直觀圖形，幫助學生感知無限逼近的動態(tài)變化，構(gòu)建運動變化的數(shù)學思維，進而培養(yǎng)學生的直觀想象素養(yǎng).

4.思考辨析，思維升華

師：對于切線大家并不陌生，之前我們研究了哪些曲線的切線？生2：圓、橢圓、雙曲線等.師：很好，切線與曲線有幾個交點？生齊聲答：1個.師：是嗎？接下來你或許會有新的發(fā)現(xiàn).師：與曲線只有一個交點的直線是切線嗎？生3：不是.，比如 f（x）=x² 這個曲線，直線 x=3 與該曲線只有一個交點，但 x=3 并不是該曲線的切線.生4：與y軸平行的直線都不符合.

（學生補充道）師：說得非常好.結(jié)合以上分析，大家嘗試給以下各類曲線畫切線

師：結(jié)合剛才的實踐過程，請大家思考：根據(jù)圓的切線定義，直線與圓有且只有一個公共點時，這條直線就是圓的切線.那這個定義適用于一般曲線嗎？對于一般曲線而言，切線與曲線是否也一定只有一個交點呢？

生5：如圖6所示，雖然 與曲線有兩個交點，但它是曲線的切線，而 雖然與曲線只有一個交點，但它不是曲線的切線.

師：結(jié)合以上分析，請說說你的發(fā)現(xiàn).

生6：圓是一種特殊的曲線，圓的切線定義并不適用于一般曲線，由此可見圓的切線定義存在一定的局限性.

生7：判斷直線與曲線是否相切，不能單純依據(jù)交點的數(shù)量

生8：切線所反映的是曲線在局部的性質(zhì).

師：大家分析得很到位.以上探究過程，實際上就是人類對切線的認識過程：從對圓的切線的認知，到對圓錐曲線的切線的理解，再到對一般曲線的切線的探索.

設(shè)計意圖通過動手操作，引導學生感知曲線切線定義的不同情形，滲透從特殊到一般、無限逼近等數(shù)學思想方法，幫助學生理解切線的本質(zhì)，提升學生分析和解決問題的能力[2]．此外，教師引導學生回顧切線概念的發(fā)展歷程，旨在讓學生體會數(shù)學知識是一個不斷發(fā)展和完善的過程，進而幫助學生樹立正確的學習觀與價值觀.

5.應(yīng)用練習，小試牛刀

例題圖7表示的是高空拋物中物體高度隨時間變化的函數(shù) h（t）= -4.9t²+6.5t+10 的圖象，請描述曲線h（t） 在 ?t₀，t₁，t₂ 附近的變化情況.

刻畫曲線 h（t） 在 ?t₀，t₁，t₂ 附近的變化情況．教師先讓學生動手畫圖，之后根據(jù)所畫圖象闡述自己的發(fā)現(xiàn).學生結(jié)合圖象發(fā)現(xiàn)：

（1）當 t=t₀ 時，曲線 h（t） 在 t₀ 處的切線平行于t軸，所以，在 ：t=t₀ 附近曲線幾乎沒有升降；（2）當 t=t₁ 時，曲線 ih（t） 在 處的切線斜率 h^′（t₁）lt;0 ，所以，在 t=t₁ 附近曲線下降；（3）當 t=t₂ 時，曲線 h（t） 在 t₂ 處的切線斜率 h^′（t₂）lt;0 ，所以，在 t=t₂ 附近曲線下降.

在此基礎(chǔ)上，教師讓學生比較曲線 h（t） 在 ?t₁，t₂ 附近的變化情況.學生根據(jù)切線的傾斜程度發(fā)現(xiàn)，曲線 h（t） 在 t₁ 附近下降得較為緩慢.

設(shè)計意圖根據(jù)導數(shù)的幾何意義分析曲線的走向，讓學生體會導數(shù)幾何意義的實際應(yīng)用，深化對導數(shù)幾何意義的理解，發(fā)展學生分析和解決問題的能力.

6.課堂小結(jié)，升華認知

師：通過本節(jié)課的學習，你有什么收獲？請從知識、思想、方法等方面說說你的心得體會.

設(shè)計意圖該環(huán)節(jié)以學生獨立思考與合作交流為主，旨在通過思考與交流，深化學生對相關(guān)知識、思想和方法的理解，提升其歸納概括能力，促進數(shù)學學科核心素養(yǎng)的發(fā)展.

在本節(jié)課教學中，教師從學生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，通過創(chuàng)設(shè)問題情境，引導學生經(jīng)歷導數(shù)幾何意義的建構(gòu)過程.學生通過親身經(jīng)歷過程，深化了對導數(shù)幾何意義的認識與理解，同時提升了分析和解決問題的能力.

師生活動：師生通過互動交流，明確用曲線 h（t） 在 ?t₀，t₁，t₂ 處的切線

教學思考

1.重視學習體驗，激發(fā)學習興趣

數(shù)學知識具有抽象性與復雜性，學生理解起來存在困難，這容易削弱他們的學習信心與興趣.基于此，教師應(yīng)結(jié)合教學實際精心設(shè)計問題，充分發(fā)揮多媒體技術(shù)生動形象的優(yōu)勢，讓學生充分體驗學習過程，主動獲取知識，從而激發(fā)學習興趣.

2.滲透數(shù)學思想，助力深度學習

數(shù)學思想是數(shù)學的靈魂，有了數(shù)學思想的支撐，學生才能不僅知其然，更能知其所以然．在實際教學過程中，教師應(yīng)高度重視數(shù)學思想方法的滲透，以此強化學生對知識的理解，揭示數(shù)學問題的本質(zhì)，進而有效培養(yǎng)和發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

在本節(jié)課教學中，從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法貫穿于教學始終，不僅助力學生深化對知識的理解，還培養(yǎng)了學生直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

總之，在高中數(shù)學教學中，教師要認真分析學生，把準實際學情，精心設(shè)計問題，引導學生深度參與知識的形成過程，促使數(shù)學學習自然發(fā)生，通過這樣的教學方式，既能切實提升課堂教學質(zhì)量，有效發(fā)展學生的數(shù)學思維能力，又能將數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落到實處.

參考文獻：

[1］李柏青.高考試題中直觀想象素養(yǎng)的水平層次分析[J」中國數(shù)學教育，2020（24）：50-53.

[2」唐盛彪，李寧.導數(shù)的幾何意義在數(shù)學本質(zhì)下的教學研究［J].數(shù)學教學研究，2020，39（5）：15-17+20.