探古人智慧 明位值之妙

中國最早創立了十進位值制。在公元前幾個世紀，印度采用位置記數法的很久之前，中國就已經開始使用十進位值制，這是當時最先進的記數系統。十進位值制記數法是理解數概念及其運算算理、算法的依據。以十進位值制為切入點，深入挖掘其背后的數學歷史和教學原理，對于促進學生思維與文化的深度融合大有裨益。本課是一節拓展課，安排在學生完成人教版四年級上冊第一單元“大數的認識”學習之后。

一、教學實錄

（一）借“古人記數”之力，探秘“進位”起源

師：同學們，數還沒有產生時，你們知道古人是怎么來記錄數量的嗎？

生：結繩記數、刻痕記數等。

大屏展示“結繩記數”中40這個數的記錄方法，組織學生探究思考，討論原始社會時期簡單記數的方法。

師：仔細觀察“40”的記錄方法，你們發現了什么？生：我發現古人用一個大結代表10，4個大結代表 40 師：對于古人結繩記數的方法，你有什么感受？

生1：古人遇到困難會想辦法解決問題。

生2：古人實在是太聰明了！能夠想到“以一當十”的好辦法。

生3：用繩子打結的方法的確很好，但就是有點麻煩，要隨身帶著很多繩子。

師：是的。大家說得特別好，優缺點都總結了。剛才，我們穿越時空，了解了遠古時代的記數法，用新的計數單位代替舊的單位，這其實就是進位思想的萌芽。同時，我們也充分感受到一一對應記數法在記錄較大數時的不便。

（二）借“古埃及象形記數”之力，感悟“值”的思想

1.展示古埃及記數符號及方法，體會十進累數制

師：實物記數的方法因攜帶不便，易丟失、腐壞，因此逐漸被符號記數所取代。同學們，大屏展示了古埃及的記數符號，請你仔細思考，古埃及記數的方法是什么？

生1：古埃及的記數方法突出10—1000000的記數規律。

生2：我還發現滿十就換了一種符號。

師：1至9的表示采用了一一對應的方式，符號的個數與要記錄的數的大小是等值的；對于10、100、1000等較高單位的數，則需要創造一些新符號，通過對單個或多個符號的累加來記數。

師：同學們，大屏展示了“666”這個數的古埃及記法。請思考古埃及記數方法最大能寫到幾？要寫更大的數怎么辦？

學生交流并分享自己的見解。

生：要寫更大的數，還需要不斷發明新的符號。

師：大家真棒，說出了十進累數制的特點。的確，寫更大的數需要不斷創造符號。

2.依循歷史，介紹商朝甲骨文記數法

學生感受到用一一對應記數的方法來表示大數的不便后，教師以“十進制萌芽”的小故事將學生帶到商朝的甲骨文數碼記數的學習中，讓學生觀察甲骨文數碼的表示方法。視頻介紹中國的甲骨文記數、乘法累數制，探究其與十進累數制的共同之處。

師：請大家思考并討論哪種方法更符合當時的記數現實？

學生在對比中理解“滿十進一”“計數單位疊加”的數學思想。

（三）借“中國古代算籌”之力，凸顯“位”的意義

1.視頻導人，介紹算籌

師：同學們，從一年級到四年級，我們的教材中三次出現了“算籌”的學習內容。觀看視頻，說一說你對算籌有什么了解？

生1：算籌是用來記數和計算的，在漢代就已經應用于當時人們的生活中，是我國的偉大發明。

生2：算籌的形制是一根根長短、粗細相同的長條，材質多為竹子，也有象牙、骨、金屬等。

生3：我還知道，算籌有兩種擺放方法。

師：是的，算籌是我國古代勞動人民發明的一種記數符號和計算工具。它是用一根根統一長短和粗細的小棍子來表述數，這些小棍子一般長約13-14厘米，徑粗2-3（毫米，多用竹子制成，也有用木頭、獸骨、金屬等材料制成的。

2.采用多元方式，理解算籌記數

師：大屏呈現了算籌記數的方法。仔細觀察，算籌是如何記數的？

生1：算籌有縱橫兩種布籌方法，一種是縱式，一種是橫式，縱式就是豎著擺，橫式就是橫著擺。

生2：表示一個多位數字時，把各個位上的數按高位到低位從左往右橫列，記數時按照縱橫的規律。

師：關于算籌記數，你有什么疑問嗎？你可以把自己的想法記錄在學習單上。

學生獨立思考并提問題。（如0的表達、大數的表達、縱橫兩種方式產生的必要性）

生1問題：為什么有縱式和橫式？

生2問題：算籌應該怎么擺大一點的數呢？

生3問題：在算籌里，0怎么表示呢？

師：有同學說為什么有些是橫著擺的，有些是豎著擺的呢？仔細觀察大屏，你能找到答案嗎？

生：為了減少算籌的使用數量，人們想出了一個好辦法，就是“以1當5”。

師：有同學問遇到零怎么辦呢？仔細看大屏，說一說你的發現。

生：古人的辦法是，遇到零不擺弄算籌，讓該處空著。

師：是的，“遇零則空”。到了13世紀，南宋數學家秦九韶在數學著作《數書九章》中，首次用圓圈“O”表示空位，即零的意思。

師：《孫子算經》把算籌記數的方式表達得非常明確：“凡算之法，先識其位，一從十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當?！币簿褪钦f，記數的方法，要判斷數字的位置，個位用縱式，十位是橫式，百位又用縱式，千位又是橫式，就這樣縱橫相間地用算籌來記數。

師：古人怎么用算籌表示數呢？請大家試著擺一擺。（引導學生用小棒代替算籌擺666）

學生交流展示，重點體會：都是數字6，但在不同的位置上表示不同的含義。見作品1和作品2。

師：用算籌可以擺出多少個數？為什么？

生：因為位置上的值不同，縱橫相間的9個符號可以擺出所有的數。

師：是的。不同的位置上有不同的值，“位上有值”就可以擺出所有的數。

3.思維提升，拓展練習

10云南育

師：學了這么多，按照算籌的記數規則，能試著擺一擺下面的數嗎？

83 516 2077

學生獨立嘗試，并上臺展示交流。見作品1一作品3。

作品1：83 作品2：516 作品3：2077

4.對比探究，加強感悟

師：對比古埃及和算籌的記數方法，你覺得哪一種更簡潔和方便？為什么？

生1：算籌記數更簡潔。因為算籌僅僅需要縱橫相間的9個符號就可以表示所有的數。

生2：同樣的符號在不同的位置上有不同的含義，所以更方便。

5.追溯歷史，熏陶中國古代數學智慧

師：中國古代算籌既有“滿十進一”的思想，也有數位的概念。算籌記數的過程中，已經開始使用十進位制，這是世界數學史上一個偉大的創造。所謂十進位制，包含兩方面的含義，一是“十進制”，即每滿十數進一個單位；二是“位值制”，即每個數碼所表示的數值，不僅取決于數碼本身，還取決于在記數中的位置。

（四）借“其他進制”之力，深挖“十進”內涵

1.了解二進制、十六進制和六十進制

將多種進制思想進行對比，再一次深化“位上有值”。教師簡單介紹計算機常用的“二進制”，古人計算質量時“半斤八兩”的“16進制”，如今仍廣泛使用的時、分、秒之間進率的“60進制”。

2.多種進制思想碰撞，再次深化“位上有值”的理解

教師小結：二進制是計算機的基礎語言，十六進制承載著古代的智慧，六十進制則貫穿在我們日常的時間計算中。不同的進制在不同的領域發揮著獨特的作用，它們都是人類智慧的結晶。在“低位”累積到一定數量的數之后，向高位進“1”，這樣，每一位上便有了相應的“值”。

二、教學反思

理解位值制概念對于學生獲得良好的數感及理解多位數運算非常重要。本節拓展課讓學生置身于記數歷史的長河中，感受位值制思想的發展、體會十進位值制思想的智慧與偉大，學生在中華優秀傳統文化的助力下理解記數方式的本質，增強文化自信，從而達到學科育人的目的。結合教學實踐，得出如下教學啟示。

（一）探尋古人智慧，體現文化與思維的深度交融

中華優秀傳統文化進課堂，不僅需要關注廣度層面的“了解傳統數學文化”，知道有什么，更需關注深度層面的“感悟傳統數學文化的魅力”，著重體現文化與思維的深度交融，這是教學的重點，也是難點。唯有如此，教學才能避免陷人文化與思維兩張皮的狀況。本節課中，教學內容與中華優秀傳統數學文化的結合主要體現在兩個方面：首先，“數”的演變歷程是文化傳承與理解的核心要素。從古至今，數字的形態和使用方式不斷演變，教學過程中不僅反映了數學的發展脈絡，也展現了文化的傳承與變遷；其次，相較于古埃及的象形文字等記數符號，中國的算籌數碼在設計和使用上具有顯著的先進性。這種獨特的記數方式不僅體現了文化的瑰寶、古人的智慧，更蘊含著深刻的數學思維，將其巧妙地融入教學，能夠成為培養學生數學素養和文化認同感的優質素材。

（二）借數學文化之力，悟位值記數之妙

精選自然數的發展史作為學習內容，讓學生深人了解數概念的形成過程，即十進位值制記數法的形成過程，對自然數的認識起到了總結性的學習。本節課教學伊始，以原始社會時期的記數方法為背景，引發學生主動思考從“一一對應”到“以一當多”的進位思想；隨后，選擇古埃及記數法和算籌記數法，將學習重點放在對位值制的探索、對“累數制”與“位值制”的對比上。接著，學生通過算籌了解“十進位值制”，體會“只需這10個數字就可以表示無數個自然數，這就是十進位值制記數法的美妙之處”，深刻感悟“十進位值制用最少的符號表達更多的數”的內涵；最后，再次深化對“位上有值”的理解。在經歷學習活動之后，學生會得到這樣的啟發：十進位值制與其他進制的記數原理和規則是相通的，都是在“低位”累積到一定數量的數之后，用“高位”上的“1”來替代。“滿幾進一”的進位過程創造了“位”，也使這一位上的數有了“值”。

（三）注重體驗和探究，重構學科育人的新課堂

精心設計學習探究活動，在實踐中感受古人的思維脈絡，深刻理解數學知識的來龍去脈；設置開放性問題鏈，鍛煉學生的思維能力和解決問題的能力；始終踐行“把課堂建設成可供學生交流學習心得、分享學習經驗的平臺”，在合作分享中培養學生的數學表達和批判性思維。本節課的教學中，教師帶領學生溯源歷史，深刻理解十進位值制記數方法的內涵和價值所在。以每個歷史時期記數方式的優缺點為導向，鼓勵學生去觀察、表達、質疑和探索新的記數方式。通過一系列的體驗和探究活動，引發學生對記數方式的深度思考。學生在學習知識的過程中，充分感受到數學的魅力和傳統文化的底蘊。人課合一，構建學科育人的新課堂。