促進深度學習的初中數學跨學科主題學習

初中數學跨學科主題學習是以問題解決為導向，圍繞特定主題，整合數學與其他學科的知識與思想方法，讓學生從數學的角度解決社會生活以及科學技術中遇到的現實問題，感受數學與科學、技術、經濟、金融、地理、藝術等學科領域的融合，積累數學活動經驗，體會數學的科學價值，提高發現與提出問題、分析與解決問題的能力，發展應用意識、創新意識、實踐能力的一種主題式學習形式.

一次函數可以用來描述現實世界運動變化現象中變量間的線性關系．例如，速度與時間：如果一個物體以恒定速度移動，它所行進的距離 （y） 與時間 （x） 的關系可以用一次函數表示；價格與數量：在某些情況下，商品的總價 （y） 與購買的數量 （x） 成正比；收入與工作時間：如果工資是按小時計算的，那么總收入 （y） 與工作的小時數 （x） 之間的關系是線性的；溫度變化：在一定條件下，物體的溫度 （y） 與時間 （x） 的關系可以是線性的，例如在加熱或冷卻過程中；人口變化：在某些情況下，人口（y） 與時間 （x） 的關系可以近似為線性，尤其是在短期內；金融投資：在某些投資情況下，如固定利率的存款，投資的收益 （y） 與時間 （x） 之間的關系是線性的；物理中的力與位移：在某些物理實驗中，作用在物體上的力 （y） 與物體的位移 （x） 之間的關系可能是線性的；化學反應：在某些化學反應的初期，反應速率 （y） 與反應物的濃度 （x） 之間的關系可能是線性的，等等.實際上，一次函數適用于任何兩個變量間存在直接比例關系的情形.

汽車行駛途中涉及的數量關系比較復雜，經學生討論，選出學生都有熟知的三個問題進行討論：第一，已知公交車在每兩個站臺間行駛需要花費5分鐘時間，請問從起點開始到接下來的第一個至第十個站臺分別需要花費多少時間？第二，汽車以60km/h 的速度勻速行駛，行駛路程skm ，行駛時間 ，那么路程與時間的關系是怎樣的？第三，探究油箱中的油量 y （單位：L）與行駛路程 x （單位： km 的關系.每一個學習小組選擇1至2個問題進行深入探討，利用平面直角坐標系直觀地畫出表示兩個變量關系的圖象，并說明理由．組間交流之后，學生在不考慮自變量取值范圍的前提下，用平滑的線將這些點連接起來．兩端無限延長得到的圖象都是一條直線，通過觀察圖象特征，學生揭示了一次函數的相關性質.在上述學習中，學生經歷了用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界的過程.

教材分析

一次函數是人教版八年級下冊第十九章的內容，書中原文為“一次函數 y=kx+b（k，b 為常數， k≠0 的圖象也是一條直線，我們稱它為直線y=kx+b^′ .在章節復習知識結構圖（如圖1）中，“圖象：一條直線”幾個大字，赫然醒目.在很多課堂教學案例中也經常發現，在一次函數的新授課或在章節復習課中，每當教師教學到一次函數的圖象時，都會直截了當地將它總結歸納為“一次函數的圖象是一條直線\"或者“圖象為一條直線的函數是一次函數”.學生在口答一次函數的圖象時也是脫口而出“一條直線”.一次函數的圖象一定是一條直線嗎？“一次函數”與“一條直線\"是一一對應的關系嗎？

人教版“一次函數\"整章包括三節內容：第一節是基礎內容，學習函數概念和函數圖象的畫法，歸納函數的三種表示方式；第二節是重點內容，先學習簡單的正比例函數及其圖象和性質，再學習一次函數及其圖象和性質;第三節是一次函數的拓展應用，用一次函數的知識解決實際問題.其中，第二節內容從真實情境問題出發，先引導學生列出函數解析式，根據函數的解析式給出一次函數的定義，再畫一次函數圖象，通過觀察圖象歸納出一次函數的性質.

教學舉例

函數的學習源于實際問題，因此得到的解析式也應有實際情境作為支撐．在課堂上，當要求學生繪制這些函數的圖象時，他們可能會畫出由幾個點組成的線段、射線當然，也可能有學生畫出直線.在學生進行小組討論時，如何解釋這些現象呢？是否存在解析式為一次函數，但其函數圖象并非直線的情況呢？確實存在這樣的情況，以汽車行駛的實際情境為例，繪制出的圖象可能是點、線段、射線或直線.

例1已知公交車在每兩個站臺間行駛需要花費5分鐘時間，請列舉從起點開始到接下來的第一個至第十個站臺分別需要花費多少時間.

在實例中，每兩個站臺之間所花費的時間5分鐘是常量，公交車到站臺的時間會隨著站臺的位置（第幾個）的變化而變化，并且到達一個站臺的時間與這個站臺的位置（第幾個）是單值對應的關系，它是函數的實例．但是，在繪制圖象時，我們發現站臺的位置只能抽象成一個個獨立的點．雖然這些點看似在一條直線上，但這些點之間是不相連的，顯然其圖象只能是由幾個點組成的（如圖2所示）

例2汽車以 60km/h 的速度均速行駛，分析行駛路程 s （單位： km ）與行駛時間t（單位：h）的關系.

這些點就可以用一條射線來表示（參見圖3）.

在實例中，由于汽車是勻速行駛，速度 60kmλ 是常量，行駛路程 s （單位： km 會隨著行駛時間 Ψ_t （單位：h）的變化而變化，即 s=60t ，行駛路程與行駛時間之間是單值對應關系，所以它是函數的實例.在繪制圖象時，由于行駛時間是連續變化的，我們可以在有意義的范圍內選取盡可能多的對應值，在坐標系中描繪出點的位置．只要這些點滿足實際意義，即時間大于或等于0且沒有上限（在不考慮汽車耗油量的情況下），那么

例3汽車油箱中有 50mL 油.如果不再加油，那么油箱中的油量 y （單位： mL 隨著行駛路程x（單位： km ））的增加而減少，耗油量為 10mL/km.

在實例中，油箱原有的50L油和耗油量 10mL/km 均是常量，油箱中的油量y（單位： mL 隨著行駛路程 x （單位： km ）的增加而減少，即 y=50- 10x ，油箱中的油量與行駛路程之間是單值對應關系，它是函數的實例．但由于汽車油量是有限的，因此行駛路程也是有限的，也就是說 x 要滿足 0?x?5 ．在有限的行駛范圍內，連續的點組成了一條線段，所以畫出來的圖象就是一條線段（如圖4所示）.

例4不考慮以上實際背景，畫出3個實例的函數圖象.

此時因為不再考慮自變量的意義，所以自變量可以取任意實數，在范圍的前提下，一次函數的圖象一定是一條直線．從三個式子的共同特征歸納得到一次函數的定義、一般形式、圖象與性質，學生不僅能夠理解一次函數的概念和性質，還能夠體會到數學知識在現實生活中的應用價值，從而提高他們學習數學的興趣.

坐標系中描出幾個點之后，用平滑的線將這些點連接起來，向兩端無限延長，畫出來的函數圖象為一條直線（如圖5所示）

對于實例1，可以解釋從起點開始到接下來的第一個至第十個站臺分別需要花費的時間就是這條直線上 x 取整數時對應的y值，說明相應的時間y（單位： min 與第 Φ_x 個站臺的關系式是 y=5x ，實例2中的行駛路程s （單位： km ）與行駛時間t（單位：h）的關系式是 s=60t ，在這個實際問題中，t的取值范圍是 t≥0 ，因此圖象是在第一象限內的一條射線（包括原點）.實例3中的油量 y （單位： mL ）隨行駛路程 （單位： km ）的增加而減少，即 y=50-10x ，因為油箱加滿有上限，行駛時油量逐漸減少，行駛路程逐漸增加，直到油全部消耗完，因此圖象是直線在第一象限內的一條線段（包括正半軸上的端點）.以上實例充分說明了在不考慮自變量取值

1.教學設計緊扣學生學情

教學感想

如果教師在課程開始時就要求學生繪制一次函數圖象，那么對于那些尚未完全理解一次函數概念的學生來說，可能會一頭霧水，這不利于他們的學習.實際上，圖形是直觀展示變量關系的最佳方式.通過研究函數圖象，不僅可以歸納出函數的性質，還可以從“形\"的角度出發，結合“數\"的運算，通過觀察解析式的特征，歸納出一次函數的定義.

因此在教授一次函數時，應從引導學生繪制函數圖象入手.這與人教版教材的編排順序是一致的.盡管教材將這兩部分內容分布在不同的章節，導致許多人誤以為應該按照教材的結構來學習一次函數，即先從解析式分類中得出定義，然后繪制圖象，最后學習一次函數的性質.實際上，學生更容易理解的是圖象.無論教師在概念上如何細致地分解，都不如圖象的直觀展示更具說服力，也更容易被學生接受和理解．教材在第二節一次函數的編排中要求學生再次繪制一次函數圖象，實際上是為了讓學生綜合運用已學知識“兩點確定一條直線”.

2.問題設計平衡難度與相關性

問題設計是課堂的靈魂，既要有挑戰性，又要能引發學生的興趣教師應聯系學生的興趣和生活經驗設計從簡單到復雜的問題，逐步增加難度，鼓勵學生思考多種解決方案，并討論每種方案的優缺點．讓學生通過實驗和探索來發現問題的答案，而不是直接告訴他們答案.學生在小組合作中解決問題，不僅是思維的碰撞，還能培養團隊合作精神.

在學生小組合作交流的過程中，教師應適時提供反饋，幫助學生認識到自己的進步和需要改進之處，在課程的初期，重點應放在積極引導上，避免過多使用反面例子.例如，圖象為直線的函數并不總是線性函數.常值函數 y=1 （其中 r 為任意實數）的圖象同樣是一條直線.盡管在函數新課程中不宜過早引入常量作為特殊變量的概念，但在教學過程中，教師仍需注意語言的精確性，切勿造成概念上的混淆.

3.教學過程落實深度學習

淺層學習只能看到事物表面表現出來的東西.《義務教育課程方案（2022年版）》明確要求培養學生“樂于提問，敢于質疑，學會在真實情境中發現問題、解決問題，具有探究能力和創新精神”[1]．函數是從實際情境中抽象出最本質的運動變化規律，這在起始課教學中就應該直白地告訴學生，讓他們知道函數的學習就是在探究尋找運動變化的規律．由于學生在小學階段就有找規律的學習基礎，故他們不會對函數感到陌生，只會對它充滿興趣和好奇心，從而深入學習，洞察函數的本質.

對于上述一次函數與直線的關系，是筆者在幾年的教學實踐中逐漸領悟出來的.每次閱讀教材、進行教學，筆者都會有新的發現和理解，這正是自我深度學習的體現．只有不斷地深入研讀教材和實踐教學，教師才能真正理解教材編寫的深層含義，從而更有效地實施教學，為學生答疑解惑.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育課程方案（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.