讓幾何定理的學習經驗在探索活動中自然生成

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標\"）強調“幾何的學習要通過實驗探究、直觀發現、推理論證來研究圖形，在直觀理解幾何基本事實的基礎上，從基本事實出發推導圖形的幾何性質和定理.[1”而在實際教學中，多數教師存在幾何定理推導“走形式\"的現象，往往直接告知學生結論，然后開始“題海式\"做練習題，“剝奪\"了學生思考和發現的“權利”，容易導致學生只“知其然\"而“不知其所以然”，缺乏對知識“追根求源\"的認識.這樣的教學無法促進學生學習經驗的積累，不利于學生數學思維的生長，不利于核心素養的培育.因此，本文以北師大版初中數學教材中“圖形與幾何\"相關內容為研究對象，設計合理的探索活動，改變傳統的幾何定理教學模式，使學生經歷幾何定理“再發現\"的過程.

借助剪拼活動，形成數學體驗數學操作活動是學生利用有關工具，如紙片、剪刀、直尺、圓規等，在數學思維活動的參與下，以實際操作為特征的動手、動腦“做\"數學的一種探究活動.“剪拼\"活動就屬于其中一種.對于幾何定理的學習，學生需要經歷從具體操作到理論驗證的過程，如通過設計剪拼活動，激發學生主動學習，提高課堂參與度，幫助學生初步體驗數學的可操作性，促進學生活動經驗的積累.在“做”中發現知識，能讓學生感受到幾何學習既簡單又有趣.

比如北師大版八年級上冊“三角形內角和定理”可以設計剪拼活動.

問題1：我們知道，三角形的內角和等于 180^° .你們還記得這個結論的探索過程嗎？（教師出示手中的三角形紙片）

問題2：如果我們按照七年級的方法，只移動∠A，使移動后頂點為 c 且角的一邊與AC重合，你們能完成這個移動操作嗎？

問題3：觀察移動后的圖形，該怎樣說明這個結論呢？

問題4：可以把 ∠A 移動到其他位置嗎？不移動∠A，移動 ∠B 或 ∠C 可以得到同樣的效果嗎？

問題1和問題2能幫助學生回憶“三角形的內角和等于 180^°，， 這一結論，并思考小學是把一張三角形紙片的三個角都撕下來，拼在一起剛好是一個平角，得到三角形的內角和等于 180^° 的，七年級只撕下一個角也能得到這個結論（如圖1）.這兩種方法都采用了“剪拼”的操作方式進行探索，極大地激發學生的探究欲望，并為后面的證明做鋪墊.

問題3的目的在于喚醒學生原有認知經驗，同時鍛煉學生的數學語言表達能力.如圖2，首先根據“內錯角相等（ ∠1=∠A ），兩直線平行”，得 a//b ，再根據“兩直線平行，同旁內角互補”，得 ∠1+∠2+∠B=180^° 等量代換后得 ∠A+∠2+∠B=180^°. 所以三角形的內角和為 180^° 此外，也可以延長 BC ，如圖2，則有 ∠3= ∠B. 因為 ∠1+∠2+∠3=180^° ，所以∠A+∠2+∠B=180^°. 經歷思考、嘗試、說理的過程，學生已經意識到移動 ∠A 的目的是把角“湊\"到一起，從而出現平行線，再利用平行線的判定和性質，得到結論.之所以增加問題4，是為了體現解法的多樣性，同時鍛煉學生思維的靈活性.學生在理解操作目的的基礎上，很容易想到不同的移動方式（如圖3）.

問題5：如果我們不剪、不拼，要達到同樣的效果，你們有什么方法嗎？

在以上操作的基礎上，學生觀察自己所拼的圖形，并深入思考.對于問題5，學生想到可以添加輔助線，那輔助線如何添加呢？由先前活動經驗，學生發現“剪拼”角的目的是出現平行線，那能不能直接作出平行線呢？（如圖4）這樣便巧妙地突破了本節課的難點，打開了證明思路.

聚焦數學思想，引發知識生長

數學思想是在研究數學問題時運用的思維方式和方法，是數學發現和創造的源泉，包括分類討論思想、類比思想、轉化思想、特殊到一般思想、方程思想、整體思想、數形結合思想等.在幾何定理的學習中，經常會用到數學思想，如學完平行四邊形，學習矩形、菱形和正方形時，可以使用類比思想進行探索；探索三角形全等的條件時，會用到分類討論思想；探索勾股定理時會用到特殊到一般的思想.在這些數學思想的指引下，學生可以清晰直觀地感受到數學思想對幾何定理的探索證明具有不可估量的作用.

定理.剪拼活動為學生提供證明思路，定理在活動中自然生成.

特別地，其他幾何定理的教學也可以設計類似的“剪拼”活動，如北師大版八年級下冊“三角形的中位線\"這節課，如何得到三角形中位線的定義，如何完成三角形中位線定理的證明，是本節課的兩大重難點.怎樣讓學生經歷探索，在活動中自然生成定理呢？教師同樣需要利用剪拼活動，讓學生提前準備好三角形紙片，思考如何將三角形紙片剪拼成一個平行四邊形.學生順著教師的問題動手操作，拼完之后教師再問：“你剪開的是哪條線段？”學生紛紛回答“兩邊中點的連線（如圖5）”.接著通過觀察、測量、猜想等探索方式探究三角形中位線

比如北師大版教材九年級下冊“圓周角和圓心角的關系”這節課，如何引導學生對圓周角定理進行探索證明是難點.在實際教學中，教師可以借助數學思想來探索圓周角定理.首先，引入圓周角定義，借助球員射門的生活情境，抽象出數學圖形一圓（如圖6），并向學生提出如下問題.

從操作到思考再到操作，學生逐漸意識到，無論哪種操作，所用的數學知識是不變的，進而提出如下問題.

問題1：觀察圖中 ∠ABE，∠ACE ∠ADE的位置，它們的頂點在哪里？

問題2：你能類比圓心角的定義，給這些角起個名字嗎？

問題3：在圖7中畫一些圓周角，你所畫的圓周角能分類嗎？如何分？

問題1借助生活情境，抽象出幾何圖形；問題2借助類比思想，使得圓周角的定義自然生成.緊接著學生在圖7中畫一些圓周角，若已知圖

7中 ∠AOB=80^° ，學生能夠在這個圖上畫出位置各不相同的圓周角（均為 所對的圓周角），并能通過測量得到這些圓周角的度數都等于40^° ，但是如何進行幾何驗證呢？教師提出問題3，并滲透分類討論思想.學生經過獨立思考、動手畫圖、合作交流的過程，能分出三類（如圖8）：

（1）圓心 o 在 ∠C 的一條邊上，如圖 {① （2）圓心 o 在 ∠C 的內部，如圖8② （3）圓心 o 在 ∠C 的外部，如圖8③

OC，再根據等腰三角形的性質可知∠OAC=∠ACB ，所以 ∠AOB=2∠ACB 即“圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半”另外兩種情況都可以轉化為第一種情況再進行證明，其中涉及轉化思想和特殊到一般的思想.最終圓周角定理的證明化難為易、迎刃而解.在這個探索過程中，數學思想起著舉足輕重的作用.從數學思想的視角設計探究活動，能引發知識生長，讓學生在活動中對定理的來龍去脈有更深刻的認識.

利用尺規作圖，搭建探索橋梁

尺規作為幾何研究的重要工具，從歐幾里得的《幾何原本》開始，尺規作圖就是構建幾何演繹體系的基礎，也是學習與理解幾何概念及其關系的基本工具[2.教材內容中，有基本的尺規作圖，如尺規作線段、作角、作三角形、作角平分線、作線段的垂直平分線等.在平時教學中，教師認為尺規作圖僅是數學需要學習的內容，沒有將其作為一種學習與理解幾何定理的工具.教學中，如果教師能有效利用尺規作圖，將其融入幾何學習過程，通過具體的作圖活動，引導學生經歷幾何圖形的重構，那么尺規作圖將為學習幾何定理搭橋鋪路，幫助學生打開推導幾何定理的思路，實現由合情推理到演繹推理的過渡，

求作：Rt ΔABC ，使 ∠C=∠α BC=a，AB=c

教學時，教師可以先鼓勵學生自主思考尺規作圖的方法，并對有困難的學生給予指導，然后通過互相交流，使所有學生理解作圖步驟尺規作圖需保留作圖痕跡，學生完成后可以與同伴交流，比較他們所作的直角三角形是否能夠完全重合（如圖10）.由猜想得到的命題只有經過證明才能成為真命題，那怎樣證明這個猜想呢？在直觀經驗的基礎上，學生能夠得出所作的三角形全等，那么證明的時候教師可以順勢引導：怎樣證明全等呢？由于直角三角形的特殊性，一條直角邊和斜邊確定，那么根據勾股定理，另外一條直角邊也隨之確定，接著由“SSS”判定兩個三角形全等.在這個過程中，尺規作圖為定理的證明搭建橋梁，學生經歷了作圖、比較、觀察、猜想、證明等數學活動，同時經歷了定理的發現、提出和證明過程.從感性的猜想到理性的論證，從舊知識的喚醒到新知識的產生，學生在直觀經驗的基礎上，進行演繹推理的證明.

在這三種位置關系中，選擇最特殊也最簡單的情況（圖 ① ）來證明：利用\"三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角和”可知∠AOB=∠OAC+∠ACB ，由于 OA=

比如北師大版教材八年級下冊“直角三角形”這節課，如何探索并掌握判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊\"定理？在七年級，學生已經嘗試過已知三角形的兩邊及其中一邊的對角畫三角形，知道畫出的三角形不唯一.本節課，教師可以讓學生嘗試用無刻度的直尺和圓規作出直角三角形.

已知：如圖9，線段 a，c（a

融合綜合實踐，提升思維梯度

新課標在“綜合與實踐\"領域的課程內容中指出，要經歷現實情境數學化，探索數學關系、性質與規律的過程，感悟如何從數學的角度發現問題和提出問題，用數學的思維方法，綜合地、有邏輯地分析問題，經歷分工合作、試驗調查、建立模型、計算反思、解決問題的過程，提升思維能力.教學中我們可以融入綜合實踐活動，幫助學生建立數學與生活的聯系，比如折紙活動屬于綜合實踐活動的一種，它促使學生動手、動腦、動眼，能幫助學生學習較為抽象的數學幾何定理.教學中如果教師能加以引導，不僅可以激發學生的學習興趣，提高學生的課堂參與度，而且能發展學生的空間觀念、幾何直觀.幾何定理的證明對學生來說是難點，原因在于他們不能使用有效的方法將知識進行串聯，所以教師應幫助學生使用相同的方法解決不同的問題，聚焦知識關聯.

以北師大版七年級下冊“探索軸對稱的性質\"這節課為例，它對八年級下冊\"三角形的證明\"這一章中等腰三角形和等邊三角形的性質定理及判定定理、線段的垂直平分線性質定理及判定定理、角平分線的性質定理及判定定理的證明起到了鋪墊作用，也為九年級下冊“垂徑定理\"的證明埋下了伏筆.而軸對稱的研究從折紙活動開始，針對“探索軸對稱的性質\"這節課，教師可以設計如下折紙活動：將一張矩形紙對折，然后用筆尖扎出“14\"這個數字，將紙打開后鋪平，如圖11.接著向學生提出如下問題：

A C C' A .............. ： .............. .......... 金 . D F ？ D' B E E' B'

問題1：在圖11中，兩個“14\"有什么關系？

問題2：設折痕所在直線為l，連接點 E 與點 E^′ 的線段與有什么關系？連接點 F. 與點 F^′ 的線段呢？

問題3：線段AB與線段 ?A^′B^′ 有什么關系？線段CD與線段 C^′D^′ 呢？

問題4： ∠1 與 ∠2 有什么關系？∠3 與 ∠ 4呢？說說你的理由.

通過“折紙、扎眼\"活動，學生能更加直觀地觀察到每一組對應點與折痕之間的位置關系，以及對應角、對應線段之間的關系.以上4個問題，學生能通過折疊后完全重合得出答案，接著教師引導學生通過小組交流，用數學的語言概括出軸對稱的性質.

學生在七年級有了折紙探索的基礎，到八年級下冊學習“三角形的證明\"時就水到渠成了，等腰三角形的性質定理及判定定理、等邊三角形的性質定理及判定定理、線段垂直平分線的性質定理及判定定理、角平分線的性質定理及判定定理[3]的證明同樣建立在折紙的基礎上，由折疊出現完全重合即全等，幫助學生打開證明的思路，到九年級下冊學習“垂徑定理”，根據圓的軸對稱性，也可以設計折紙活動（如圖12）：在圓形紙片上任意作一條非直徑的弦AB；作一條直徑CD，使得CD⊥AB ，垂足為M.讓學生動手折紙、自主探究，并思考以下問題.

問題1：圖12中，條件是什么？

問題2：圖12是軸對稱圖形嗎？

問題3：圖12中，你能找到哪些等量關系（線段、弧）？請說明理由.

結語

本文基于學生的學情及認知規律，以北師大版教材為例，針對幾何定理的學習提出了4點策略，為今后幾何定理的課堂教學指明了新思路，為教師明確了教學方向，與新課標要求“實施促進學生發展的教學活動\"高度一致.每種策略的出發點都是以學生為主體，教師作為組織者和引導者，科學地設計教學活動，給予學生充分的時間和空間，鼓勵學生嘗試、操作、思考、表達、交流，體驗幾何定理從發現到形成的過程，從具體到抽象，從直接經驗到間接經驗，從實踐到理論，促進學生活動經驗的積累，訓練學生的邏輯思維，使學生有方向、有信心、有能力探索其他未知的數學問題，真正實現新課標要求的育人目標.

學生經歷折紙、觀察的過程，對所發現的結論提出猜想，再引導學生證明，證明思路正是在折紙的過程中受到了啟發：要證明三角形全等，就需要連接OA，OB，于是學生作出輔助線（如圖13），這樣問題便回到八年級等腰三角形的知識，巧妙地化解了難點，初中數學幾何定理的學習是循序漸進、螺旋上升的，知識與知識之間聯系緊密，七年級所學的軸對稱一直貫穿至九年級，課堂中融入綜合實踐這一折紙活動，不僅能使學生在探索中積累數學活動經驗，而且能為學生八年級和九年級的證明開拓思路，實現從感性認識上升到理性思維.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]鮑建生，章建躍.數學核心素養在初中階段的主要表現之三：幾何直觀[J].中國數學教育，2022（z3）：3-9.

[3]李寒月.空間與圖形課程內容的教科書比較研究一以義務教育課程標準實驗教科書數學7-9年級為例[D].東北師范大學，2008.