空間觀念進(jìn)階下“旋轉(zhuǎn)(二)練習(xí)課”的教學(xué)應(yīng)用

圖形運(yùn)動是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的重要主題內(nèi)容，能讓學(xué)生感知并描述圖形的運(yùn)動和變化規(guī)律。

“旋轉(zhuǎn)運(yùn)動”空間觀念的進(jìn)階水平可分為：第一階段，完全直觀想象；第二階段，直觀想象與簡單分析抽象；第三階段，直觀想象與復(fù)雜分析（下文分別簡稱為“第一階段\"\"第二階段\"“第三階段”），此水平劃分可以把脈學(xué)生旋轉(zhuǎn)學(xué)習(xí)的進(jìn)階情況[1]，助力學(xué)生有效破除進(jìn)階發(fā)展障礙。

一、小學(xué)“旋轉(zhuǎn)運(yùn)動”第三階段的教學(xué)需求

學(xué)生在第一階段積累了大量的圖形運(yùn)動經(jīng)驗(yàn)，第二階段借助格子圖從元素角度進(jìn)一步認(rèn)識旋轉(zhuǎn)。教師應(yīng)如何引導(dǎo)學(xué)生完成水平數(shù)學(xué)化與垂直數(shù)學(xué)化結(jié)合，讓學(xué)生從第二階段順利跨越到第三階段的直觀想象與復(fù)雜分析？下面，筆者將圍繞“學(xué)科、課標(biāo)、教材”三個視角解讀，研究小學(xué)“旋轉(zhuǎn)運(yùn)動\"第三階段的教學(xué)需求。

1.定位與學(xué)科解讀

旋轉(zhuǎn)變換簡稱旋轉(zhuǎn)，是歐氏幾何中的一種重要變換。在歐氏平面上（歐氏空間中），讓每一點(diǎn) P 繞一固定點(diǎn)（固定軸線）旋轉(zhuǎn)一定角，變成另一點(diǎn) P^′ ，如此產(chǎn)生的變換稱為平面上（空間中）的旋轉(zhuǎn)變換[2]。旋轉(zhuǎn)系列課屬于“圖形的運(yùn)動\"主題，旋轉(zhuǎn)包括三要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和角度。根據(jù)旋轉(zhuǎn)概念不難發(fā)現(xiàn)，點(diǎn) P 的旋轉(zhuǎn)可以看成線段OP的旋轉(zhuǎn)。

2.定向與課標(biāo)解讀

縱向解讀《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的相關(guān)要求可以看出：第二學(xué)段側(cè)重于讓學(xué)生整體感知生活中圖形變換的現(xiàn)象；第三學(xué)段側(cè)重于讓學(xué)生通過觀察、操作等活動認(rèn)識圖形的旋轉(zhuǎn)，并在方格紙上畫圖，進(jìn)而從整體感知走向元素感悟，并初步進(jìn)行元素分析；第四學(xué)段側(cè)重于讓學(xué)生通過具體實(shí)例探索平面圖形關(guān)于旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)，達(dá)到抽象分析。三個階段的學(xué)習(xí)要求呈螺旋式上升，直指學(xué)生空間觀念的培育。

3.定性與教材解讀

人教版數(shù)學(xué)教材（2022年版）五年級“旋轉(zhuǎn)（二）\"單元呈現(xiàn)4個例題：例1，初步感知圖形旋轉(zhuǎn)要素；例2，圖形旋轉(zhuǎn)的語義表征；例3，語義表征與操作表征互譯；例4，綜合應(yīng)用圖形運(yùn)動解決問題。可見，本單元注重將圖形的旋轉(zhuǎn)引向線段的旋轉(zhuǎn)，進(jìn)而與平移對比突出剛體運(yùn)動的本質(zhì)。

浙教版教材九年級“旋轉(zhuǎn)\"單元通過動手操作、畫圖和度量，讓學(xué)生理解并歸納對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成角彼此相等（等于旋轉(zhuǎn)角），以及旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等的性質(zhì)。對比第三學(xué)段到第四學(xué)段的教材，雖然第四學(xué)段向圖形運(yùn)動的本質(zhì)靠近，但是學(xué)生的學(xué)習(xí)出現(xiàn)了斷層。

如何跨越此斷層，讓學(xué)生旋轉(zhuǎn)的學(xué)習(xí)到位而不越位？教師在小學(xué)\"旋轉(zhuǎn)運(yùn)動”第二階段教學(xué)后要補(bǔ)充三點(diǎn)內(nèi)容：一是旋轉(zhuǎn)中心從圖形邊線上到圖形外部變換；二是對旋轉(zhuǎn)認(rèn)知從線的旋轉(zhuǎn)引到點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)上；三是關(guān)聯(lián)三種圖形運(yùn)動，靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)解決問題

二、小學(xué)\"旋轉(zhuǎn)運(yùn)動\"第三階段學(xué)生進(jìn)階水平的定位

對照“旋轉(zhuǎn)運(yùn)動\"空間觀念的進(jìn)階水平，為精準(zhǔn)地分析學(xué)生所處具體進(jìn)階水平，筆者對第三階段學(xué)生的空間觀念水平進(jìn)行了分析（如表1所示）。

筆者設(shè)計相應(yīng)的檢測試題對120名學(xué)生進(jìn)行檢測，以期分析學(xué)生在第二階段學(xué)習(xí)后的進(jìn)階水平。經(jīng)數(shù)據(jù)分析，大部分學(xué)生停留在第二階段水平三“能勾連互譯旋轉(zhuǎn)的不同表征，形成旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動表象”，但遇到單個圖形三要素發(fā)生變化時，學(xué)生出現(xiàn)了認(rèn)知斷層，即從借助元素感悟簡單旋轉(zhuǎn)運(yùn)動到通過元素分析稍復(fù)雜旋轉(zhuǎn)運(yùn)動過程存在障礙，尤其是對旋轉(zhuǎn)中心的變化不敏感。可見，在第二階段學(xué)習(xí)后續(xù)增加相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)練習(xí)課，能幫助學(xué)生從第二階段向第三階段順利跨越。

三、空間觀念進(jìn)階下小學(xué)第三階段旋轉(zhuǎn)學(xué)習(xí)的策略

基于上述分析，綜合各版本的教材內(nèi)容編排，吸取各方的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合教材前后的內(nèi)在聯(lián)系，筆者認(rèn)為可以從三個角度對旋轉(zhuǎn)進(jìn)行補(bǔ)充練習(xí)教學(xué)。

1.從“中心變換\"出發(fā)，拓展旋轉(zhuǎn)中心種類

小學(xué)階段的“圖形的旋轉(zhuǎn)”是以平面圖形的旋轉(zhuǎn)為主，在教學(xué)中教師要讓學(xué)生感受旋轉(zhuǎn)中心不同帶來的旋轉(zhuǎn)結(jié)果的變化。

筆者布置了練習(xí)任務(wù)：如圖1所示，將 ② 號圖形還原，最少旋轉(zhuǎn)幾次？具體怎么旋轉(zhuǎn)？在學(xué)生作品中，正確率為 50% ，并且在正確作品中發(fā)現(xiàn)不同層次的水平：水平一，通過3次旋轉(zhuǎn)還原的學(xué)生占 8.8% ，通過2次旋轉(zhuǎn)還原的學(xué)生占 8.8% ;旋轉(zhuǎn)中心在圖形外，1次旋轉(zhuǎn)還原的學(xué)生占 2.4% 。可見，大部分學(xué)生對多次旋轉(zhuǎn)及旋轉(zhuǎn)中心在圖形外部的情形比較陌生，教師要進(jìn)行教學(xué)補(bǔ)充。

因此，筆者圍繞核心問題“旋轉(zhuǎn)幾次、怎么旋轉(zhuǎn)”，為不同水平學(xué)生提供三個不同的學(xué)習(xí)支架（如圖2所示），讓學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)、操作、修正。

然后，筆者開展了三個層次的教學(xué)：層次一—3次旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)中心在圖形上變換，讓學(xué)生借助文字想象運(yùn)動過程，然后通過幾何畫板驗(yàn)證，打通語言、圖形、操作表征，初步建構(gòu)空間想象；層次二——2次旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角度變換，讓學(xué)生借助運(yùn)動過程圖用語言描述，然后通過幾何畫板驗(yàn)證，跨越角度變化減少旋轉(zhuǎn)次數(shù)，推進(jìn)空間想象；層次三1次旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)中心在圖形外部，讓學(xué)生將2號圖形想象成長方形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，突破認(rèn)知沖突。學(xué)生經(jīng)歷三層推進(jìn)，不斷拓展旋轉(zhuǎn)中心種類，借助新的圖形從圖形邊線上任意一點(diǎn)向圖形外跨越，拓展了觀察的視角。

2.以“多塊\"溝通，修復(fù)前后經(jīng)驗(yàn) 斷層

基于學(xué)生實(shí)際認(rèn)知水平和教材的要求，旋轉(zhuǎn)視角停留在對單個圖形的旋轉(zhuǎn)。如圖3所示，如果存在多個圖形的旋轉(zhuǎn)時，如何最少次旋轉(zhuǎn)？學(xué)生情況如何？

在學(xué)生作品中， ① 號板、 ③ 號板旋轉(zhuǎn)還原的正確率僅 23.5% ，其中多塊板合并旋轉(zhuǎn)正確的學(xué)生僅占17.6% 。學(xué)生大多數(shù)只停留在水平三的單個圖形旋轉(zhuǎn)。針對此，筆者圍繞核心問題“旋轉(zhuǎn)幾次、怎么旋轉(zhuǎn)”，引導(dǎo)學(xué)生想象成大長方形，助推其從單塊板獨(dú)立旋轉(zhuǎn)到多塊板合并旋轉(zhuǎn)，實(shí)現(xiàn)從局部到整體的跨越。

上述練習(xí)完成后，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考新的圖形：如圖4所示，還原會是幾次旋轉(zhuǎn)？怎么旋轉(zhuǎn)？可否將 ①③ 號板看成整體繞（4，3）逆時針旋轉(zhuǎn)180^°"？比這個更難的是，可否將 ②④ 也看成整體旋轉(zhuǎn)？顯然，可以先讓 ② 號板繞（4，4）順時針旋轉(zhuǎn) 90^°"，再將 ② ④ 看成整體繞（5，3）逆時針旋轉(zhuǎn) 90^°"。在這樣的旋轉(zhuǎn)過程中，學(xué)生借助多塊合并旋轉(zhuǎn)原理，突破元認(rèn)知，靈活變換旋轉(zhuǎn)方式，能進(jìn)一步發(fā)展空間觀念。

3.為“剛體”鋪墊，聯(lián)結(jié)不同運(yùn)動

剛體運(yùn)動包括軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)，在教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生以整體、聯(lián)系的視角來審視三種運(yùn)動，實(shí)現(xiàn)靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識。

運(yùn)動綜合運(yùn)用課，巧用觀察、操作和想象三種發(fā)展空間觀念的學(xué)習(xí)手段，讓學(xué)生對運(yùn)動特點(diǎn)和過程進(jìn)行直接體驗(yàn)。隨著學(xué)生的感知力逐漸增強(qiáng)，教師要引導(dǎo)學(xué)生從表象走向抽象，促進(jìn)學(xué)生達(dá)到第三階段水平三。

在學(xué)生產(chǎn)生疑惑時，筆者提出跟進(jìn)問題“怎么 ② 號板不能1次旋轉(zhuǎn)”“1次運(yùn)動是什么運(yùn)動”，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)可改變方向及位置，而平移只能改變位置，進(jìn)而明白旋轉(zhuǎn)與平移的區(qū)別與聯(lián)系。

教師要通過練習(xí)課教學(xué)，讓學(xué)生從第二階段達(dá)到第三階段中的水平二，在后續(xù)教學(xué)中教師還要增設(shè)圖形。

總之，教學(xué)“圖形的運(yùn)動\"時，教師要以合適的方式引導(dǎo)學(xué)生巧用觀察、操作和想象等學(xué)習(xí)手段建構(gòu)知識體系，逐步促進(jìn)學(xué)生空間觀念的進(jìn)階發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1］劉曉玫.小學(xué)生空間觀念的發(fā)展規(guī)律及特點(diǎn)研究[D].東北師范大學(xué)，2007.

[2］曹培英.跨越斷層，走出誤區(qū)：\"數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)\"核心詞的解讀與實(shí)踐研究[M].上海：上海教育出版社，2017.