探源析流，啟思踐行2024年鹽城中考數(shù)學(xué)第27題深度解析與教學(xué)啟示

福建中考評價體系指出：未來福建中考命題改革應(yīng)繼續(xù)探索“學(xué)科 + 生活\"的命題方向，強(qiáng)化核心素養(yǎng)考查，加強(qiáng)考試內(nèi)容改革，引導(dǎo)培育創(chuàng)新人才．從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)視角思考培育目標(biāo)，重點突出應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的培育，暨在對數(shù)學(xué)課程內(nèi)容本質(zhì)的深度理解的基礎(chǔ)上，研究學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，做好指向問題解決教學(xué)，培育學(xué)科核心素養(yǎng)，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值[1]本文以“2024年江蘇省鹽城市中考數(shù)學(xué)試卷第27題為例”，探命題導(dǎo)向，析能力要求，精準(zhǔn)定位教學(xué)環(huán)節(jié)的關(guān)鍵發(fā)力點，真正做到把“解題\"過程轉(zhuǎn)化為“解決問題\"的過程，密切監(jiān)控教學(xué)評價的效能與反饋，動態(tài)優(yōu)化教學(xué)策略與手段，促進(jìn)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的進(jìn)階與躍升.

試題呈現(xiàn)與分析

（一）原題呈現(xiàn)

小明買菠蘿時發(fā)現(xiàn)，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽.

提出問題銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊(yùn)含著什么數(shù)學(xué)道理呢？

分析問題某菠蘿可以近似看成圓柱體（如圖1所示），若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側(cè)面展開圖上可以看成點，每個點表示不同的籽.如圖2所示，該菠蘿的籽在側(cè)面展開圖上呈交錯規(guī)律排列，每行有 個籽，每列有k個籽，行上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為 d（n，k 均為正整數(shù)， ngt;k≥3 ）

小明設(shè)計了如下三種鏟籽方案，

方案1圖3是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長為_，共鏟_行，則鏟除全部籽的路徑總長為 ；

方案2圖4是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長為 ；

方案3圖5是銷售員斜向鏟籽 示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路 徑總長.

解決問題在三個方案中，哪種方案鏟籽路徑總長最短？請寫出比較過程，并對銷售員的鏟籽操作方法進(jìn)行評價.

（二）題目解讀

該試題取材于真實生活情境，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)視角出發(fā)去觀察發(fā)現(xiàn)并提出問題，促使其完成從現(xiàn)實情境向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化，深入探尋其中的數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)、性質(zhì)與規(guī)律．在此過程中，學(xué)生親身經(jīng)歷運用數(shù)學(xué)知識解決問題的全流程，通過融合方程與不等式等核心知識要點，進(jìn)行全面且有條理的問題剖析，嘗試構(gòu)建模型、展開計算、優(yōu)化模型，直至最終解決問題，進(jìn)而感悟科學(xué)探究的步驟與方式，累積數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，提升數(shù)學(xué)思維能力，逐步培育“三會\"所涵蓋的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).此試題的核心要點在于構(gòu)建、求解并驗證模型，著重考查學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決真實生活問題的能力.

探源：命題導(dǎo)向與意圖剖析

（一）關(guān)注核心知識

1.考查核心知識：列代數(shù)式，整式的加減運算，二次根式的應(yīng)用.2.意圖：關(guān)注核心知識，會使得教師將更多的注意力放到基礎(chǔ)但重要的知識與方法的教學(xué)上，而不是那些特殊的知識技能、技巧上[2].

（二）凸顯思維過程

1.考查思維過程：設(shè)置3個不同梯度的問題.

（1）三種鏟籽方案，要求分別計算各方案鏟除全部籽的路徑總長；

（2）比較哪種方案路徑總長最短；

（3）對銷售員斜向鏟籽的操作方法進(jìn)行評價.

以上問題設(shè)計不僅能考查學(xué)生的思維水平，還能考查學(xué)生對相關(guān)數(shù)學(xué)知識的掌握程度.

2.意圖：凸顯思維過程，引導(dǎo)教師在課堂上切實關(guān)注學(xué)生對知識的感悟、理解過程，重視知識的發(fā)生過程，而不是死記硬背，在探究活動中讓學(xué)生多動手、多思考、多總結(jié)，使其真正理解和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律[2].

（三）強(qiáng)調(diào)素養(yǎng)考查

1.考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：包括抽象能力、推理能力、運算能力、模型觀念、空間觀念等核心素養(yǎng).抽象能力與空間觀念在將菠蘿和籽的實際形態(tài)轉(zhuǎn)化為圓柱體與平面點集的過程中得以體現(xiàn)；推理能力貫穿整個方案設(shè)計與路徑長度計算的推理過程，從分析籽的排列規(guī)律到確定計算方法都有涉及；模型觀念表現(xiàn)為在構(gòu)建圓柱側(cè)面展開圖模型及不同鏟籽方案數(shù)學(xué)模型的過程中，依據(jù)計算比較不同方案的結(jié)果，得出最優(yōu)方案并評價銷售員的操作.

2.意圖：強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，提示教師應(yīng)當(dāng)把促進(jìn)學(xué)生的一般發(fā)展、可持續(xù)發(fā)展作為教學(xué)中首要關(guān)注的目標(biāo)，教學(xué)過程中需要經(jīng)常讓學(xué)生從事探究性學(xué)習(xí)，經(jīng)歷觀察、抽象、歸納、類比等一系列過程，發(fā)展學(xué)生合情推理、演繹論證的能力，通過數(shù)學(xué)建?；顒?，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，讓具體的知識、技能不再成為學(xué)生學(xué)習(xí)過程中花大氣力反復(fù)操練的對象[2].

（四）導(dǎo)向數(shù)學(xué)應(yīng)用

1.考查應(yīng)用意識：試題以切菠蘿這一常見生活場景為背景，要求學(xué)生運用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決實際問題.將抽象的數(shù)學(xué)概念與實際的操作相結(jié)合，把生活中的鏟籽行為轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型中的路徑計算問題，考查學(xué)生靈活運用數(shù)學(xué)工具處理生活事務(wù)的能力，提高學(xué)生用數(shù)學(xué)視角分析生活問題、用數(shù)學(xué)方法解決生活問題的意識.

2.意圖：注重考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的水平，無疑會引導(dǎo)教師在教學(xué)中更貼近學(xué)生的真實生活，而不是游離于學(xué)生生活之外的另一套抽象的符號游戲.這樣的教學(xué)更利于學(xué)生理解所學(xué)的數(shù)學(xué)知識、方法，提高運用這些知識、方法解決問題的能力，并更為全面地認(rèn)識數(shù)學(xué)的價值。

析流：解題思路與能力探究

構(gòu)建一般數(shù)學(xué)問題的解題思路，需遵循完整嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牧鞒?學(xué)生要先運用閱讀能力，從題目中提取關(guān)鍵信息，明確已知條件與目標(biāo)，這是解題基礎(chǔ).接著，利用信息轉(zhuǎn)換能力梳理信息，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，構(gòu)建模型并規(guī)劃解題步驟.求解時，借助批判性思維評估思路、優(yōu)化解法.完成后，用數(shù)學(xué)語言完整呈現(xiàn)過程，確保邏輯清晰、步驟準(zhǔn)確.最后，反思解題過程，優(yōu)化模型，總結(jié)方法并積累經(jīng)驗.這一流程緊密關(guān)聯(lián)閱讀、信息轉(zhuǎn)換、批判性思維、規(guī)范表達(dá)這四項關(guān)鍵能力，下面將圍繞其作用展開詳細(xì)剖析.

（一）閱讀能力在建模初始階段的關(guān)鍵作用

該試題以生活中的削菠蘿情境展開，學(xué)生首先面臨的是對題目文本的理解與信息提取，考查學(xué)生的閱讀理解能力.數(shù)學(xué)試題不是簡單考查學(xué)生的文字閱讀理解能力，而是需要學(xué)生以數(shù)學(xué)的知識、數(shù)學(xué)的背景為基礎(chǔ)和依托，理解題目文字語言中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)內(nèi)容.學(xué)生只有具備良好的數(shù)學(xué)學(xué)科閱讀能力，才能夠準(zhǔn)確把握題目所設(shè)定的條件與要求，識別出其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)元素與關(guān)系.如學(xué)生需要閱讀并理解諸如“某菠蘿可以近似看成圓柱體\"的題目條件，也就是能將菠蘿的形狀抽象為近似圓柱體，知道圓柱體側(cè)面展開圖是矩形，從而能夠理解題意并想象沿著菠蘿的母線將其側(cè)面剪開并平鋪，形成一個矩形．只有理解了“忽略籽的體積及削去果肉的厚度與寬度”“橫向、縱向、斜向鏟籽\"等關(guān)鍵信息，學(xué)生才能夠體會將三維的鏟籽問題轉(zhuǎn)化為二維平面上的點與線段問題，降低問題的理解與分析難度，把菠蘿籽看作是分布在這個矩形上的點，鏟籽的路徑則對應(yīng)為矩形內(nèi)的線段．這樣，原本復(fù)雜的實際鏟籽操作就轉(zhuǎn)化為在平面幾何圖形中計算線段長度的數(shù)學(xué)問題.若閱讀能力不足，學(xué)生可能會遺漏關(guān)鍵信息或誤解題意，導(dǎo)致后續(xù)研究受阻.由此，學(xué)生只有精準(zhǔn)解讀題目，才能明確問題的核心，為數(shù)學(xué)建模奠定基礎(chǔ)，從而確定以菠蘿的形狀特征、籽的分布規(guī)律以及不同鏟籽方式為研究對象，展開進(jìn)一步的數(shù)學(xué)分析.

（二）信息整理能力在建模中間環(huán)節(jié)的核心意義

當(dāng)學(xué)生閱讀完題目后，進(jìn)人信息整理階段.以橫向鏟籽為例，需整理出每行籽的數(shù)量、相鄰籽間距以及總行數(shù)等信息，并將其合理歸類，構(gòu)建起與數(shù)學(xué)模型相關(guān)的信息框架.在這個過程中，學(xué)生要能夠區(qū)分有用信息與無關(guān)信息，將分散的信息整合成有序的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（如表1）.該題目中給出的每行籽數(shù) 、每列籽數(shù)k以及相鄰籽間距d是已知量，這些量將在后續(xù)的計算中作為關(guān)鍵參數(shù).而三種鏟籽方案（橫向、縱向、斜向）各自的路徑總長是未知量，也是解題的核心目標(biāo).通過梳理已知量和未知量等信息，為后續(xù)建立準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型做好準(zhǔn)備，

（三）批判性思維能力在解決問題過程中的主導(dǎo)價值

在解決鹽城第27題的過程中，批判性思維能力發(fā)揮著重要作用.

在構(gòu)建好三種鏟籽方案的數(shù)學(xué)模型后，需要比較不同方案路徑總長的大小以確定最優(yōu)方案.批判性思維能力促使學(xué)生深入思考不同方案的合理性與局限性.如，在比較橫向與縱向鏟籽方案時，學(xué)生不能僅僅機(jī)械地代入公式計算，而要批判性地分析兩種方案在不同菠蘿籽分布密度（即變量取值不同）情況下的優(yōu)劣.同時，在選擇比較大小的方法（如作差法、作商法等）時，批判性思維能力讓學(xué)生能夠權(quán)衡不同方法的適用性，根據(jù)具體的數(shù)學(xué)表達(dá)式特點選擇最簡潔有效的比較途徑.缺乏批判性思維能力，學(xué)生可能會盲目跟從常規(guī)解題思路，無法發(fā)現(xiàn)模型中的潛在問題，難以靈活應(yīng)對不同情況，影響問題的解決.

（四）語言表達(dá)能力在書寫解答過程中的重要體現(xiàn)

在書寫鹽城第27題的解答過程中，語言表達(dá)能力至關(guān)重要.學(xué)生需要將自己的解題思路、數(shù)學(xué)模型構(gòu)建過程以及最終結(jié)論清晰準(zhǔn)確地呈現(xiàn)出來．在比較不同方案優(yōu)劣并得出結(jié)論時，語言表達(dá)要條理分明，邏輯連貫.如，“通過比較橫向、縱向、斜向鏟籽方案的路徑總長公式，采用作差法先分析橫向與縱向方案，得出…，再比較縱向與斜向方案，最終確定斜向鏟籽方案在一般情況下路徑總長最短，原因是”若語言表達(dá)能力不佳，即使學(xué)生具備正確的解題思路和答案，也可能因為表述不清導(dǎo)致閱卷教師無法理解其過程的正確性，從而影響得分，清晰準(zhǔn)確的語言表達(dá)不僅能展示學(xué)生的數(shù)學(xué)思維成果，更是數(shù)學(xué)交流與傳播的必要手段，體現(xiàn)了學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的綜合掌握與運用水平.表達(dá)是思維過程和思維結(jié)果的展現(xiàn)，同時精準(zhǔn)的表達(dá)可以反過來激發(fā)思維，促使思維具有條理性和深刻性.

啟思：對數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示與借鑒

（一）重視問題情境創(chuàng)設(shè)，開啟思維激活之門

在數(shù)學(xué)教學(xué)起始階段，創(chuàng)設(shè)貼合實際生活的問題情境具有至關(guān)重要的意義.教師在日常教學(xué)中，應(yīng)巧妙引入形形色色的生活實例，積極開展綜合與實踐活動，如在購物場景中探討折扣計算背后的數(shù)學(xué)原理，或是在規(guī)劃行程時分析速度、時間與路程之間的數(shù)量關(guān)系．如此一來，數(shù)學(xué)知識自然而然融入具體生活中，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣與好奇心，使得學(xué)生在熟悉親切的情境中觸摸到問題解決的基本脈絡(luò)，為深入探究數(shù)學(xué)奧秘做好充分的心理與認(rèn)知準(zhǔn)備.

（二）探尋心理機(jī)制與對策，突破解題困境之鑰

解決“鏟去菠蘿的籽”的問題，需要學(xué)生經(jīng)歷高認(rèn)知水平的學(xué)習(xí)活動.首先，它是指向問題的，而非指向知識的；其次，它是具有挑戰(zhàn)性的整體問題，在選擇總路徑最短的方案中，問題呈現(xiàn)沒有鋪墊和提示；第三，它需要列代數(shù)式來解決方案選擇問題，其間涉及整式的加減，作差法比較量的大小，對學(xué)生抽象能力有要求．思考和制定解決問題的策略與途徑是問題得以解決的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，也是問題解決教學(xué)的重點和難點．因此，教師應(yīng)將學(xué)生置身于問題情境之中，利用獨立操作加小組合作的方式嘗試探索解決之道.深入挖掘?qū)W生在這一過程中的心理機(jī)制并尋覓行之有效的應(yīng)對策略，便成為教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)．?dāng)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展不能單憑傳統(tǒng)課堂，而應(yīng)在外部學(xué)習(xí)環(huán)境輔助下，以“問題解決\"為載體，讓學(xué)生經(jīng)歷對問題的感知和識別，對問題的分析和理解，剖析其本質(zhì)、條件和限制，運用記憶中的數(shù)學(xué)知識、經(jīng)驗進(jìn)行聯(lián)想和推理，形成多種可能的解決辦法或假設(shè)，之后對這些假設(shè)進(jìn)行驗證和評估，判斷其可行性和有效性，在實施過程中根據(jù)實際情況不斷調(diào)整策略和行動.學(xué)生經(jīng)歷領(lǐng)悟、內(nèi)省、鑒賞、評價、探究等實踐過程，在積累、摸索、體悟等過程中就有機(jī)會凝結(jié)解決問題所需的經(jīng)驗，形成解決問題的路徑與策略.

（三）積累經(jīng)驗筑牢根基，鑄就素養(yǎng)成長之基

策略和途徑的產(chǎn)生不可能是從無到有的突變，而是學(xué)習(xí)者經(jīng)過長期知識和經(jīng)驗的積累，用自然的、慣用的思路去想出方法，遷移出問題的解決思路.如在綜合性強(qiáng)的情境題里，信息的篩選與整合能力不足，邏輯推導(dǎo)鏈條易斷裂，致使答題思路受阻.整合問題解決思路就是激活知識經(jīng)驗的過程，它需要學(xué)生將那些零散的記憶和理解進(jìn)行系統(tǒng)的歸納與分析，從而在面對新的方案時，能夠迅速調(diào)動這些信息．由此可得，打通小學(xué)、初中、高中乃至大學(xué)的貫通式培育方式是實現(xiàn)教育目標(biāo)最省力和最有成效的路徑.如，高中學(xué)生面對的變量問題就比初中的要復(fù)雜，需要利用導(dǎo)數(shù)來探討一些最值或比較大小等，如果學(xué)生對初中相關(guān)內(nèi)容的知識和經(jīng)驗儲備不足，到高中學(xué)習(xí)時就會感覺吃力，此時需要教師滲透一些相關(guān)知識．不論是初高銜接還是小初銜接，教師有必要培養(yǎng)學(xué)生一脈相承的建構(gòu)解決同類問題的數(shù)學(xué)思維方式．在學(xué)生經(jīng)歷了完整的問題解決過程之后，教師應(yīng)巧妙地引導(dǎo)學(xué)生對整個解題過程進(jìn)行深入細(xì)致的反思，總結(jié)其中成功的解題方法與策略，同時也不忽視那些寶貴的失敗教訓(xùn)，促使這些經(jīng)驗教訓(xùn)真正內(nèi)化為學(xué)生個人數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成部分．受限于學(xué)生的數(shù)學(xué)知識儲備和生活閱歷，初中階段面向?qū)嶋H問題的數(shù)學(xué)建模，不是為了教會學(xué)生解決某一個具體的問題以達(dá)到“學(xué)以致用\"的目的，而是為了通過讓學(xué)生使用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識解決問題來加深對已知數(shù)學(xué)材料的理解，以及掌握利用數(shù)學(xué)解決問題的思想方法，達(dá)到“用以致學(xué)”的目的．在一線教學(xué)中教師應(yīng)該盡量關(guān)注問題解決的思想方法，在此基礎(chǔ)上舉一反三，為將來學(xué)生使用更豐富的數(shù)學(xué)知識解決問題做好思想和策略上的準(zhǔn)備[3].

（四）思路構(gòu)建提升思維，邁向高階思維之階

學(xué)科核心素養(yǎng)能反映學(xué)在問題解決中的思維品質(zhì).通過高層次的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，以完整經(jīng)歷相關(guān)認(rèn)知活動為前提，靈活運用多元化的思維策略來實現(xiàn)學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng).教師在日常教學(xué)中要鼓勵學(xué)生嘗試一題多解，運用不同的數(shù)學(xué)方法攻克同一道難題，進(jìn)而拓寬思維的廣度；巧妙運用逆向思維，打破常規(guī)的思維定式，從問題的相反方向進(jìn)行思考與推理，挖掘出隱藏在深處的解題思路；積極開展類比思維訓(xùn)練，將新的問題與已有的知識經(jīng)驗或類似的問題情境進(jìn)行類比聯(lián)想，從而快速找到解決問題的切入點.如，通過深度剖析鹽城中考第27題這類極具代表性的題目，并巧妙設(shè)計一系列與之相關(guān)的拓展練習(xí)活動，能夠有效促使學(xué)生的思維逐步從單一僵化走向多元靈活，從淺層次的表面理解邁向深層次的本質(zhì)洞察，實現(xiàn)思維的靈活性、深刻性與創(chuàng)造性的全方位提升.

結(jié)語

當(dāng)前以“快準(zhǔn)狠做題\"為目標(biāo)的數(shù)學(xué)教育，不僅消磨了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，而且忽視了學(xué)生思維層面的培養(yǎng).學(xué)生一旦進(jìn)入一個全新的活動情境，比如探索、發(fā)現(xiàn)、舉一反三，往往會變得不知所措，因此本試題放在壓軸題的位置引發(fā)了廣泛的討論，從\"解題\"到\"解決問題\"的培育方向的轉(zhuǎn)變，師生的不適應(yīng)是必然的，以考導(dǎo)教，要把發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)作為學(xué)科教學(xué)的培育目標(biāo)，使學(xué)生具備在面對與學(xué)科相關(guān)的生活實踐或?qū)W習(xí)探索問題情境時，能夠有效地認(rèn)識問題、分析問題和解決問題，為學(xué)生終身發(fā)展和適應(yīng)時代要求打好基礎(chǔ).在培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中，以解決實際問題為核心的關(guān)鍵能力群，與“綜合與實踐”領(lǐng)域教學(xué)活動緊密相連．因此，教師應(yīng)以“問題解決\"為載體，以培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力、推理能力、模型觀念、幾何直觀和數(shù)據(jù)觀念為目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生對客觀世界進(jìn)行“抽象\"與“概括”，將“感性\"的事物與“理性\"的思維結(jié)合起來，逐步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

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