小學數學實驗探究式學習法的研究與實踐

翻開數學發展史，我們不難發現，把抽象的概念、公式、規律遷移到可操作、可實踐、可審辯、可嘗試的數學實踐場景中，進行較長時間的獨立研究與合作交流，在一個相對安全與自由的學習空間里實驗、嘗試與創造，從而實現數學學習從“訓練式”向“研究式”轉型，新課標理念正是如此倡導。本文將介紹實驗探究式學習法的具體學習流程，以及此學習法在“多邊形面積”大單元教學中所起到的作用。特別是涉及等積變形問題時，為老師打開了教學新思路，積累了新教法的實踐經驗；也為學生繼續實驗探究同類幾何問題，遷移運用其中的思考方法奠定了良好的基礎，且對學生邏輯思維提升和獲得理性精神有著積極的作用。

一、課前分析

（一）單元整體分析

根據《義務教育數學課程標準（2022年版）》中的描述，本單元知識重在培養學生的核心素養主要表現為：數感、量感、推理意識、空間觀念、創新意識等。

內容要求：探索并掌握平行四邊形、三角形和梯形的面積計算公式，會估計不規則圖形的面積。

學業要求：會計算平行四邊形、三角形、梯形的面積。能用相應公式解決實際問題。

教學提示：引導學生運用轉化思想，推導平行四邊形、三角形、梯形、圓等平面圖形的面積公式，形成空間觀念和推理意識。

我將本單元教學重心放在了前3個課時（如圖），除了引導學生運用“轉化”思想這一重要任務外，還應當格外關注的是：尊重學生的認知水平和想法，鼓勵學生從不同途徑和角度去思考與探索更多的可能性。另一個值得研究的主題是平面圖形面積的變與不變受哪些因素的影響，教材課后習題也有所涉及，考驗學生對知識綜合應用的能力，對學生高階思維的發展大有益處。

（二）學情分析

學生在三年級下冊已經認識過面積的概念，以及經歷過利用單位面積“密鋪”的方法來推導長方形、正方形的面積公式。而五年級上冊從推導平行四邊形的面積公式開始，要借助“轉化”思想方法又是一次思維的飛躍。再結合本冊書一開始“小數乘法”單元所掌握的“積的變化規律”，剛好可以輔助學生在遇到等積變形問題時應用此規律來解決問題。學生的正、逆向思維將因此而碰撞，思維再次飛躍。

（三）跨學科教學法分析

由于“多邊形的面積”整個單元無論是推導平面圖形面積公式，還是求平面圖形或組合圖形的面積，利用數形結合方法來思考對于學生來說已經習以為常。所以肯定少不了畫圖分析、借助幾何畫板操作演示、推理驗證等數學實驗教學法的幫助。其中幾何畫板的強大功能在小學高段幾何課堂中又起到推波助瀾的作用，這也恰恰是數學學科與信息技術學科巧妙融合之處，為發展數學抽象、邏輯推理、數學建模等核心素養助了一臂之力。

二、教學思路

（一）大單元教學模式

我校數學教研組一直致力于研究以發展模型意識和應用意識為核心任務的教學模式的改革和探索，根據以上課前分析，我借鑒了前輩老師的實踐經驗，此類幾何課大致可以采用以下四個教學環節： ① 確定核心素養教學目標； ② 結構化教學設計； ③ 幾何畫板助力實驗探究式學習活動； ④ 多角度學習評價。

（二）結構化教學目標

1.課時目標

第1課時：利用方格紙畫圖表示1＼～2種轉化方法，推導出平行四邊形面積公式；培養自主思考、實驗探究、合作交流能力。

子課時：借助幾何畫板操作，逆向運用公式并結合積的變化規律分析，推理探索畫出面積相等的平行四邊形的方法；發展高階思維和空間觀念。

第2課時三角形面積公式推導（含子課時），以及第3課時梯形面積公式推導（含子課時）的教學目標均與第1課時（含子課時）大致相同。

2.教學重點

引導學生運用“轉化”的方法，在畫圖分析、動手操作的基礎上，掌握平行四邊形、三角形和梯形面積的計算公式；能正確地運用各種圖形面積的計算公式，借助幾何畫板操作和演示功能，畫出面積相等的圖形。

3.教學難點

三角形、平行四邊形和梯形面積公式的推導過程，以及逆向運用公式探索等積變形的方法。

（三）實驗探究式學習流程

三、實施過程

1.第1課時（含子課時）學習過程和成果

開放設計畫一個任意平行四邊形，嘗試把平行四邊形多途徑分割、移補，再“轉化”為長方形，從而推導出一般性結論 S_E=ab?S_E=ah

① 分割成一個直角三角形 + 一個梯形；

② 分割成兩個完全相同的三角形；

③ 分割成兩個完全相同的梯形；

④ 過平行四邊形一組斜邊中點，向鄰邊作垂線，沿垂線分割出兩個三角形，再通過旋轉補成長方形。

子課時給予充分的時間讓學生小組合作探索“如何畫出面積相等的平行四邊形？”，借助幾何畫板互動操作、動態演示講解。

法1：在一組平行線間，等底等高的平行四邊形可以畫無數個，面積相等、形狀不同。

法2：根據積不變的規律，面積若不變，底擴大 m 1倍，高就縮小到原來的 ，反之亦然。

（二）第2課時（含子課時）學習過程和成果

按角的分類討論，任意畫一個銳角、直角或鈍角三角形，嘗試把三角形多途徑“轉化”為平行四邊形，無論是哪一種方法都可以推導出 S_≡=ah÷2 □

① 倍拼法：重點理解平行四邊形面積的一半即三角形面積；

② 割補法：過三角形兩腰中點，向底邊作垂線，沿垂線分割出兩個三角形，再通過旋轉補成長方形，也就是“出入相補”原理。

緊接著，子課時探究“如何畫出面積相等的三角形？”，學生馬上就有了思路，幾乎全班都能畫圖 + 列表分析，再借助幾何畫板互動操作、動態演示講解更加直觀。

法1：在一組平行線間，等底等高的三角形可以畫無數個，面積相等、形狀不同。

法2：根據積不變的規律，面積若不變，底擴大m倍，高就縮小到原來的 反之亦然。

（三）第3課時（含子課時）學習過程和成果

學生經歷第2課時探究學習后自然想到按一般、等腰、直角梯形分類討論，嘗試任意畫一個梯形，把梯形多途徑“轉化”為平行四邊形，畫圖表示并借助字母式推導出梯形面積公式 S_##=（Π_#+bΠ）Π×h÷2

① 倍拼法：重點理解長方形面積的一半即梯形面積;

② 割補法：如任意等腰梯形，沿高分割成兩個直角 梯形，得 S_≡=（Π_a+b）Π÷2×h ；或利用“出入相補” 原理可得

子課時學生逐步能舉一反三、自主研究“如何畫出面積相等的梯形？”，再借助幾何畫板互動操作、動態演示講解能事半功倍。

法1：在一組平行線間，等底等高的梯形可以畫無數個，面積相等、形狀不同。

法2：根據和不變的規律，（上底 + 下底）的和不變，高也不變，面積就不變。大部分學生列表尋找規律，極少部分學生能畫圖分析。

法3：根據積不變的規律，把（上底 + 下底）的和看成一個整體“底”，底擴大 m 倍，高就縮小到原來的 面積不變。部分學生用假設法驗證，極少部分學生直接用字母式推導。

四、評價與反思

綜合以上學生的學習成果，可以看出實驗探究式教學法在幾何課堂中非常適用，高效達成了整個單元的結構化教學目標。借助幾何畫板這個跨學科的學習手段，讓等積變形這個難題自然直觀地呈現，輕松輔助學生推理分析，問題與猜想得以一一解答和驗證，學生的高階思維與空間觀念得到進一步發展。

整個單元的教學模式以核心素養為導向，問題引領學生主動探索，難題促使學生尋求合作。多元評價貫穿課前預習—課堂探究—課后復習，從自主思考、合作交流的組內互評，到以口頭和筆記邏輯表達的全班評價，逐步豐富只有老師對學生書面作業評價這個單一的評價維度，學生的學習熱情有明顯的增長。

不足之處：一是從基礎課拓展到有難度的子課時，對于基礎薄弱的學生關注不夠，導致他們在合作探究學習中只是參與者的角色，并沒有充分激發他們的研究動力。二是學習成果的收集面不夠廣，若能有數據分析作為支撐，研究結果會更嚴謹貼切，以便于改進教學，也可進一步推廣可遷移運用的課題。