無界紅利率下復合二項對偶模型的周期性分紅問題分析

摘 要：文章的研究對象是復合二項對偶模型，探討其在無界紅利率的條件下周期性分紅問題。首先，講述了分紅問題的背景與意義。其次，根據(jù)公司盈余的獨立增量性構(gòu)建了一個盈余模型，并給出最優(yōu)控制問題的一個嚴格的數(shù)學表達。最后，通過證明得到了最優(yōu)分紅策略及其性質(zhì)和滿足最優(yōu)值函數(shù)的HJB方程。在對值函數(shù)的變換過程中得出了最優(yōu)分紅策略的相關(guān)性質(zhì)，還得到了最優(yōu)策略與最優(yōu)值函數(shù)的一些相關(guān)定理。

關(guān)鍵詞：周期性分紅；HJB方程；對偶模型；值函數(shù)變換；最優(yōu)分紅策略

中圖分類號：F224""" 文獻標識碼：A 文章編號：1005-6432（2025）16-0025-05

DOI：10.13939/j.cnki.zgsc.2025.16.007

1 引言

1.1 研究背景

精算數(shù)學的發(fā)展有著百年的歷史，是一個利用相關(guān)概率論理論處理風險問題的課題，而風險理論被廣泛地應用在保險業(yè)的隨機模型的研究中，其發(fā)展是一個漫長的過程。最初，其被適用在保險風險模型中，常用于求解破產(chǎn)概率問題，即公司的破產(chǎn)。隨后，由于保險行業(yè)的快速發(fā)展，僅僅依據(jù)破產(chǎn)概率這一指標去衡量風險問題越來越不能滿足大家的需求。為此，學者們?yōu)榱藢ふ伊硪环N更有效的方法去衡量公司的運營情況做了大量的研究，由此，紅利分配問題的研究誕生了，并成了風險理論的核心。

De Finetti在1957年的第一屆國際精算會議上提出了經(jīng)典風險模型的分紅問題［1］。為了使得股東分紅的總收益達到最大，De Finetti對最優(yōu)的邊界分紅策略進行研究，在收入額為-1和+1的離散風險模型中，通過討論分析發(fā)現(xiàn)其最優(yōu)紅利策略是barrier策略。此后，在該理論基礎(chǔ)上，針對這一問題學者們構(gòu)建了各種各樣的模型，做了相關(guān)的大量研究。并且隨著經(jīng)濟全球化和快速的發(fā)展，各行業(yè)間的界限也越來越模糊，保險與金融也慢慢地交織在一起，最優(yōu)分紅問題的研究受到了更多研究人員的青睞。例如，Albrecher和Hartinger（2006）［2］對Sparre Andersen風險模型的最優(yōu)紅利問題進行了研究，Loeffen（2009）［3］和Avram等（2007）［4］對譜負Lévy風險模型的最優(yōu)紅利問題進行了研究，研究紅利策略時理論上允許根據(jù)盈余情況在任何時刻支付紅利，但與現(xiàn)實中的情況不符，所以Albrecher等（2011）在復合泊松模型中考慮周期性分紅問題，即只在一系列隨機時刻才考慮分紅。Albrecher等的研究主要是在連續(xù)時間模型下考慮的，此外還有學者對分紅決策時間呈現(xiàn)周期性變化的最優(yōu)紅利策略進行研究［5］。在Jin等（2015）的研究中，其在馬氏環(huán)境下對不定邊界的周期性分紅問題做了詳細研究，探討出了計算破產(chǎn)時刻前的期望貼現(xiàn)紅利的一種高效算法［6］。根據(jù)上述研究，文章給定了一個分紅周期，并在單位時間內(nèi)考慮是否會破產(chǎn)的可能。在現(xiàn)實中發(fā)現(xiàn)保險公司監(jiān)控它的償付能力比決定支付紅利的時間間隔會更短，Michael和Cheung（2014）就對此做了相應的研究。所以文章的模型中也會考慮這種現(xiàn)象。近幾年隨著國內(nèi)金融市場的不斷完善和發(fā)展，國內(nèi)的學者們也在不同的模型下進行了各種研究并取得了相應的成果。如吳輝和譚激揚（2010）［7］、游凌云等（2017）［8］等對不同模型的周期性分紅問題也做了相應的研究，并取得了相應的結(jié)論。

1.2 研究意義

1.2.1 理論意義

第一，有利于公司更好的運行。在公司的資產(chǎn)負債表中，只有資產(chǎn)等于負債，公司的正常運行才能繼續(xù)下去。合適的紅利支付可以給外界釋放公司經(jīng)營良好的信息，吸引其他潛在投資者注資，有利于擴大公司的規(guī)模，使公司更順暢的經(jīng)營。

第二，有利于平衡公司盈利在股東的分紅與凈營運資本之間的分配。對于公司股東而言，公司是投資后獲得回報的一種工具，獲得收益是股東的最終目的。如果紅利支付過少可能導致股東撤資，公司經(jīng)營遭遇風險；若過多的支付紅利，在企業(yè)經(jīng)營過程中又會因為流動性資金不足而出現(xiàn)經(jīng)營困難、盈利難的情況，最終導致公司的運營風險。所以公司在支付紅利和保留盈利兩者之間要保持平衡。

第三，有利于控制公司的破產(chǎn)風險。在持續(xù)支付紅利直至到達公司的破產(chǎn)風險的邊際，存在一個臨界點。在臨界點內(nèi)，公司正常運營不會受到威脅，超過臨界點，公司面臨破產(chǎn)風險，股東的利益也會受到損害。所以最優(yōu)的紅利支付策略至關(guān)重要。

第四，豐富了紅利支付的多樣性。現(xiàn)實中，紅利的支付一般是一個固定的數(shù)值，但理論上在公司盈利無限增長的情況下，紅利的支付也會隨之增長，紅利支付無限大成為一種可能。

1.2.2 實際意義

第一，有助于管理者做出正確的決策。公司的盈利是連續(xù)時間內(nèi)產(chǎn)生的，理論上紅利的支付也是可以在連續(xù)時間內(nèi)隨時被支付，可是連續(xù)時間的紅利隨時支付可能導致公司的營運資本不清晰，影響公司決策等問題。所以規(guī)定固定周期支付紅利符合事實。

第二，有利于避免股東撤資。股東為公司投入資金，主要的目的是獲取收益，而紅利的分配就是股東的投資回報。只有股東認為得到了應有的回報，才會繼續(xù)投資，否則，股東就會撤資。

第三，有利于吸引新的投資者。固定支付紅利給潛在投資者釋放公司運營良好的信息，對于投資者來說，大多都是風險厭惡者，偏好穩(wěn)定的收益。文章在固定的周期下發(fā)放紅利是具有實際意義的。

1.3 主要內(nèi)容及創(chuàng)新點

1.3.1 主要內(nèi)容

文章是在假定紅利率是無上界的條件下研究復合二項對偶模型的周期性紅利問題。假設，該模型單位時間內(nèi)的收益是一個非負的隨機變量，且分紅決策間隔的時間是一個固定的值。因此，基于對偶模型的盈余過程構(gòu)建出了周期性分紅的數(shù)學模型，并對其提出一些假設條件，再在對值函數(shù)進行變換得到了最優(yōu)分紅策略和相應的最優(yōu)值函數(shù)之間的關(guān)系以及最優(yōu)分紅策略的一些性質(zhì)。具體步驟如下。

首先，在復合二項對偶模型（經(jīng)典離散時間風險模型），針對保險公司的最優(yōu)紅利分配問題進行研究，依據(jù)公司的盈余過程構(gòu)建周期性分紅模型。即分紅只在t=nk（n∈N） 時刻發(fā)生，在其他時刻均不發(fā)生，且在任何分紅時刻的分紅均不會導致破產(chǎn)。

其次，根據(jù)盈余過程的獨立增量性等條件下得出了最優(yōu)控制問題的一個嚴格數(shù)學表達式，且建立了HJB方程和值函數(shù)方程。

最后，對值函數(shù)進行數(shù)值變換，根據(jù)壓縮映射原理推導出了最優(yōu)紅利策略的相關(guān)性質(zhì)，并給出了相應的證明。

1.3.2 創(chuàng)新點

在現(xiàn)實世界中，紅利的支付是固定支付周期的，文章中的假設貼近現(xiàn)實，研究周期性分紅問題，且支付紅利的上限是無界的，文章在無上界的紅利支付率的條件下研究周期性分紅問題，給公司的分紅策略提供了建議和參考。

2 基本模型及假設

在復合二項模型下，文章假設保險公司的收益是一個隨機變量，構(gòu)建出保險公司盈余過程并提出一些假設。在探索過程中文章可能用到一些經(jīng)典的引理和定義。

2.1 基本模型

在復合二項對偶模型中，在任意時刻t的盈余為：

U（t）=u－ct+S（t）; t=1， 2， 3， …（1）

式中，u的取值為非負整數(shù)，表示初始盈余；c的取值為非負整數(shù)，表示單位時間內(nèi)需要給出的支付值；S（t）的取值為非負整數(shù)，表示t時刻前所有得到的收益，可用下式具體表述。

S（t）=∑ti=1Xiξi; t=1， 2， 3， …（2）

式中，S（0）=0， 假設Xi為i時刻可能的收入量，隨機變量序列{Xt; t=1， 2， …}是獨立同分布，且取正整數(shù)值的，其中X0=0。在單位時間內(nèi)，將有收入的概率用p（0lt;plt;1）表示，那無收入的概率為q=1－p；若在單位時間區(qū)間（t－1， t）內(nèi)有一次收入，用ξt=1表示；若在單位時間區(qū)間（t－1， t）內(nèi)沒有收入，用ξt=0表示。

記：

H（t）=∑ti=1ξi； t=1， 2， 3， …（3）

隨機變量序列{H（t）， t=1， 2， 3， …}是獨立同分布，其中H（0）=0，并與隨機變量序列{Xt; t=1， 2， …）相互獨立。

令：

f（x）=pr（Xi=x）； x=1， 2， 3， …（4）

這是收入量的概率函數(shù)。令：

F（x）=∑xi=1f（i）; x=1， 2， 3， …（5）

式中，F(xiàn)（0）=0；這樣，盈余模型就可以表述為：

U（t）=u－ct+∑ti=1Xiξi; t=0， 1， 2， 3， 4， …（6）

2.2 基本假設

筆者考慮在公司的盈余模型中加入紅利策略，然后提出一些基本假設。設dt表示在t時刻所需要支付的紅利的數(shù)值，t∈N（N=0， 1， 2， 3， …）。我們知道公司支付紅利的時間一般是固定的，為了更貼近現(xiàn)實，文章記分紅周期長為k，為一個固定的正整數(shù)。若周期長為k的周期性紅利策略是可行的，則滿足以下方面。

①對于任意時刻t≠nk（n∈N）時的分紅dt=0， 即該時刻不考慮分紅；當且僅當t=nk時考慮分紅。②在任何分紅時刻的分紅均不會導致破產(chǎn)。③分紅時刻支付的紅利的上界記為l，l的取值為正整數(shù)。但因為文章是在無紅利支付上界的前提下討論周期性分紅問題，所以，在這里l的取值為l=+SymboleB@。④t時刻的分紅是關(guān)于{Ft}可預測的，即是一個包含t時刻和t時刻之前的所有信息的σ代數(shù)。所以可根據(jù)Ft來預測t時刻要支付的最優(yōu)紅利。

根據(jù)盈余過程式（1）的馬爾可夫性，在文章中只討論對公司價值有意義的一類可行性策略，這類策略是關(guān)于盈余x的函數(shù)，記為Φ（x），Γ表示這類可行性策略構(gòu)成的集合，即Φ（x）∈Γ。故在策略Φ下控制的盈余模型可以表示為：

UΦ（t）=UΦ（t－1）－c+Xtξt－Φ（UΦ（t－1）－c+Xtξt）； t=1， 2， 3， …（7）

式中，UΦ（0）=u－Φ（u），Φ（u）表示初始盈余為u的紅利策略。對任意的Φ（x）∈Γ，破產(chǎn)前的全部紅利現(xiàn)值的平均數(shù)見如下定義，也稱為值函數(shù)。

VΦ（u）=Eu［∑αt=0rtΦ（UΦ（t－））］（8）

式中，Eu表示初始盈余為u的前提下的條件期望，r∈（0，1）為貼現(xiàn)因子，UΦ（t－）表示t時刻前的瞬時盈余，可表示為： UΦ（t－）=UΦ（t－1）－c+Xtξt; α=inf{tgt;0; UΦ（t）lt;0}， 意為盈余第一次小于零的時刻，又稱破產(chǎn)時刻。文章的目標是找到值函數(shù)取最大值時滿足最優(yōu)值函數(shù)V（u）的最優(yōu)策略Φ，最優(yōu)值函數(shù)與最優(yōu)紅利策略滿足如下關(guān)系：

V（u）=maxΦ∈ΓVΦ（u）， u∈N（9）

使得V（u）=VΦ（u）。

3 最優(yōu)策略和最優(yōu)值函數(shù)

因dt（t∈N）表示第t個單位時間內(nèi)紅利策略決定要支付的數(shù)額，則Φ={d0， d1， d2， …}表示紅利支付周期長度為k的最優(yōu)分紅策略，且t時刻的分紅是一個包含t時刻和t時刻之前的所有信息的σ代數(shù)，其是關(guān)于{Ft}可預測的。例如，分紅的初始時刻t=0的最優(yōu)紅利策略可表示為：

Φ（u）=d0（u， x0）（10）

根據(jù)盈余過程的馬爾可夫性，從當前時刻為t=k開始，接下來的過程還是一個馬氏過程，此時這個新的馬氏過程的初始收益記為：

u=UΦ（t－1）－Ct+Xtξt（11）

當x≥0以及Xt=x0同時成立時，最優(yōu)的紅利支付數(shù)額依舊保持Φ（u）不變。同理可知，當t=2k， 3k， 4k， …， nk時，最優(yōu)紅利Φ（u）的變化與對應的盈余過程UΦ（t－）及Xt的狀態(tài)相關(guān)。所以，前一單位的瞬時收入為x，狀態(tài)是Xt=x0的條件下的最優(yōu)紅利可用Φ（u）表示。

對任意的策略Φ（x）∈Γ， 文章利用全概率公式建立如下的關(guān)于值函數(shù)V（u）的方程。

V（u）=Φ（u）+qr［V〈1〉（u－c－Φ（u））］+pr∑SymboleB@x=1［V〈1〉（u+x－c－Φ（u））］f（x）， u∈N（12）

式中，

V〈t〉（u）=qr［V〈t+1〉（u－c）］+pr∑

x=1［V〈t+1〉（u+x－c）］f（x）； t=1， 2， 3， …， k－2（13）

和

V〈k－1〉（u）=qr［V（u－c）］+pr∑

SymboleB@x=1［V（u+x－c）］f（x）（14）

上式中，當u∈N－={－1， －2， …}時，筆者規(guī)定V（u）=0和V〈t〉（u）=0（t=1， 2， …， k－1），需要注意的是，V〈t〉（t=1， 2， …， k－1）可看作從時刻t開始的一個新的盈余過程的值函數(shù)。

定理1：假設r∈（0， 1），Φ（x）∈Γ，最優(yōu)值函數(shù)V（u）滿足HJB方程。

V（u）=sup0≤d≤l∧u{d+qrV〈1〉（u－c－d）+pr∑

因此，最優(yōu)值函數(shù)V（u）滿足HJB方程，如下：

V（u）=supΦ∈Γ{Φ（u）+qrV〈1〉（u－c－Φ（u））+pr∑

4 無界紅利率條件下的最優(yōu)策略的性質(zhì)

對Φ（x）∈Γ ，u∈N的情況下，筆者定義值函數(shù)的像函數(shù)為W（u）。

W（u）=qrV〈1〉（u－c）+pr∑

若u∈N－，定義W（u）=0，此時像函數(shù)、值函數(shù)和紅利策略滿足：

V（u）=Φ（u）+W（u－Φ（u））（19）

以及：

V〈k－1〉（u）=qr［W（u－Φ（u－c）－c）+Φ（u－c）］+pr∑

對于一個可能的紅利策略Φ=Φ（u）∈Γ，有Φ（u）∈［0， u］，由于分紅時刻的紅利是有上界l，故分紅策略Φ（u）∈［0， u∧l］。因為文章研究的是無紅利支付上界，所以l=

在策略集Γ范圍內(nèi)，如果策略對應的函數(shù)W（u）對任意的u∈N都是最大的，則稱函數(shù)是集合上最優(yōu)。

定理2：若Φ=Φ（u）∈Γ，V（u）表示值函數(shù)，像函數(shù)W（u）滿足式（18）。當W（u）在Φ=Φ（u）∈Γ時取最優(yōu)值，則：

①u∈N，有：

Φ（u）=u－argsup0≤x≤u{W（x）－x}（21）

②Φ=Φ（u）是最優(yōu)紅利策略。

證明： 由式（13）、" 式（18）和式（20）以及像函數(shù)W（u）的最優(yōu)性可以得出：

V〈k－1〉（u）=supΦ∈Γ{qr［W（u－Φ（u－c）－c）+Φ（u－c）］+pr

supuV〈t〉（u）≤rsupuV〈t+1〉（u），t=1， 2， …， k－2（36）

根據(jù)式（34）、 式（35）和式（36）， 可得到：

supuW（u）≤rsupuV〈1〉（u）≤r2supuV〈2〉（u）≤…≤rk－1supuV〈k－1〉（u）≤rkl+rksupuW（u）

因此：

supuW（u）≤rkl1－rk

由此， 式（33）得證。

定義1：H表示為N上的全體由界實值函數(shù)組成的集合。對任意的X，Y∈H，在H上定義距離，記為：

d（X， Y）=‖X－Y‖=supu∈N|X（u）－Y（u）|

顯然，H=（H， d）是一個完備的度量空間。

定義2：對集合N上任意的實值函數(shù)Y（u），定義：

BY（u）=u－argsup0≤x≤u∧K{Y（x）－x}（37）

根據(jù)式（37）， 則式（20）可以寫成：

V〈k－1〉（u）=qr［W（u－BW（u－c）－c）+BW（u－c）］+pr∑SymboleB@x=1［W（u－BW（u－c+x）－c+x）+BW（u－c+x）］f（x）， u∈N（38）

定義3：定義映射。

Ti： H→H， i=0， 1， 2， …， k－1

式中，記T0為把V〈1〉（u） 變換成式（18）右端的映射；同理，Tt（t=1， 2， …， k－2）為把V〈t+1〉（u）變換成式（13）右端的映射；Tk－1為把W（u）變換成式（38）右端的映射。因此，T=T0， T1， …， Tk－1為一個H→H的非線性映射， 合并式（18）、 式（13）和式（38）可記為：

W=TW（39）

定理5：若r∈（0， 1）， 式（39）有且僅有一個解。

證明：對X， Y∈H， 都有：

d（Tk－1X， Tk－1Y）=supu∈N{qr|X［u－c－BX（u－c）］+BX（u－c）－Y［u－c－BY（u－c）］－BY（u－c）|+pr∑SymboleB@x=1|X［u－c+x－BX（u－c+x）］+BX（u－c+x）－Y［u－c+x－BY（u－c+x）］+BY（u－c+x）|f（x）} （40）

式中，對任意u∈N－， 定義X（u）=Y（u）=0和BX（u）=BY（u）=0。不失一般性，假設對一給定的u∈N，" 有X（u－BX（u））+BX（u）≥Y（u－BY（u））+BY（u）。

則：

|X（u－BX（u））+BX（u）－Y（u－BY（u））+BY（u）|≤|X（u－BX（u））+BX（u）－Y（u－BX（u））+BX（u）|≤d（X， Y）

故：

d（Tk－1X， Tk－1Y）≤qrd（X， Y）+pr∑SymboleB@x=1d（X， Y）f（x）≤rd（X， Y）

式中，對任意X， Y∈H，下式成立。

d（TX， TY）=d（T0T1…Tk－1X， T0T1…Tk－1X）≤rd（T1…Tk－1X， T1…Tk－1X）≤…≤rkd（X， Y）

對任意r∈（0，1），所以T是H上的一個壓縮映射，根據(jù)不動點原理，得證。

定理6：假設對任意Φ∈Θ，V（u）為值函數(shù)，且W（u）由式（18）定義，對u∈N，若式（21）成立，則W（u）最大。

證明：根據(jù)定理2， 滿足式（13）的策略是最優(yōu)的，而最優(yōu)策略所對應的W（u）是最大的，得證。

參考文獻：

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