基于深度學習的數學教學實踐與研究

深度學習是踐行新課改理念，落實核心素養的基本路徑.深度學習的目的在于幫助學生建構完整的知識體系，讓學生深入理解知識間的內部聯系，為知識的靈活應用奠定基礎.因此，深度學習屬于理解性學習，即在知曉、了解的基礎上進一步思考，達到解釋、思辨、推理與應用的程度，為高階思維的發展創造有利條件.

教學分析

勾股定理是繼三角形、二次根式與實數之后的教學內容，涵蓋了勾股定理及其逆定理.勾股定理屬于初中階段平面幾何與度量相關的基本定理，體現了直角三角形的三邊關系，是促進學生進一步認識直角三角形邊角關系的基礎，也是后續探索更多幾何與代數問題的基石，如余弦定理、兩點間距離公式等[1].因此，本節課的教學具有承上啟下的作用.引導學生親歷勾股定理的探索過程，可以豐富學生的教學基本活動經驗，促進學生的思維進階，發展學生的“四基與四能”，培養學生的數形結合思想.

教學過程設計

（一）回顧舊知，揭示主題

問題1在之前的學習中，我們已經接觸過三角形相關知識，大家還記得當時探討了三角形的哪些內容？應用了哪些研究方法嗎？

追問學生提到的三角形性質，具體是從什么視角探索的？

這兩個問題成功地喚醒了學生的已有認知經驗，學生提出探索幾何圖形時，常常遵循“特殊到一般”的研究思路.為此，教師在回顧了一般三角形之后，可將探索視角轉向特殊三角形，如等腰三角形、直角三角形等.教師可順勢強調本節課將要探討的內容為直角三角形.由此，順利地將重點過渡到本節課教學的主題上來.

問題2類比一般三角形的探索路徑，猜想研究直角三角形可能遵循怎樣的流程.

生1：研究一般三角形時，經歷了“定義一性質一判定”的過程，結合直角三角形的概念，我認為重點應該在探索它的性質與判定上.

師：有道理，具體該從何處著手分析呢？誰來說說自己對直角三角形角的性質與判定的理解？

生2：之前的學習告訴我們，直角三角形的兩個角為互余的關系．反之，若三角形中的兩個角互余，那么這個三角形必然為直角三角形.

師：看來大家的基礎都很扎實，很不錯.不過，有沒有同學思考過直角三角形的三邊關系呢？即三角形的三條邊在滿足某種數量關系時，就能確定為直角三角形？

針對這個問題，學生開始自主思考，教師則借機強調：本節課的教學將緊扣“直角三角形邊的性質與判定”，具體分析以下兩類問題：① 直角三角形三邊所具備的數量關系是什么？ ② 假設某三角形的三邊滿足這一類數量關系，能否確定此三角形一定是直角三角形？

在教師的啟發下，學生獨立思考并合作交流.經過師生的共同努力，最終形成了本章的知識體系（見圖1）.

設計意圖引導學生回顧舊知，一方面喚醒學生既有的認知經驗，為研究新知奠定基礎，另一方面基于宏觀視角引導學生梳理知識體系，讓學生學會從單元整體視角來觀察與分析問題，為形成結構化的思維奠定基礎.學生基于“先行組織者”明確本節課將要探索的主題為直角三角形三邊性質的研究與判定，并滲透特殊到一般的思想方法.如此設計，自然且連貫，讓學生學會從單元整體視角出發觀察與分析問題，真正做到“見樹木又見森林”.

（二）觀察分析，探索新知

1.發現勾股定理

問題3如圖2，已知 RtΔABC 中 AC=3 ， BC=4 ， ∠C=90^° .那么， AB 的長是多少？

師：本題給出了哪些條件？待求結論是什么？

生3：本題給出了直角三角形及其兩直角邊長，求斜邊的長.

師：根據你們以往的學習經驗， 遇到這一類邊長為整數的幾何問題， 怎樣處理更容易理解？

生4：可以考慮將此三角形置于網格中，便于觀察.

教師用幾何畫板演示將圖2置于網格內的情況（見圖3），并引導學生回顧之前用網格背景解決了什么問題？在學生討論的基礎上，教師要求學生思考本題解答AB長度的具體方法，當學生表示無法直接從圖中發現結論時，有學生提出可以將待求線段AB轉化為一個與之有關系的量來分析.

這一提議很快引起了其他學生的共鳴.為此，教師給予學生充足的時間去探索與交流.

見圖4，經過思考與合作，學生發現可將待求結論 AB 補充為一個正方形，如果能獲得正方形的面積，那么AB的長也不難求出.

設計意圖此問將3，4設定為一個直角三角形的兩條邊，要求學生根據這一條件分析斜邊的長.顯然，這一特殊情況，學生初次接觸感覺有些棘手.因此，教師可結合學生既有的認知經驗實施教學，讓學生自主實現知識與研究方法的遷移．“網格”是學生之前在研究平面圖形時經常會使用的背景，此處用來探索直角三角形的斜邊，不僅能讓學生自主關聯原有的探索經驗，還能讓學生切身體驗數學轉化與化歸思想，為發展數學核心素養奠定基礎.

問題4由AB邊拓展而來的正方形面積該怎樣求解呢？

學生紛紛根據自身的學習經驗展開小組合作，自主提煉出補全法與分割法兩種解法（見圖5）.

設計意圖此環節為本節課教學的重點與難點，教師鼓勵學生以小組合作方式，將圖形置于網格背景下分析，不僅能進一步發散學生思維，讓學生自主提煉出割補法與補全法，還具有培養學生數學轉化與化歸思想的作用.如此設計，不僅使教學過程顯得流暢、自然，而且還能充分體現“生本”理念．

問題5如圖6，已知 RtΔABC 中 BC=12 ， AC=5 ， ∠C=90^° 那么，該三角形中AB的長度是多少？

師：若沒有網格背景的輔助，可否獲得斜邊 AB 的長度？

追問通過以上探索，你們是否發現直角三角形三條邊之間可能存在某種聯系？大膽猜測一下.

設計意圖網格背景系學生思維的“腳手架”，此環節將“腳手架”撤走，引導學生自主進行研究方法的遷移[2].之前的研究經驗告訴學生：欲求直角三角形的斜邊，可以將該斜邊轉化成以斜邊為邊長的正方形，接著通過割補法獲得正方形的面積，從而求出沒有網格背景的直角三角形斜邊長，這一過程是提煉數學思想方法的基礎，也是推廣問題、引發猜想、發展合情推理能力的基石.

2.證明勾股定理

根據實操活動形成的猜想或命題，只有經過嚴謹的論證，才能確定其是否正確.關于直角三角形斜邊長的猜想是否正確，需要通過進一步的推理驗證.

問題6如圖7，已知Rt△ABC中 ∠C 為直角，且 BC=a ， AC= b ， AB=c ，那么， α_a ， b ， 三者之間存在怎樣的數量關系？如何求證？

經過對問題的探索，學生總結出以下結論：在明確 a ， b 為兩條直角邊的情況下，直角三角形的三邊關系為 a²+b²=c². 用數學符號語言表述，即 RtΔABC 中，已知 BC= a，AC=b，AB=c，∠C=90^° ，則有 a²+b²=c²

設計意圖通過特殊情況的鋪墊，學生逐步完善了研究思路，順利推導出直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊平方的結論.可見，學習方法的正遷移，能有效滲透數學思想，為發展學生的邏輯思維奠定基礎.學生親歷發現、猜想、證明的過程，切身體驗定理研究過程，自主提煉轉化與化歸、特殊到一般等思想方法，為構建完整的認知結構創造了條件.

3.探索其他證明方法

PPT展示以下內容：勾股定理是數學史上一顆璀璨的明珠.《周髀算經》記載了“勾三股四弦五”，三國時期著名數學家趙爽應用“無字證明”，基于幾何變換的維度證明了勾股定理，凸顯了勾股定理的奇妙之處，彰顯了數學獨有的魅力.

學生取出課前準備的四個全等三角形和一個正方形，其中，正方形的邊長與直角三角形直角邊“長度差”相等，鼓勵學生將這五個圖形自主拼接成一個大正方形.

如圖8，學生自主拼圖.教師補充說明：這是一個歷史悠久的圖，由三國時期著名數學家趙爽提出，因此又稱“趙爽弦圖”.接下來，我們根據這幅圖，一起探索直角三角形三邊所具有的關系.

設計意圖趙爽弦圖對于勾股定理來說具有劃時代的意義.引導學生自主拼圖證明勾股定理，不僅能給學生帶來成就感，還能滲透數學文化，讓學生切身感受數學家們研究數學知識的歷程.如此設計，可為“無字證明”求證勾股定理夯實基礎.

如圖9，在教師的引導下，學生自主裁剪拼接，將大正方形轉化成兩個小正方形，要求學生自主思考大正方形的面積與兩個小正方形面積之間的聯系，并加以證明.

設計意圖 教材中的每一個知識點都不是憑空捏造的，而是千百年來經過反復驗證得出的經典理論.追溯知識的歷史演變進程，可幫助學生詳細了解其來龍去脈，在“再創造”的基礎上，揭示數學的本質.在此環節，教師緊扣趙爽弦圖的求證方法，通過實操活動引發學生的思考，讓學生對“無字證明”形成深刻理解，從而對勾股定理的證明方法產生新的認識.

問題7以上證明過程，都是基于幾何變化角度分析的結果.此外，還可以從代數的維度進行求證.下面，請大家根據趙爽弦圖分析代數證明法.

學生合作交流，教師巡視并加以點撥.如圖9，列式為 c²=4× 2ab+（a-b）2=（a-b）2+2ab= （20號

師：隨著探索的深人，我們將幾何與代數法融合在一起分析，由此有什么發現？

生5：如圖10，隨著幾何法與代數法的融合，提煉了數形結合思想，也就是說，勾股定理本身具有幾何意義.

追問關于勾股定理的證明方法，歷史上曾出現過很多種證法，感興趣的課后可以深入研究，探尋一些新的證明方法.

設計意圖基于教學內容的整體性，利用數形結合思想統領整個教學過程，可幫助學生順利實現知識與方法的遷移，切身體會代數與幾何的對應關系.在此過程中，學生明白了“以形導數與以數推形”的重要性，從真正意義上實現了深度學習.

（三）歸納總結，完善認知

要求學生自主梳理本節課所學知識、思想、方法等，基于整體視角整理與勾股定理相關的內容，并將“直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊平方”這一命題反過來，形成逆命題，并判斷逆命題是否成立.

設計意圖教學內容的整理、歸納，以及逆命題的分析，可以進一步強化學生對勾股定理的理解，讓學生再次從數形結合的維度完善了認知，并基于“整體一局部一整體”的結構發展學力.

教學評估與反思

教師基于深度學習理念，引導學生從回顧舊知出發，喚醒學生已有的認知經驗，先讓學生從宏觀視角出發建構研究三角形的知識體系，并將勾股定理納入知識體系內，再從微觀視角出發解構勾股定理，使學生在數學文化的浸潤下，提煉數形結合思想，完善對勾股定理的理解.在整個研究過程中，教師引導學生應立足于知識、方法的結構性與關聯性，從整體視角出發觀察與探索問題.學生經歷特殊到一般、數形結合、轉化與化歸等思想方法的洗禮，從真正意義上實現了深度學習，發展了數學核心素養.

參考文獻：

[1］王婉瑩.初中數學章節起始課教學的現狀與設計研究［D］.江西師范大學，2023.

[2］陳忠.對落實初中數學核心素養策略指導課例的分析［J］.數學學習與研究，2020 （6）：33-34.