走出誤區，即為提升

“租船問題\"為人教版教材四年級下冊例5的教學內容（如圖1），旨在通過解決租船問題滲透優化思想，提升學生分析問題和解決問題的能力。教材先呈現“租哪種船便宜\"這一問題，引導學生尋找解決問題的方案，接著，由問題“如果不空座位，會不會更省錢？\"進一步引導學生進行探索，并調整租船方案，從而啟發學生全面分析問題，積累解決實際問題的經驗。

在教學“租船問題\"時，部分教師存在認識上的誤區，認為解決這類問題的策略應“租大船，無空位”。教師首先會引導學生發現大船單價較低，故應優先選擇租用天船；隨后學生通過計算 32÷6=5 （條）2（人），得出租船方案為：租5條大船、1條小船，共計174元；接著引導學生思考調整租船方案，即租4條大船、2條小船，共計168元；最后通過比較，確定最省錢的租船方案，并提煉出“既要考慮租大船，又要考慮不留空位\"的策略，簡稱“租大船，無空位”。

然而，此策略并不準確。比如，將大船的信息更改為“天船30元，限乘10人（單價更低）”，則該策略不再適用。此時，租3條天船和1條小船，盡管存在2個空位，但費用僅為114元，而采用“租大船，無空位\"的策略則為租2條大船和3條小船，費用為132元。顯然，該策略已不適用。

事實上，經驗豐富的教師明白租船問題還存在其他情況，“租大船，無空位\"的策略并不總是適用。例如，當總人數為27人時，無論怎么租，都將不可避免地出現空位，此時“無空位\"的策略又如何實現呢？

“租船問題”之所以復雜，是因為租金是否最低涉及多個變量，如總人數、大船單價和總價、小船單價和總價、大小船可乘人數等。這些變量之間的邏輯關系錯綜復雜，絕非“租大船，無空位\"這一簡單規則所能概括。可見，將“租船問題\"簡化為“租大船，無空位\"的策略是不恰當的，至少“無空位\"這一表述是不準確的。教師如何教學“租船問題”，使學生能夠應對各種情況并作出正確決策？即通法是什么？尋求通法，確實是解決數學問題所必需的意識。

筆者認為，解決“租船問題”的通法在于“有序列舉”一一只有將各種可能的情況列舉出來，才能計算出不同租船方案的費用，并通過比較找出最省錢的方案。

以27人為例，通過列舉和比較（如表1），可以準確地找到最省錢的方案為租用4條大船、1條小船，共計144元。（引導學生從租用大船開始列舉，此處不再贅述）

需說明兩點：一是列舉形式不必局限于表格，能夠有序寫一寫亦可；二是可乘人數可以用算式表達（起到檢驗作用），若學生口算能力強，亦可省略不寫。

或許有教師認為這種列舉過于煩瑣，不夠高效。然而，我們必須認識到有序列舉是一種解決問題的通法，任何復雜情況都可以通過有序列舉得到解決。何況，上述列舉僅涉及五種情況，并不復雜。

實際上，“租船問題\"的“前身”一人教版教材三年級的“運煤問題”，正是通過這種策略解決的。因此，從知識銜接或思想方法深化的角度引導學生運用有序列舉的方法，可能是更為合適的解決問題的方法。（注：筆者在撰寫此文后，與人教社相關專家進行了交流，得知在新一版教材中，此解題方法的編排將有所體現）

面對教材的編寫，教師只是在執行教材的教學要求，因此，若需改變，也應從改變教材開始。然而，教材并未要求學生列出兩個算式（調整一次），就確認后者方案更省錢。教材也未明確指出要采用有序列舉的方法來分析，兩個算式本身就是兩次列舉。教材更未明確表達“租大船，無空位\"的策略。在“回顧與反思”中提及的“解決這類問題，要考慮租哪種船便宜，還要…”是我們自己過度擴天了“這類\"的含義這聽起來似乎是在為教材辯解，但實際上是筆者想表達以下觀點。

1.教師應理性審視教材內容。教材內容僅為示例，未必最佳，甚至可能存在瑕疵。教師應深入解讀、理性審視教材中的每個例子，理解其內涵，思考其教法，特別是從學生角度考慮學習的疑問與困難，思考例子的適宜性。

2.教師應具備改編示例的意識和能力。如果發現教材的例子不太合適，如不符合本班學生的學習能力，或前后知識邏輯不連貫等，教師應勇于改變、主動創新。比如，更換情境、調整數據、修改要求、增加課時等。目的是使教與學的過程更科學，結果更有效。以“租船問題\"為例，如果我們認為該內容編寫存在不足，學生易陷人誤區，可以采用如下兩種微調方案。

方案一：改變例題。首先將例題中的總人數改為無論如何乘船都會有余數的情況（數據不宜過天），如27人。這樣可以引導學生從“一般情況”入手分析，自然排除“空位\"的非本質因素，避免陷入誤區。然后，將對例題的思考和分析交給學生完成，得出第一個式子 27÷6=4 （條）……3（人），在計算出總費用后，后續的式子可以讓學生自行書寫，促使學生自主調整，有序列舉，充分經歷尋找最省錢方案的過程，提煉出正確的解題策略。當然，將前文提到的“天船30元，限乘10人”作為示例也是可行的。

方案二：調整習題。在例題教學后，教師不提煉“租大船，無空位\"策略，而是讓學生通過練習鞏固解決問題的方法，在練習中設置一道變式題，如將總人數改為27人，然后讓學生完善認知結構，形成一般性的策略。這一思路體現了從“特殊到一般\"的思維方式，這非常符合學生的學習心理學生產生“無論怎么租船都有空位，那該怎么辦\"的疑問，只是沒機會提出來。

以上兩個方案并未“顛覆\"教材要求：教材原意是讓學生練習鞏固四則運算，能夠運用所學知識合理靈活地解決實際問題，并在此過程中感受優化思想；也未對教師提出“過分\"要求一教師只需在備課時更深人地思考問題，然后更精細地設計出教學過程即可。

或許作為讀者的您已經發現，如果一位教師在教學“租船問題”時，經歷了上述思考和實踐，其成果是令人欣喜的一一學生深刻地建構了知識，有效地發展了思維，教師和學生都避免了陷入認知誤區。更可喜的是，教師在此過程中，無形中提升了教學研究能力。

（浙江省杭州市濱江區教育研究院）