關于數學建模思想的應用探究教學

數學建模思想是一種重要的數學思想方法，該思想要求學生運用數學語言和方法，通過抽象、簡化來構建數學模型解決實際問題.模型構建過程需要學生具備觀察、分析、抽象和轉化的能力.教師可結合實例引導學生梳理總結數學建模思想的應用策略.

建模應用的實例探究

數學建模思想在初中數學中有著廣泛的應用，涉及求幾何圖形面積、情境轉化分析、行程距離分析等實際問題.教學中，教師可引導學生梳理解析思路，掌握數學模型構建策略，并反思解題過程，幫助學生積累學習經驗.

1.建方程，解幾何

利用數學建模思想求解幾何圖形面積，整體思路為：分析幾何圖形，提取幾何特性，建立方程模型推導關鍵條件，最終完成幾何面積求解.

例1如圖1所示，將兩張矩形紙條交叉疊放在一起，使得一組對角的頂點重合．矩形紙條的長為8，寬為3.若重疊部分為四邊形AGCH，則其面積為

思路分析求四邊形AGCH的面積，先分析四邊形性質，再推導其邊長，確定需要構建的面積模型.對于其邊長推導，可借助數學建模思想構建方程求解.

過程構建因為四邊形ABCD，AECF均是矩形，且兩個矩形全等，可推知 CH//AG，AH//CG ，可判斷四邊形AHCG為平行四邊形.

在 ΔADH 和 ΔCFH 中，有 ∠D= ∠F ， ∠AHD=∠CHF，AD=CF ，則ΔADH?ΔCFH（AAS ），可得 AH= CH ，所以四邊形AHCG為菱形，后續可構建菱形面積模型來求解.

設 AH=CH=x ，則可得 DH=CD- CH=8-x ，在 RtΔADH 中，由勾股定理可得 AH²=AD²+DH² ，則 x²=3²+（8-x）² 可解得 所以四邊形AHCG的面積可以表示為S菱形AHCC

解后反思求解四邊形面積關鍵在于推導出CH的長．學生運用數學建模思想，構建線段的代數方程，通過解方程獲得線段長．方程模型在求解幾何問題中十分常見，其構建策略有等面積構建、勾股定理構建、相似比構建等.

2.建幾何，破實際

數學建模思想可以用于解決生活中的實際問題，基本思路為：分析生活實際問題，構建數學模型，通過分析數學模型性質，構建解題思路，將實際問題轉化為數學問題來求解.

例2如圖2（1）所示，兩棵樹的高度分別為 14m 和 2m ，兩棵樹間距為5m. 若一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則需要飛行的直線距離為 m.

思路分析本題目求小鳥飛行距離，將實際問題轉化為數學問題，構建幾何模型，通過分析幾何性質，結合已知條件來推導線段長.整體思路為：理解題意 $$ 建立數學模型 $$ 分析性質求解，

過程構建根據題意繪制圖2（2） 所示的圖形，則 AB=14m，CD=2m. BD=5m ，問題為求解線段A c 的長.

過點 c 作AB的垂線，設垂足為E ，進一步結合題意可知 AB⊥BD CD⊥BD ，所以 AB//CD ，根據平行線的間距相等可得 CE=BD=5m ，同理可得 BE=CD=2m ，則A _1E=AB-CD=12m 利用勾股定理可得A 13m ，從而可確定小鳥需要飛行的直線距離為 13m 業

解后反思求解小鳥飛行距離時運用了數學建模思想，即基于生活問題情境來構建幾何模型，將實際問題轉化為數學問題.建模過程需要關注兩點：一是把握題目中的關鍵位置、距離條件，并將其轉化為幾何中的點和線；二是深度解讀模型，提取特殊圖形，如矩形、直角三角形等.

3.建函數，解行程

運用數學建模思想解決行程與距離問題的基本思路為：借助行程與距離條件，構建函數模型，通過分析計算來求解．建模時需要借助“時間 × 速度 距離\"這一公式，利用待定系數法求函數解析式.

例3周末小明從家里出發步行去公園散步，公園與家的距離為a米，小明的步行速度為50米/分鐘.而小明的哥哥也從家出發去散步，他在到達公園后立即以原速度返回家中，兩人與家的距離y（米）和時間 x （分鐘）的函數關系如圖3所示，試回答下列問題.

（1）a= ；（2）求CD所在直線的解析式；（3）試求小明出發后與哥哥第二次相遇的時間.

思路分析本題目為行程相遇問題，給出了相應的函數關系圖，具體求解時可采用數學建模思想，利用函數模型來分析計算.通過提取關鍵信息，推導直線解析式.

過程構建（1）求 a 的值，根據公式“路程 ：= 速度 × 時間\"求解，由圖象可得 a=12×50=600 （米）.（2）求CD所在直線的解析式，提取關鍵信息，把握其中點C和 D 的坐標，利用待定系數法即可解得.

設哥哥返回家的過程中 y 與 χ_x 之間的函數關系式是 γ=kx+b ，哥哥的單程時間為 （12-6）÷2=3 ，則點 C（9，600） .D（12，0） ，分別將點 c 和點 D 坐標代入解析式中，可解得 則 CD 所在直線解析式為 γ=-200x+2400

（3）該問求兩人第二次相遇的時間，可從函數視角分析，先求出小明的行程函數關系式，再聯立哥哥的行程函數關系式求解時間

設小明從家出發過程中 y 與 Φ_x 之間的函數關系式為 y=k₂x ，由圖可知點A（12，600），將其代入解析式中，可解得 k₂=50 ，則函數關系式為 y=50x 聯立 可解得 _x=9.6 即小明出發后與哥哥第二次相遇的時間為9.6分鐘.

解后反思上述解析行程與距離問題時運用數學建模思想構建函數解析式，利用函數關系來分析計算求解.該類問題的建模思路為“解讀條件，提取關鍵點 $$ 分析函數關系，推導解析式 $$ 利用函數解析式，計算求解”．求解時考慮到實際問題具有限定條件，需關注函數解析式的變量取值范圍.

4.建不等式，算利潤

運用數學建模思想解決利潤問題的常見方法是建立不等式．構建不等式后，有兩種思路：一是利用不等式性質來分析最值，計算最大利潤；二是解不等式組，分析最佳方案.

例4某商店銷售1臺A型電腦和2臺B型電腦的利潤共1000元，銷售2臺A型電腦和1臺B型電腦的利潤共1100元.

（1）求A型電腦和B型電腦的每 臺銷售利潤.

（2）該商店計劃一次購進兩種型號的電腦共100臺，其中B型電腦的進貨量不少于A型電腦進貨量的 ，設購進A型電腦 m 臺，這100臺電腦的銷售總利潤為P元.

① 求P關于 m 的函數關系式；

② 該商店購進A型電腦、B型電腦各多少臺，才能使銷售總利潤最大，最大總利潤是多少？

思路分析本題目是與利潤相關的問題，可采用數學建模思想來求解，通過引入不等式，解不等式來做出判斷.

過程構建（1）簡答，可求得每臺A型電腦利潤400元，每臺B型電腦利潤300元.

（2）該問分兩小問，分別求解.

① 根據題意可得 P=400m+300

（ 100-m， ，則 P=30000+100m

② 求解最大總利潤，可知 100-""，則""，分析可知當 m=57 時， P_ΠR=30000+100×57= 35700元），即最大總利潤是35700元.

解后反思利用數學建模思想分析利潤問題時需要注意兩點：一是理解利潤問題中的數量關系，構建不等式或不等式組；二是解讀不等式組，建立利潤與不等式的聯系.

建模應用的教學思考

1.解讀數學建模，把握思想內涵

數學建模思想是初中數學的重要思想方法，在解題中應用廣泛.數學建模思想教學應分兩個階段進行：第一階段，結合思想內容具體解讀，使學生明晰該思想的基本策略，即通過抽象、簡化來構建數學模型；第二階段，數學建模思想結合具體問題來解讀，如構建方程模型解決幾何問題，構建幾何模型解決實際問題，構建函數模型解決行程問題等.

2.探索構建過程，指導破題思路

探索數學建模思想的構建過程，指導學生掌握模型構建思路是十分必要的．整個過程教師可分步進行：第一步，思考模型構建思路；第二步，結合具體問題分析；第三步，探索策略完成解析.教學時教師要注意啟發學生思考，讓學生充分感知建模過程，必要時可以采用設問引導的方式.問題設計注意有啟發性，引導學生逐步切入主題，讓學生充分思考，探究構建模型，掌握模型策略.

3.開展解后反思，總結思路方法

解題后進行反思是提升學生思維能力的重要方式，完成解題探究后，教師引導學生反思整個解題過程，總結解題方法.學生可從以下三個視角進行反思：視角一，問題探究的本質，挖掘關鍵信息，體會轉化思路；視角二，數學建模思想構建的具體過程，如構建方程模型推導菱形邊長，構建函數模型計算相遇時間等；視角三，問題分析的技巧方法，如平行線性質、不等式構建等，幫助學生積累經驗.

4.適度拓展探究，促進思想升華

在數學建模思想的應用探究中，教師應注意適度拓展，引導學生思考該模型的其他應用情景，如三角函數問題、拋物線問題等，發展學生的應用思維.教師可從三個方面設置探究問題：一是拓展問題情境，精設問題，突出數學建模思想；二是拓展數學建模方法，包括局部建模、整體建模等；三是經歷解析過程，注重方法綜合，如與分類討論、數形結合、化歸轉化等思想結合構建解題思路，促進學生思想升華.

寫在最后

數學建模思想是學生在中學階段需要重點掌握的思想之一，教學中教師要指導學生明晰其思想內涵與構建方案.上述總結的四種數學模型，涉及構建方程模型、構建幾何模型、構建函數模型、構建不等式模型，知識內容十分豐富.具體教學中，教師可采用探究式教學法，讓學生自主分析思考，以提升學生思維能力.