基于范希爾理論的“認識立體圖形單元教材比較及教學啟示

教材作為重要課程資源，對落實課程標準和明確教學內容具有重要作用。《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出：“數學教材為學生的數學學習活動提供了學習主題、知識結構和基本線索，是要從形狀這一角度引導學生初步認識物體和圖形，是學生正式學習幾何知識的開始。本文基于范希爾理論對人教版教材、北師大版教材和蘇教版教材中\"認識立體圖形”單元的例題內容進行分析與比較，旨在揭示三套教材在知識構建邏輯上的共性與差異，從而獲得教材內容結構化編排的啟示，以幫助教師優化教學設計，更好地適應學生的認知發展規律。

一、范希爾幾何思維水平簡析

根據范希爾幾何思維水平的劃分標準，小學階段“圖形與幾何\"的學習可分為視覺水平、分析水平、非形式化演繹水平和形式演繹水平。下面結合人教版教材、北師大版教材和蘇教版教材中“認識立體圖形”單元的例題內容對范希爾幾何思維水平進行簡單介紹。

視覺水平：學生能夠通過整體輪廓直觀辨認圖形，并使用標準或非標準名稱描述幾何圖形，但不能對圖形進行概括性的描述。如人教版教材在“認識立體圖形”單元主題圖中呈現了16種生活中常見的立體圖形（如圖1），盡管這些立體圖形擺放隨意且無明顯規律，學生仍能通過整體輪廓辨認出長方體、正方體、圓柱和球等立體圖形，但還不能使用每種立體圖形的特征或要素名稱來分析這些立體圖形。處于此水平階段的學生通過外觀、顏色、大小等視覺特征識別圖形，依賴整體形狀與直觀感知，而非幾何屬性。

分析水平：學生能夠分析圖形要素，將圖形分類，建立圖形特征，解決幾何問題。如北師大版教材（如圖2）通過\"說一說圖中有哪些物品，把它們分分類\"這樣的提示語，利用淘氣和笑笑的對話啟發學生分析物體的形狀和基本特征，并據此給物體分類，幫助學生建立“實物一幾何圖形一圖形名稱”之間的直觀聯系。處于此水平階段的學生仍需要依賴具體對象，但開始關注圖形特征，即逐步脫離純視覺判斷，轉向基于屬性的分析。

非形式化演繹水平：學生能夠建立圖形及圖形性質之間的聯系，提出非形式化的推論，了解建構圖形的要素，進一步探求圖形的內在屬性和其包含關系。例如，蘇教版教材（如圖3）利用2個、3個、4個完全一樣的小正方體的拼搭，使學生在拼搭過程中逐漸感悟小正方體和長方體之間的關系，理解用同樣的小正方體，拼法不同，拼成的物體形狀也可能不同，最后思考“至少用幾個完全一樣的正方體可以拼成一個大正方體”。有學生得出非形式化的推論，即認為4個完全相同的小正方體能拼成一個大正方體。為此，教師常引導學生通過操作實踐認識正方體和長方體的本質特征，得出需要8個小正方體的結論。非形式化演繹水平是學生從具體分析邁向抽象邏輯的關鍵階段。盡管一年級學生以視覺水平和分析水平為主，尚未具備嚴格的非形式化演繹水平，但通過實物操作、語言表達和可視化工具的支持，引導他們從“動手做”走向“動腦想”，能有效促進他們思維的進階，提升其核心素養。

2（1）把2個完全一樣的拼在一起，可以怎樣拼？

（2）用3個完全一樣的拼一拼，可以拼成什么形狀？

（3）用4個完全一樣的可以拼成什么形狀？先拼一拼，再說一說。

至少用幾個完全一樣的正方體可以拼成一個大正方體？試著拼一拼。

形式演繹水平：學生能夠理解證明的重要性，了解定義、公理和定理的意義；理解解決幾何問題必須具備充分或必要條件；能猜測并嘗試用演繹方式證實其猜測；能以邏輯推理解釋幾何學中的公理、定義、定理等，建立定理間的關系網絡。形式演繹水平層次對剛人學的一年級學生而言要求較高，三套教材在“認識立體圖形\"單元中均沒有編排相關內容。

總體而言，這四個水平層次具有順序性，前一水平層次是后一水平層次的基礎，同時每個水平層次又彼此關聯。這一理論為教師深入理解學生幾何思維的形成與發展提供了一個多維度的認知框架。

二、三套教材中例題編排的比較

基于上述范希爾幾何思維水平的劃分，筆者對人教版教材、北師大版教材和蘇教版教材的例題數量、具體內容及思維層次進行比較分析。人教版教材和北師大版教材均編排了3道例題，而蘇教版教材則編排了2道例題，這些例題在內容上既有交叉又各具特色。三套教材中的例題內容及其對應的幾何思維水平具體如表1所示。

從表1可見，每個例題所體現的水平層次并非唯一的，而是將兩個至三個水平層次融合起來呈現。基于對上述三套教材的梳理，接下來將從它們的共性和差異性進行深人分析。

（一）三套教材中例題編排的共性

1.從豐富多樣素材到輪廓辨認

人教版教材、北師天版教材及蘇教版教材分別采用了16種、10種、15種日常生活中的物品作為素材，這些物品在大小、材質、擺放方式等方面有所不同，為學生初步認識立體圖形提供了豐富的感性材料，促進學生會用數學的眼光觀察現實世界。其中，人教版教材和蘇教版教材中都出現了扁平的長方體物品，如筆記本、木板；人教版教材和北師大版教材中都出現了有兩個面是正方形的特殊長方體，如牙膏盒、墨水盒；北師大版教材中還出現了扁平的圓柱。由此可見，三套教材都重視利用變式與反例來突破學生認識上的難點（尤其是兩個面是正方形的特殊長方體，學生容易將其誤認為正方體）。這種編排方式旨在引導教師在教學中重視對長方體與正方體六個面的特征進行比較與辨析，如正方體的六個面都是正方形，長方體六個面中相對面的形狀、大小相同（有一種特殊情況是兩個面為正方形），為后續深入學習長方體和正方體相關知識積累活動經驗。

2.從多個維度分類到數學角度分類

三套教材提供的立體圖形素材豐富且擺放無規律，旨在激發學生分類的需求。不同學生可能會按顏色、材質、形狀、是否為玩具、是否有曲面等不同標準進行分類，但教材中僅呈現了按形狀分類的結果。這種編排的意圖是讓學生理解“按形狀分類”是基于數學角度的觀察結果，也是立體圖形分類的意義所在。在分類活動中，三套教材都編排了觀察、比較、想象、操作等活動，引導學生通過語言表達、空間想象、合作交流等方式不斷明確立體圖形的特征，建立“實物一直觀圖一名稱”之間的對應關系，積累基于“相同點和不同點\"確立分類標準的學習經驗，為后續學習分類歸納圖形特征奠定基礎。

3.從操作想象到素養培育

人教版教材和北師天版教材都通過“搭一搭”活動，讓學生利用各種立體圖形的特征解決搭得又高又穩的問題，認識到不能將球置于最底層，而應將長方體和正方體平平的、大天的面置于底部。蘇教版教材和人教版教材都編排了使用同樣的立體圖形拼搭的活動，引導學生自主關聯立體圖形的特征，暗示其內在關系。學生在想象、操作、表征的過程中不斷發展空間觀念，提升應用能力。

（二）三套教材中例題編排的差異

蘇教版教材的例1創設了真實情境，讓學生感知物品散亂、無結構地擺放不美觀，從而激發學生進行整理的愿望，凸顯整理的價值，并引導學生抽象概括出4種立體圖形的特征，有助于提升學生的視覺水平和分析水平。人教版教材和北師大版教材均編排了解決問題的例題。北師大版教材采用“情境 + 問題串\"的方式引導學生解決問題，而人教版教材則運用“波利亞怎樣解題\"的步驟引導學生經歷解決問題的過程，兩套教材均體現了在解決問題過程中理解立體圖形的特征和立體圖形之間的內在關系，注重培養學生的思維能力。

三、教材比較對教學的啟示

（一）呈現豐富素材，促進視覺水平發展

多樣化的素材對于學生視覺水平的發展具有至關重要的作用。在教學中，教師應精選生活中真實存在的實物（立體圖形），既要呈現常規形態（如標準長方體、正方體、圓柱和球的模型等），又要呈現非常規形態（如特別扁的長方體平板、兩個面為正方形的面霜包裝盒、細長的搟面杖、一次性紙杯等）。這些素材的呈現會對視覺產生沖擊，打破學生對立體圖形的固有印象，使他們的視覺系統會主動從多角度觀察、審視，啟動對比分析。這種主動辨析的過程，實際上是在為提升分析水平中的抽象特征做準備，而基于豐富表象的視覺經驗積累，最終將轉化為學生抽象幾何思維發展的關鍵支撐。

（二）重視分類抽象，增強分析水平能力

分類活動天然包含分析水平的隱形訓練，促使學生從“記憶幾何\"轉向“理解幾何”，也是學生從具象認知向幾何思維躍遷的路徑。一年級學生的思維以直觀形象思維為主，他們對立體圖形的認知往往停留在具體實物的表面特征，為此教學需要從觀察、分類、抽象入手，幫助學生剝離生活經驗中的非本質屬性，提煉幾何圖形的本質特征。這就需要教師設計\"觀察實物一描述特征一分類整理一應用推理\"的任務鏈，開展多維度分類訓練。這樣既可以按特征，如能否滾動、是否有平平的面來分類，也可以按功能，如適合做底座的圖形、容易滾動的圖形來分類。再進一步引導學生思考“為什么球不屬于長方體一類？如果去掉一個尖尖的角，它還是長方體嗎？”等問題。這樣教學的目的是從“看形狀”向“析屬性\"“聯關系\"發展，提升學生的分析水平。分類是從視覺層次（整體感知）向分析層次（屬性提取）發展的關鍵橋梁，也是學生數學學習重要的基礎能力，需要在教學中有效實施。

（三）強調想象操作，促進非形式化演繹水平提升

根據范希爾理論，學生在未達到第 n-1 個層次之前，無法進入第 n 層次。因此，教學中必須培養學生的非形式化演繹水平，為后續向形式演繹水平的進階打下基礎。小學生的幾何思維依賴具體經驗，通過操作、觀察與推理，綜合運用分析、比較、抽象等方法，可以提升學生的非形式化演繹水平。教學過程中應創設開放性活動，如提供8個相同的小正方體，讓學生自主選擇小正方體的數量進行拼搭。先觀察、猜想并構建圖形模型，再在動態想象的基礎上進行操作，以驗證猜想的正確性和合理性。在這一過程中，滲透有序思考的方法。又如在“怎樣搭得高、搭得穩\"的活動中，讓學生先從方法、策略、解決問題的角度進行思考與想象，再進行有計劃的堆疊活動，從而經歷從空間知覺、空間表象到空間想象的過程。這不僅發展了學生的幾何直觀和空間觀念，也實現了“搭得高、搭得穩\"的目標，同時提升了學生的問題解決能力，發展了他們的非形式化演繹水平。

參考文獻：

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