基于體驗的問題解決策略的形成

在“問題解決的策略\"教學中，首要任務是讓學生解決實際問題，并將問題解決的過程和方法作為反思的對象，進而從中提煉出具有普遍意義的策略。在此過程中，問題解決的具體方法是對實際問題中蘊含的數量關系及其解題步驟的抽象，而問題解決的策略則是對這些方法的進一步抽象。實際上，在學習特定策略之前，學生已經對這些方法有所了解，但這些了解往往與具體情境交織在一起，顯得模糊且零散，僅停留在感性認識階段。學生要真正掌握問題解決的策略，并將其轉化為個人素養，關鍵在于體驗。體驗是指學生通過親身經歷數學活動而形成的對數學知識具有個體意義的感受、情感和領悟。1長期以來，數學知識學習走不進學生心里，根源在于缺少體驗。知識本身是具有價值負載的，任何知識的掌握都是一種意義建構與體驗的過程。本文以蘇教版教材五年級上冊“一一列舉的策略\"的教學為例，探討如何通過體驗形成列舉策略。

一、直面問題，體驗關聯

在教學“一一列舉的策略\"時，通常會創設情境。學生一且置身于情境之中，便能產生體驗的欲望以及興趣，并迅速參與其中。傳統做法是教師直接呈現例題。例如：王老師用22根1米長的木條圍成一個長方形花圃，怎樣圍面積最大？這樣的“條件 + 任務”呈現方式雖然有利于基礎知識和基本技能（簡稱“雙基”的培養，但不利于培養學生發現問題、提出問題以及分析問題的能力。如果學生缺乏對問題的提出、分析、解決和反思的過程，那么學習將僅停留在表面，思考的廣度和深度都將受到限制。因此，教師可陳述客觀現象：以“用22根1來長的木條圍成一個長方形花圃\"的情境，引導學生自行發現、提出問題。此時，學生會主動聯系自己已有的知識經驗進行分析，得出長方形的周長為22米，并且長和寬都為整數，進而提出諸如怎樣圍面積最大或面積最小等問題。這樣的設計使學生在面對條件時，能夠激活原有知識經驗，主動參與觀察、猜測、計算、分析、推理、想象等數學活動。步入信息時代，人們可以迅速獲取所需信息。因此教學的重點不應該是教什么，而應該是培養學生對未知世界的探索意識和獲得方法的能力。當學生充分感知條件并發現、提出問題時，其對問題的體驗將變得直接、具體且深刻。當學生對即將解決的問題產生強烈的欲望與感情，更易觸發想象，其激情越豐富，想象就越活躍，思維創造性也越得以充分發揮。

二、親歷探索，體驗思路

親歷探索是指學生通過親手畫圖、操作實驗等，親身經歷數學問題的解決過程。在此過程中，學生能夠對解決問題的方法形成具體、清晰的感性認識，這是學生尋找解題思路、形成問題解決策略的基礎。面對新的問題，學生的內心被喚醒，心理活動變得活躍，易于將眼前條件與學過的圖形、算式相聯系，生成新的表象和感受。這一過程必須由學生親身經歷，無法由他人替代。在學生迷茫和疑惑時，教師應給予他們充足的探究時間和空間，而不是直接告知方法和答案。即使學生嘗試的時間較長，解題過程不順利，教師也不應輕易提示。然而，在實際教學中，教師往往將認知作為學習的中心，而忽視了學生情感的獲得。例如，在通過審題得知長方形的周長為22米后，教師常急忙追問：長加寬的和是多少？若寬為1米，長是多少？這樣的教學方式，實際上是變相暗示。學生沒有經歷列舉中出現遺漏、重復等過程，沒有產生內在的沖突、疑惑與感悟，就不可能真正掌握策略。在教學中，學生不僅要親自嘗試，還要親自發現自己想法的錯誤或不完善，主動改進并追溯自己犯錯的根源，這樣才會深刻和牢固地把握策略。

三、多維交互，體驗方法

學習具有建構性，學生根據自己的喜好、知識經驗等去理解，會生成自己獨特的感受，形成不同的學習方法。不同的方法蘊含不同的思維，教師要尊重和接受學生的不同思維，即使是錯誤的方法，也可以作為教學資源，引導學生進行評價，從中獲取有益的成分。因此，教學中教師要通過呈現不同資源及多維互動來促使學生完善思維，形成問題解決的方法。例如，收集如下資源：列舉不全、列舉全但排列無序、列舉全但有重復、列舉全并且排列有序（寬按從小到大的順序排列等），然后開展交流。首先是小組維度的交流，通過小組合作、討論、協商等方式實現人人參與。其次是小組向全班匯報討論結果，實現小組與全班的交流，進而形成正確的解題思路，實現問題解決。最后是師生維度的交流。當小組向全班匯報時，教師的引導才真正發揮作用。在課堂教學中，教師要讓學生的思維向縱深發展。就本內容教學而言，教師要引導學生從對數學“問題解決的策略\"的理解上升到“學科教學的本原性問題”上來，一一列舉蘊含的數學教學的本原性問題是分類思想以及相應的分類方法。教師要先引導學生觀察不同的解題方法，辨析隱藏于其中的區別與聯系。例如，通過觀察比較列舉不全、無序、寬按從小到大的順序排列等，學生發現只要按照一定的順序列舉，就能克服列舉不全、無序等問題，從而使列舉的結果不重復、不遺漏。由此得出一一列舉的方法是：根據寬或者長進行分類，然后按照從小到天或從天到小的順序排列。再比較畫圖、列表、列舉的異同點，讓學生體會到雖然它們的表征方式不同，但它們都是依據“長 + 寬 ⁼¹¹ （米）\"進行一一列舉的，從而得出運用一一列舉的策略是有條件的這一結論。經過這樣的交流，學生將吸收來自同伴和教師的積極影響，能改進自己的認知，使思維走向深入。

四、反思抽象，體驗策略

學生通過親歷探索，獲得了具有鮮明個性的解題思路。這些解題思路在交流中得到完善，并逐漸形成正確的解題方法。通過典型個例形成的解題方法具體而直觀，是形成數學“問題解決的策略\"的重要基礎。經過概念化與形式化的過程，可以轉化為數學“雙基”，而轉化的關鍵在于反思，即皮亞杰所說的“反身抽象”。學生需要從探索的過程中抽身而出，將自身的思考過程作為反思的對象。反思需要問題的引領，通過對問題的思考，抽象概括出知識的本質，將感性認識轉化為理性認識，實現認識質的飛躍。例如，教學“一一列舉的策略\"時，教師可以提出如何列舉才能確保不重復、不遺漏，以及一一列舉有什么條件等問題。學生在回答這些問題時，需要回顧活動過程，發現要想列舉不重復、不遺漏，必須明確從哪里想起（如從長想起或從寬想起），并按照一定的順序列出所有可能的情況。由此可知，在數學上，按照順序羅列所有情況的做法叫作一一列舉。在分析一一列舉條件時，本題是根據“長 ⁺ 寬\"的和一定，并且長和寬均為整數，因此長與寬的可能性是有限的，可以一一列舉。由此引發思考，若差一定或乘積一定，是否也能進行一一列舉？引導學生舉一反三，拓展思路。反思抽象，建構意義是數學策略體驗過程最核心的階段。數學的本質在于抽象。在學習過程中，學生親身參與教師創設的活動情境，真正體驗一一列舉的實質，在此基礎上理解“一一列舉的策略”。通過親身參與獲得問題解決的策略，相較于其他方式獲得的策略更具活力。

五、變式應用，體驗思想

練習是學生形成策略、發展思維、提升素養的重要手段。判斷學生是否理解某個概念的證據包括：感知、表征、聯結、應用。3學生策略意識的形成與發展，本質上是“自悟”，是經歷獨立思考以及和他人的討論與反省，逐漸養成的一種思維習慣。因此，練習中需要進一步幫助學生應用策略。

首先，教師設計練習時應考慮對策略內涵與外延的把握。指向內涵的練習不應僅滿足于學生運用策略正確解題，還應重視引導學生關注列舉的前提條件，即從哪里想起。例如，“一一列舉的策略”中的和一定，還應包括差一定、積一定等情況。如果問題較為復雜，還應考慮先分類再一一列舉，以確保列舉時不重復、不遺漏、有順序。學生在問題解決過程中掌握的是方法，形成的是策略，內化的是數學思想。因此，需要通過不同情境，體驗一一列舉背后所指向的分類思想及方法。在指向外延的練習設計時應提供不同情境的材料，呈現不同的問題，給予學生充足的時間和空間，引導學生在新情境中主動運用列舉的策略解決問題，養成自覺運用策略的思維習慣。

其次，應在列舉方法的比較中，引導學生進行精細加工并融入推理等思維方式，促進思維發展。例如，用1元和5元的紙幣購買一本19元的書，有多少種不同的付款方法？列舉方法可以從1元開始或從5元開始。在交流中，學生發現：從5元開始列舉，次數較少。學生由此感悟到兩種列舉方法都可行，但從較大數開始能更快地找到所有情況。進一步觀察還發現：每增加1張5元，將減少5張1元。在驗證與解釋中，學生的推理能力進一步得到了提升。

最后，將學過的各種策略進行縱橫聯系，在比較中形成知識結構，幫助學生理解策略的本質?？v向聯系是指將一一列舉與之前學過的數的分解、用幾張數字卡片能組成多少個多位數等聯系起來。學生發現列舉的策略早就會用，于是將新策略與已有認知融合，形成新的知識結構。橫向聯系是指將不同年級的解題策略建立聯系，實現策略互通。例如，針對上述例子，學生可能會用畫圖、列表、列舉等策略來解答。教師進而提出：這些策略有什么不同？學生思考后得出：畫圖的依據是數形結合，列表與列舉的共同點在于先分類，再列表或列舉。對于“這些策略有無共同之處\"這一問題，學生發現：它們都是基于“19元始終不變”這一條件進行嘗試的，經過多次的比較和調整，找到答案。其背后依據的是假設的思想方法以及運用不斷逼近的方法?？v橫聯系后，學生獲得的不僅僅是列舉的策略，還有對問題解決策略知識的整體感受與領悟。這樣的練習有助于學生逐步建立一個完整的關于“問題解決的策略\"的知識結構，感受數學的“某種心智地圖”。

盡管本文僅結合“一一列舉\"這一問題解決策略中的“基于體驗的問題解決策略的形成\"來進行教學設計，但其活動過程“直面問題，體驗關聯；親歷探索，體驗思路；多維交互，體驗方法；反思抽象，體驗策略；變式應用，體驗思想”具有普遍性，也適用于其他問題解決策略的形成之教學。

參考文獻：

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[3]鮑建生，周超.數學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.

（江蘇省南京市中華中學浦口雨山小學）