古法今用：拓展求最大公因數(shù)的思維

【編者按】2021年教育部印發(fā)的《中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化進(jìn)中小學(xué)課程教材指南》指出：“在中小學(xué)數(shù)學(xué)課程教材中納入我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)內(nèi)容，對(duì)于學(xué)生感悟中華民族智慧與創(chuàng)造、增強(qiáng)民族自豪感、堅(jiān)定文化自信具有重要作用。”中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)文化和中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化深度融合的結(jié)合體，是中小學(xué)數(shù)學(xué)課程不可或缺的重要內(nèi)容。將中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化融入課堂，既是對(duì)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的傳承，也是對(duì)文化育人的重要體現(xiàn)。本期專題精選“更相減損術(shù)”“田忌賽馬”“十進(jìn)位值制”三個(gè)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的案例，以期為一線教師的教學(xué)實(shí)踐提供參考和借鑒。

一、教學(xué)實(shí)錄

（一）情境導(dǎo)入，明確問(wèn)題

師：現(xiàn)在有兩種包裝禮品盒的彩帶，一根長(zhǎng)7分米，另一根長(zhǎng)2米1分米，把它們截成同樣長(zhǎng)的小段，不能有剩余，每段彩帶最長(zhǎng)是多少分米？這實(shí)際上求的是什么？

生：7和21的最大公因數(shù)。

（二）古術(shù)今推，創(chuàng)獲新知

1.動(dòng)手操作，初步感知

出示任務(wù)一：請(qǐng)你利用 ① 號(hào)紙條（7個(gè)單位）和 ② 號(hào)紙條（21個(gè)單位），通過(guò)折一折的方式，找到7和21的最大公因數(shù)。

① 號(hào)紙條 7

② 號(hào)紙條 21

生：把 ① 號(hào)紙條和 ② 號(hào)紙條疊在一起，然后折，剛好都折完了， ② 號(hào)紙條被平均分成了3份。（學(xué)生上臺(tái)交流自己的折疊過(guò)程）

師：我們發(fā)現(xiàn)幾位同學(xué)都是用 ① 號(hào)紙條平均分 ② 號(hào)紙條，正好分完，每份是7，所以7就是他們的最大公因數(shù)。那么上面包扎禮盒的這兩根彩帶，把它們截成同樣長(zhǎng)的小段，每段最長(zhǎng)是多少分米？

生：7分米。

師：現(xiàn)在還有兩根彩帶，一根1米4分米，一根3米5分米，用來(lái)包扎禮盒，需要截成同樣長(zhǎng)的小段，不能有剩余，每段彩帶最長(zhǎng)是多少分米？這又是在求什么？

生：在求14和35的最大公因數(shù)。

出示任務(wù)二：請(qǐng)你利用 ③ 號(hào)紙條（14個(gè)單位）和 ④ 號(hào)紙條（35個(gè)單位），通過(guò)折一折的方式，找到14和35的最大公因數(shù)。

活動(dòng)要求：先獨(dú)立思考，動(dòng)手折一折，再在4人小組內(nèi)交流你的想法，最后上臺(tái)展示。

③ 號(hào)紙條 14 ④ 號(hào)紙條 35

生1：先把 ③ 號(hào)紙條對(duì)折一次，折成1小份，再以這1小份為標(biāo)準(zhǔn)，用 ④ 號(hào)紙條包裹它進(jìn)行折疊，最后沒(méi)有剩余，發(fā)現(xiàn)兩段紙條都被平均分了， ④ 號(hào)紙條被平均分成了五份， ③ 號(hào)紙條被平均分成了兩份，每段是7，所以14和35的最大公因數(shù)是7。

生2：用 ④ 號(hào)紙條圍著 ③ 號(hào)紙條進(jìn)行折疊，最后多了一小截，長(zhǎng)度是7，就往回繼續(xù)折，折到?jīng)]有剩余。這個(gè)時(shí)候打開(kāi)紙條，兩段紙條都被平均分了，每份是7，所以它們的最大公因數(shù)是7。

師：大家通過(guò)折疊，找到了一段最長(zhǎng)的長(zhǎng)度，使 ③ 號(hào)紙條和 ④ 號(hào)紙條里面都含有若干份這樣的長(zhǎng)度，所以14和35的最大公因數(shù)是7。

2.數(shù)形結(jié)合，感悟算理

播放動(dòng)畫，還原折紙過(guò)程，學(xué)生根據(jù)動(dòng)畫寫出相應(yīng)算式（如下圖）。

師：看看這些都是什么算式？生：減法算式。

師：那為什么通過(guò)這樣做減法就能求出最大公因數(shù)呢？

生：35-14算式中，35是5個(gè)7，14是2個(gè)7，5個(gè)7減2個(gè)7等于3個(gè)7，也就是21。21-14算式中，21是3個(gè)7，14是2個(gè)7，3個(gè)7減2個(gè)7等于1個(gè)7，也就是7。14-7算式中，14是2個(gè)7，2個(gè)7減1個(gè)7等于1個(gè)7，就是7。

師：也就是說(shuō)，這些數(shù)都是7的倍數(shù)，它們里面都含有若干份最大公因數(shù)，通過(guò)做減法，總能夠找到什么數(shù)？

生：那個(gè)1份就是最大公因數(shù)。3.歸納總結(jié)，概括算法師：在計(jì)算方法上，我們是怎么做的？生：一直用大數(shù)減小數(shù)。師：在大數(shù)減小數(shù)之前，算式中的哪兩個(gè)數(shù)作了

比較？生：減數(shù)和差。師：減到什么時(shí)候就停止了？生：減數(shù)等于差的時(shí)候。師：這樣我們就算出了最大公因數(shù)。（4）古名今辯，揭示課題師：其實(shí)這個(gè)方法2000多年前就出現(xiàn)了，古人給

它取了名字（出示課題：更相減損術(shù)），誰(shuí)能來(lái)為大家讀

一讀？生1：更（geng）相（xiang）減損術(shù)。生2：更（geng）相（xiang）減損術(shù)。師：到底應(yīng)該怎么讀？為什么？生1：我覺(jué)得是更（ geng ）相（xiang）減損術(shù)，“更”就是交換、改變的意思。

生2：我覺(jué)得也是更（geng）相（xiang）減損術(shù)，“更”就是交替，“相”就是相互。

師：在這里，“更相”就是相互的意思，“減損”就是減少的意思，相互這樣減下去就求出了最大公因數(shù)，所以這個(gè)方法就讀作什么？

生：更（geng）相（xiang）減損術(shù)。

（三）回溯歷史，加深理解

師：“更相減損術(shù)”出自我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》，這是在約分中求最大公因數(shù)的一種算法。《九章算術(shù)》中的“約分術(shù)”：

可半者半之；不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也。以等數(shù)約之。

讓學(xué)生先結(jié)合已有探索過(guò)程，說(shuō)明對(duì)上述古文的理解。之后，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步明確古文的含義：“可半者半之”即如果分子、分母全是偶數(shù)，就先除以2；對(duì)于“不可半者”，則把表示分母和分子的數(shù)置于兩列，可使用“更相減損術(shù)”求出其最大公因數(shù)，再約分。“更相減損術(shù)”的算法是：用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，把所得的差與上一步中的減數(shù)比較，再用大數(shù)減去小數(shù)，如此重復(fù)下去，當(dāng)差與減數(shù)相等，便出現(xiàn)“等數(shù)”，“等數(shù)”即最大公因數(shù)。其算理是：之所以用它們輾轉(zhuǎn)相減，是因?yàn)榉肿印⒎帜付际堑葦?shù)的重疊，因而可以用等數(shù)去除分子和分母，達(dá)到約簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的目的。

師：學(xué)到這里，不難發(fā)現(xiàn)，同學(xué)們探索得到的方法，其道理和古人總結(jié)的是一樣的，看來(lái)你們和古人有著同樣的智慧。

（四）古法今用，拓展思維

出示任務(wù)三：將分?jǐn)?shù) 和 進(jìn)行約分。

（學(xué)生完成題目，并上臺(tái)展示交流）

49 Y-49=42

福 49-42=7

老 42-7=35

35-7=28

28-7=21

21-7=14

14-7=7

兩個(gè)作品均按照“更相減損術(shù)”的算法進(jìn)行計(jì)算，得出正確結(jié)論。針對(duì)作品2，進(jìn)一步觀察，發(fā)現(xiàn)當(dāng)被減數(shù)和差或減數(shù)和差成倍數(shù)關(guān)系時(shí)，這個(gè)差就是所求的最大公因數(shù)，從而可以簡(jiǎn)化算法。

出示任務(wù)四：將分?jǐn)?shù) 進(jìn)行約分。

（學(xué)生完成題目，并上臺(tái)展示交流）

三個(gè)作品均是“更相減損術(shù)”的算法。針對(duì)作品3，教師進(jìn)一步提問(wèn)。

師：為什么把后面兩個(gè)算式劃去了？

生：我發(fā)現(xiàn)從第三步開(kāi)始，一直在減17。返回到第二步，發(fā)現(xiàn)減數(shù)已經(jīng)是差的倍數(shù)了，就可以停止了，17就是它們的最大公因數(shù)。

師：為什么使用了“更相減損術(shù)”？

生1：這幾個(gè)數(shù)的分子分母較大，不能直接看出分子分母的最大公因數(shù)，因此采用“更相減損術(shù)”的方法。

生2：用短除法不一定能快速找到它們的質(zhì)因數(shù)，分子、分母一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)也不方便找質(zhì)因數(shù)，如用列舉法要列出全部的因數(shù)，耗費(fèi)時(shí)間，所以“更相減損術(shù)”是一種直接快速的方法。

（五）古算今思，升華課堂

師：“更相減損術(shù)”作為中國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就，其中蘊(yùn)含著豐富的算法思想。它不僅在數(shù)學(xué)史上占有重要地位，而且在現(xiàn)代數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)領(lǐng)域中也有實(shí)用價(jià)值。正如吳文俊先生所說(shuō)：“中國(guó)古代數(shù)學(xué)，就是一部算法大全。”接下來(lái)，就讓我們一起觀看視頻，再進(jìn)一步感受中國(guó)古代數(shù)學(xué)的魅力。

視頻主要內(nèi)容：不同于希臘數(shù)學(xué)的公理化論證，中國(guó)古代數(shù)學(xué)是算法式的數(shù)學(xué)。它重視應(yīng)用，甚至是高度實(shí)用的。它重視計(jì)算，是計(jì)算性、構(gòu)造性，也是算法性的。大部分的重要結(jié)果都以“術(shù)”的形式表示，而“術(shù)”通常相當(dāng)于現(xiàn)代的算法。依據(jù)它即可編成程序在計(jì)算機(jī)上實(shí)施。依照計(jì)算機(jī)科學(xué)大師KnuthD“計(jì)算機(jī)科學(xué)是一種算法科學(xué)”的觀點(diǎn)，我國(guó)古代數(shù)學(xué)乃是一種計(jì)算機(jī)科學(xué)。進(jìn)入計(jì)算機(jī)時(shí)代的今天，其內(nèi)在的意義與可能的影響更是不言而喻的。

師：看完視頻，再回顧本節(jié)課所學(xué)習(xí)的知識(shí)，此刻大家有什么感受？有什么想說(shuō)的？

生1：我們學(xué)習(xí)了求最大公因數(shù)的另外一種方法。生2：我們應(yīng)該弘揚(yáng)古人的這些數(shù)學(xué)成就，好好傳承下去。

師：這節(jié)課我們?cè)谥腥A優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的浸潤(rùn)中，共同探索了“更相減損術(shù)”，體會(huì)了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的算法思想。希望大家?guī)е裉斓氖斋@，繼續(xù)探索更多中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的精華與奧秘，傳承并發(fā)揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化！

二、教學(xué)反思

本節(jié)數(shù)學(xué)拓展課從生活中的實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，探索了“更相減損術(shù)”的算法和算理，拓展了求最大公因數(shù)的思維與方法。結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，得出如下啟示。

（一）尋找課堂切入點(diǎn)，選擇合適的中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化

中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化進(jìn)人小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，首先應(yīng)解決“融什么”的問(wèn)題。在教學(xué)中，應(yīng)全面把握學(xué)情，尋找切人點(diǎn)，選擇合適的中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化。作為求最大公因數(shù)的一種方法，“更相減損術(shù)”這種“輾轉(zhuǎn)相減”的方式更易被學(xué)生接受，有助于學(xué)生掌握多種求最大公因數(shù)的算法，拓展數(shù)學(xué)思維，提升運(yùn)算能力，進(jìn)一步感受中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的魅力。因此，本節(jié)課在學(xué)生學(xué)習(xí)約分之后，進(jìn)一步介紹求最大公因數(shù)的“更相減損術(shù)”。

（二）利用課堂留白，實(shí)現(xiàn)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)的深度融合

在明確“融什么”后，要解決“怎么融”的問(wèn)題。中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化進(jìn)人小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，并不是在原有的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容上簡(jiǎn)單地增加額外的內(nèi)容，而是要將其與數(shù)學(xué)內(nèi)容有機(jī)結(jié)合。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中滲透中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化時(shí)，要以學(xué)生為中心，適當(dāng)留白。本節(jié)課采用多種策略，拓寬學(xué)習(xí)路徑一古術(shù)今推：學(xué)生自主探索“更相減損術(shù)”的算理和算法；古名今辯：借助漢字讀音，加深對(duì)“更相減損術(shù)”概念的理解；古法今用：應(yīng)用“更相減損術(shù)”，感受其價(jià)值；古算今思：感悟中國(guó)古代數(shù)學(xué)的思想特點(diǎn)，培養(yǎng)了學(xué)生積極的數(shù)學(xué)觀。

（三）拓展數(shù)學(xué)思維，感悟中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的價(jià)值

中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，具備重要的教育意義。在教學(xué)中，教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生在探索、表達(dá)與反思的過(guò)程中深度理解知識(shí)，進(jìn)而拓展數(shù)學(xué)思維，領(lǐng)會(huì)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的思想內(nèi)涵與價(jià)值。本節(jié)課學(xué)生對(duì)比分析“更相減損術(shù)”與之前所學(xué)求最大公因數(shù)的方法，在解決問(wèn)題過(guò)程中感受“更相減損術(shù)”在進(jìn)行分子與分母不同為偶數(shù)的分?jǐn)?shù)約分時(shí)的優(yōu)勢(shì)，體會(huì)其在約分“大數(shù)”時(shí)的便捷，進(jìn)而明確“更相減損術(shù)”在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的價(jià)值。學(xué)生在探索發(fā)現(xiàn)的過(guò)程中拓展了求最大公因數(shù)的數(shù)學(xué)思維，感悟了中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的豐富價(jià)值。

【注：本文系昆明市教育科學(xué)規(guī)劃課題《中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐研究》（項(xiàng)目編號(hào)：JG2024007）階段性成果】