基于生本材料，借助直觀模型，深化概念本質

《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確指出：“通過實際問題和具體計算，引導學生用歸納的方法探索運算律、用字母表示運算律，感知運算律是確定算理和算法的重要依據，形成初步的代數思維。\"乘法分配律是運算律體系中的重要組成部分，在一年級到四年級的數學學習中，乘法分配律普遍存在著“未學先用”的現象，表明學生已經具備學習乘法分配律的扎實基礎。那么，教師如何選擇恰當的學習素材幫助學生進行規律探究？有多少學生能將乘法分配律和直觀圖式（如點子圖、面積圖）相聯系，以加深對規律的結構性理解？針對這些問題，筆者對人教版教材和北師大版教材進行了深人比較分析，并基于學生的前置學習情況，精心設計了系列課程。

一、通過教材比較，設計整體教學

關于“乘法分配律\"的教學內容，人教版教材將其安排在四年級下冊，而北師大版教材則將其安排在四年級上冊。兩個版本教材都結合學生熟悉的問題情境，為學生理解乘法分配律的意義提供支持。筆者通過三個維度對教材進行比較。（1）學習素材。人教版教材安排了同學們植樹的問題情境，通過計算結果的相等性歸納規律，強調算式結構的直觀對比。北師大版教材以“貼瓷磚計算面積\"為情境，利用直觀圖式（如點子圖、面積圖）構建數學模型，解釋乘法分配律的幾何意義。（2）數學模型。人教版教材呈現了從 a×（b+c） 到 a×b+a×c 的分解式思考過程，還呈現了 a×c+b×c 到 （a+b）×c 的合并式思考過程，有助于學生結合乘法的意義來理解乘法分配律。北師大版教材通過幾個特例的共性特點歸納概括出一般性的結論，呈現了 （a+b）×c=a×c+b× c（3） 習題難度。人教版教材習題難度梯度明顯，更注重運算律與簡便運算的結合。北師大版教材則注重實際應用，強調用幾何直觀解釋意義。

通過對教材的比較分析，可以將直觀圖式（如點子圖、面積圖）作為學習素材，開展結構化教學，讓學生結合乘法的意義來理解定律表達式中各部分的意義，如將 （a+b）×c 理解為 （a+b） 個 ，將 a×c+ b×c 理解為 Ω_a 個 Ψ_c 加 b 個 c 的和。同時，引導學生經歷\"觀察算式一仿寫算式一解釋規律一表達規律一應用規律\"的數學模型構建過程。

基于上述分析，本內容分為三個學習階段：前置學習診斷一核心概念學習一豐富模型學習，具體目標和核心任務設計如表1所示。

二、通過前置學習，生成生本材料

乘法分配律的教學是基于對乘法意義的理解而展開的，并且存在“未學先用\"的現象。因此，本研究以學生的前置學習為基礎，嘗試使用生本材料作為學習素材，進行結構化教學。

首先布置任務，讓學生預習人教版教材四年級下冊\"運算律”單元例7的相關內容（自學20分鐘），并嘗試用自己的方法表達乘法分配律（以作品形式呈現）。接著收集兩個班級共82名學生的作品，挑選9份典型作品作為課堂教學的生本材料。具體生本材料和分析如表2所示。

對學生作品的分析，揭示了學生對乘法分配律的理解處于不同的認知層次。調查結果表明：大多數學生能夠通過具體等式解釋乘法分配律，展現了初步的模型意識;部分學生能夠依托數形結合，用面積圖、點子圖、圓圈圖等方式實現乘法分配律的理解；部分學生能夠借助實際問題的解決來解釋規律，體現數學在現實生活中的實際應用；另有部分學生能夠直接使用字母表達式進行推演。

三、借助直觀圖式，理解概念意義

核心概念學習圍繞學生提供的生本材料進行，聚焦于乘法分配律的本質屬性。教師帶領學生借助直觀圖式，提煉出數學模型，使學生理解乘法分配律外在變化的“形態”，深入體會內在不變的“原理”，幫助學生形成結構化的認知結構。

（一）生本材料的分類

教師將上述9份作品打印后分發給各小組，引導各小組進行討論和分類，并說明分類的理由。

有的小組將作品 ①②③ 歸為算式類，作品 ⑤⑥ 歸為圖形類，作品 ⑧ 歸為解決問題類，而作品 ④ 由于使用字母表示被單獨分類，作品 ⑦ 雖然是圖形，但隱藏了信息，也被單獨分為一類。經過深入辨析，認為作品 ④ 與作品 ①②③ 均通過符號（數或字母）進行抽象表達，因此都屬于符號表征類。作品 ⑦ 雖隱藏信息，但表征數學概念的本質與作品 ⑤ ⑥ 一致，因此作品 ⑤⑥⑦ 歸為圖形類。最終將分類結果呈現為：作品 ①②③④ 為符號表征類，作品 ⑤ ⑥ 為圖形表征類，作品 ⑧⑨ 為情境表征類。

（二）解構生本材料

解構可理解為對生本材料進行辨析和結構解釋。教師帶領學生通過解構分析生本材料的優勢和不足。

1.符號表征的解讀

在解讀乘法分配律的符號表征時，教師帶領學生分析作品 ① ，引導學生思考：“作品 ① 是用等式來說明乘法分配律的，為什么要寫4組等式？\"以此來體現規律的可驗證性。有學生質疑，若算式中涉及0是否也成立？通過舉例如 （5+6）×0=5×0+6×0 或（5+0）×11=5×11+0×11 ，學生發現無論0位于括號內或外，等式依然成立，可以用字母關系式 （a+b）×c= a×c+b×c 來表達。這進一步引發了學生關于小數、分數適用性的猜想。對作品 ② 與作品 ④ 進行關聯性分析，學生發現二者均基于“連續相加”，在數學結構上具有一致性：作品 ② 體現5組“ 8+3 的和轉化為5個8與5個3之和，作品 ④ 則抽象為 c 組 ^a+ b ”的和等于 c 個 a 與 c 個 b 之和。另外，作品 ③ 乘法豎式，其核心在于將5個24與10個24合并為15個24的過程，本質上仍是乘法分配律的具象化應用，同時通過數形結合的思想與直觀圖式進行關聯，可用字母 a×（b+c）=a×b+a×c 來進行概括。

2.圖形表征的解讀

解讀乘法分配律的圖形表征時，教師引導學生思考：“作品 ⑤⑥⑦ 都是用直觀圖式來表達乘法分配律的，用圖形表示有什么優勢？”讓學生發現作品⑤ 通過長方形的面積圖清晰呈現規律本質：左側兩個長方形面積的和是 a×c+b×c ，右側將兩個長方形沿公共邊拼接后形成大長方形的面積為 （a+b）×c ，由此直觀建立等式關系。在此過程中，教師提問“任意的兩個長方形都可以拼到一起嗎？\"引導學生關注圖形拼接的關鍵條件是有“公共邊”，并通過讓學生描畫公共邊引出核心概念“公有乘數”。作品⑥ 雖采用圓圈陣列運算，仍可提取公有乘數4。作品 ⑦ 在長方形周長計算中，公有乘數2作為固定數值存在。這些圖形表征作品有效幫助學生形成了對數學概念的具象化認知。

3.情境表征的解讀

在用生活情境解釋乘法分配律時，公有乘數同樣具有現實意義。作品 ⑧ 購買校服中的數量“4套服裝\"中的4是公有乘數，每套服裝包含上衣和褲子的價格，最終總價可以是（上衣價格 ⁺ 褲子價格）×4或上衣價格 ?×4+ 褲子價格 ?×4 。作品 ⑨ 中單價“每塊巧克力12元\"中的12是公有乘數，巧克力的總價可統一表達為“數量 ?×12 元”的乘積形式。

（三）提煉數學模型

教師引導學生思考：“這9份作品中，你認為哪份作品最具有代表性？\"經過全班討論與辨析，學生認為作品 ⑤ 具有代表性，因為可以用作品 ⑤ 的“面積圖\"來解釋其他所有作品。以作品 ⑧ 校服購買情境為例，將4件上衣的總價 30×4 對應長為30，寬為4的長方形面積，4條褲子的總價 25×4 對應長為25，寬為4的長方形面積，兩者合并后形成長為 ³⁰⁺ 25，寬為4的新長方形面積，直觀呈現4套校服總價為 （30+25）×4 。學生進一步指出，其他作品均可轉化為“面積圖”進行解釋，且都可以用字母表達式 （a+b）×c=a×c+b×c 實現統一。面積圖\"作為數學模型，為不同情境提供了幾何直觀解釋。

四、豐富數學模型，促進知識深化

教師要引導學生通過多情境、多維度的對比，感悟數學模型的普適性，進一步理解乘法分配律的內涵與外延，知道數學模型可以用來解決一類問題，是數學應用的基本途徑。

（一）豐富數學模型

教師引導學生思考：“解決下面的哪個問題，既可以列算式 （4+5）×3=4×3+5×3 解決，又可以列算式 4×3+5×3 來解決？為什么？（如圖1）\"學生展開討論。

多數學生認為第 ①③④ 題都可以用兩個算式來解決，解釋第 ④ 題需要通過“割補法\"重新組合成寬為 3m ，長為“ 的長方形。第 ② 題是求總長度， 4+5+3=12（cm） 即可。經過全班討論和辨析，第 ⑤ 題是求天天比元元多幾顆草莓，可以用 5×3- 4×3=（5-4）×3 解釋，由乘加模型變形為乘減模型。學生通過變形理解乘法分配律的內涵，得到 （a-b）× c=a×c-b×c 。

（二）拓展數學模型

在拓展數學模型的探究過程中，教師繼續采用生本材料（上述9份典型作品外的學生作品）（如圖2），讓學生通過解構圖1多樣化學材揭示乘法分配律的拓展形態。教師引導學生思考：“從這些同學的作品中，你看到乘法分配律了嗎？\"學生發現，在作品 ⑩ 中，三個等寬長方形沿“公共邊\"拼接成大長方形， d 為公有乘數，大長方形的長由 a，b，c 累加構成，由此抽象出 （a+b+c）×d=a×d+b×d+c×d 的拓展形式。作品 ① 以等長線段圖為載體，公有乘數5作為基準單位，通過1份、3份、2份的動態組合，直觀演繹 5×（1+3+2）=5×6 的數量守恒規律。在此基礎上，有部分學生能夠解釋作品 ? 中用字母表示乘法分配律的拓展形態。

在上述拓展數學模型的基礎上，教師繼續追問：“括號里還可以是什么？”學生突破原有“兩數和\"的思維定式，提出括號內可以是多數的代數式和加減運算。

豐富數學模型的過程不僅彰顯了乘法分配律在不同情境下的普適性，而且加深了學生對“數形結合\"以及“具象與抽象”之間轉換的數學思維理解。由此，學生的模型辨識能力、應用能力以及批判性思維都得到了提升。他們將在深入的對話中構建起對乘法分配律的完整認知結構，為高階數學思維的發展奠定堅實基礎。

教師通過“教材原型一生本材料一模型迭代一深化概念\"的閉環教學設計，連續在同一個班級中呈現兩節相關聯的課程，全景式呈現了學生學習的真實過程。學生實現了從直觀圖式到形式抽象的認知進階，形成了“本質不變”與“形式多樣\"相統一的概念理解框架。

（杭州師范大學附屬未來科技城小學）