二次函數背景下的矩形存在性問題教學探究

引言

二次函數背景下的矩形存在性問題是近年來中考的熱點問題，考題所涉圖形復雜，知識點覆蓋面廣，綜合性強，對學生運用所學知識分析問題、解決問題的能力要求較高二次函數背景下的矩形存在性問題類型與定點和動點的數量相關，教學中教師可采用數形結合的數學思想，梳理矩形存在性定理，與函數相融合構建解析模型.在實際教學中，教師可按照“模型解讀 $$ 解題指導”的流程來開展，指導學生掌握解題思路，積累解題經驗.

模型解讀

二次函數背景下的矩形存在性問題，具有“幾何”與“代數”雙重特性，解析模型應圍繞矩形的判定定理，結合函數知識來轉化構建.模型解讀中學生需要關注兩點：一是常用定理梳理；二是問題題型分析.

1.定理梳理

根據初中幾何知識，矩形的判定定理有如下三條：

（1）有一個角是直角的平行四邊形該定理使用時分兩步.第一步，判定四邊形為平行四邊形；第二步，確定其中一個角為直角.因此解題時可將問題先轉化為平行四邊形存在性問題，再探索其中的一個角為直角.

（2）對角線相等的平行四邊形

顯然，該定理使用時也分兩步.第一步，判定四邊形為平行四邊形；第二步，分析其對角線的關系.其中“對角線相等”可分析轉化為兩點之間的距離問題，從“數”的角度進行解讀.

（3）有三個角為直角的四邊形

該定理需要直接探索其中的三個角為直角，實際應用時并不常見，一般結合兩線平行來簡化分析，即其中確定一個為直角且存在平行線，則可以推出兩角為直角.

2.題型分析

由矩形的幾何特性可知，除了具有平行四邊形的性質外，還有“對角線相等\"或\"內角為直角”，因此與平行四邊形相比，矩形在坐標系需要滿足以下三式：

x_A+x_C=x_B+x_D;

yA+yc=yB+yD;

（x_A-x_C）²+（y_A-y_C）²=（x_B-x_D）²+（y_B-y_D）²=0.

yD）2（AC為對角線時）.

因此在矩形存在性問題中，最多可以有3個未知量，代入可以得到三元一次方程組，可解.確定了有3個未知量，則可判斷常見矩形存在性問題至少有2個動點，多則可以有3個動點.從而可知二次函數背景下的矩形存在性問題常見有以下兩種題型：

（1）2個定點 +1 個半動點 ⁺¹ 個全 動點； （2）1個定點 +3 個半動點

3.思路探索

根據上述的定理分析，可知解析二次函數背景下的矩形存在性問題時一般需要分兩步進行，即分別探索平行或角度關系.據此分析可知具體求解時有兩種思路.

思路1：先直角，再矩形

“先直角，再矩形”，即先證明直角三角形，再以此出發證明四邊形為矩形.具體構建時，在構成矩形的4個點中任取3個點，必構成直角三角形，以此為出發點，可先確定其中3個點構造直角三角形，再確定第4個點.該思路適用于對“2定 +1 半動 ⁺¹ 全動\"題型

引例：已知A（1，1），B（4，2），點 c 在 軸上，點 D 在平面中，且以A， _B，C D 為頂點的四邊形是矩形，求點 D 的坐標.

指導時參考圖1.

思路2：先平行，再矩形

方法評析：該方法相當于在直角三角形存在性問題上，再加一步求點D的坐標，因為這兩個圖形之間存在密切關系，故可使用該思路

D（2，3）或 C（2，0），D（3，3）

分析指導：點C滿足以A，B，C為頂點的三角形是直角三角形，構造“兩線一圓”可得滿足條件的點 c 有 C₄（3，0） ，在點 C 的基礎上，借助點的平移思路，可迅速得到點 D 的坐標，

“先平行，再矩形”，即以上述矩形判定定理1為基礎，先證明四邊形為平行四邊形，再通過\"對角線相等”證明其為矩形，

當AC為對角線時，以 _{A，B，C，D} 為頂點的矩形滿足以下3個等式：

x_A+x_C=x_B+x_D y_A+y_C=y_B+y_D ·（x_A-x_C）²+（y_A-y_C）²=（x_B-x_D）²+（y_B- 為對角線時）.

其中第1個、第2個式子是平行四邊形的要求，結合第3個式子可判定其為矩形.表示出點坐標后，代入已知點坐標，解三元一次方程即可.

引例：如圖2，已知A（1，1），B（4，2） ，點 c 在 x 軸上，點 D 在坐標系中，且以A， _B，C，D 為頂點的四邊形是矩形，求點 D 的坐標.

0（2）AC為對角線時，由 AC=BD 可得 √（b-4）2+（c-2），上解得a=14， ，故

（3）AD 為對角線時， 有 AD=BC 可得 ，綜上解得 ，故

方法評析：該方法思路以平行四邊形的探究為基礎，結合“對角線相等\"來推導，計算量相對較大，需注意分情形討論.

解題指導

上述總結了二次函數背景下矩形存在性問題的解析思路，教學探究時建議結合示例問題進行過程指導，注意解析思路的講解分析.

1.示例問題

分析指導：可設點 C 的坐標為Γ（a，0） ，點 D 的坐標為 Ω（b，c） ，又知A（1，1），B（4，2） =

先考慮平行四邊形存在性，再加上上述第3個式子即可判定.注意需要對平行四邊形存在性分三種情形討論：

（1）AB 為對角線時， 滿足此條件的 ^C，D 使得以 _{A，B，C，D} 為頂點的四邊形是平行四邊形.另外由 AB=CD 可得 ，綜上解得 a=3，b= ^2，c=3 或 a=2，b=3 c=3 ，故 C（3，0） ，

問題：如圖3，拋物線 y=-x²+bx+c 與 x 軸交與A δ_{（1，0），B（-3，0）} 兩點， o 為坐標原點，回答下列問題

（1）求該拋物線的解析式；（2）M 是（1）中拋物線上一點， G 是平面內一點，若以 M，G，B，C 為頂點的四邊形是以BC為邊的矩形，求出此時點 G 的坐標.

2.思路引導

（1）待定系數法求解拋物線的解析式，指導學生按照如下思路進行解題建構（如圖4），可求得解析式為 y=-x²-2x+3

已知：y=-x2+bx+c

A（1，0），B（-3，0）

未知：b，c

待定系數法

（2）探索矩形存在性，引導學生思考如下兩個問題

思考1：矩形的存在性問題應該如何入手？

策略：根據問題特點可采用“先直角，再矩形\"的策略，即先將問題轉化為直角三角形存在性問題，再證矩形.

思考2：如何解決直角三角形的存在性問題？

策略：構造三垂直模型，或者借助 k₁?k₂=-1.

根據上述分析思考，可分兩種情形進行解題構建

情形1：以 c 為直角頂點，按照如下思路進行解題構建（如圖5），即引入相似三角形，再求關鍵點.

情形2：以 B 為直角頂點，按照如下思路進行解題構建（如圖7）.

具體過程：過點 B 作 PQ//g 軸，過點 ^C，M 作 CP⊥PQ，MQ⊥PQ ，垂足分別為 ??P，Q ，如圖8.由（1）知點 C（0，3） ，可設點 M （204號 （m，-m²-2m+3），G（x₀，y₀）. 2由矩形的對角線相互平分，需滿足${ ＼binom { 0 + m = x _ { 0 } - 3 } { 3 + { ＼binom { - m ^ { 2 } - 2 m + 3 } } = y _ { 0 } } } ，$ 解得 所以點 G 的坐標為（3+m，-m²-2m+6） 又知 ΔCPB～ ΔBQM ，則 代人線段長可解得 m₃=2，m₄=-3 （舍去），從而可求得點 G（5，-2）

教學建議

建議1：知識梳理，思路探索

二次函數背景下的矩形存在性問題，屬于初中數學重難點，對學生的解題能力要求較高，教學的重點應放在解題的“定理梳理\"和“思路探索\"上.參考上述探究方案，教師可從幾何中矩形的判定定理入手，結合函數知識來引導學生探索該類問題的構建思路方法，形成解題策略.

建議2：實例講解，過程引導

在學生形成二次函數矩形存在性問題的解題策略后，教師可進一步引導學生解題應用，強化理解.教學過程中應注意兩點：一是重點講解解題策略的選取；二是逐步講解推理思路.在指導解題過程中，教師應注意思維引導，讓學生明晰解題推理的“來龍去脈”，從根本上理解解題方法.

建議3：滲透思想，素養提升

解析二次函數背景下的矩形存在性問題的過程中需要運用眾多數學的思想方法，如分類討論、化歸轉化、數形結合、模型構造等.這些思想方法是數學的精華，教學中教師應合理滲透數學思想，引導學生感悟運用數學思想解題的過程，逐步提升學生的數學素養.教師在教學過程中要注意兩點：一是具體闡釋思想內涵；二是直觀呈現數學思想分析的過程.

具體過程：過點M作 MN⊥ 軸，交y 軸于點 N ，如圖6.由（1）知 C（0，3） 可設 M（m，-m²-2m+3），G（x₀，y₀），

綜上可知，點 G 的坐標有兩個，分別為（-4，1）和（5，-2）.

由矩形的對角線相互平分，需

滿足 解得=

所以點 G 的坐標為 （-3+ ，

m，-m²-2m） .又知 ΔCNM～ΔBOC

則 代入線段長可解得

m₁=-1，m₂=0 （舍去），從而可求得點 G

解后總結：上述指導學生解析矩形存在性問題時，采用了“思路分析 $$ 過程構建”的流程，即不直接指導學生構建解題過程，而是結合問題條件先探索解題思路，再解析推導.該教學策略有助于培養學生的解題思路，幫助學生深刻理解解題方法.

寫在最后

教學二次函數背景下的矩形存在性問題時，教師可參考上述流程，注重思路策略講解，結合引例具體化過程，開展解題指導，引導學生應用強化.教師要合理滲透數學思想，使學生積累數學基礎知識與基本思想.