用代數思維賦能幾何結構化教學

設x計算法，一般是用在代數中，是解決應用題常用的方法，它通過設x （未知數）列方程的方式讓學生正向思考列式，通過解方程求解未知數，便可以解決含未知量的問題．在初中幾何中有一類兩角之間數量關系的問題，也可以運用設x計算法來處理.筆者在遇到一道經典題后受啟發，經過一系列相關習題的實踐后，發現可以設其中一個角為 x ，通過已知條件的相關性質（三角形內角和、角平分線性質、垂直性質、兩角的和與差等等）求出另一個角（用x來表示），從而得出兩角之間的數量關系.這種方法筆者稱為設x計算法.

和∠ACB的角平分線相交于點 P.

（1）若 ∠A=40^° ∠P= ；

（2）若 ∠A=70^° ∠P= ；

（3）求 ∠P 與 ∠A 之間的關系.

價值分析：學生通過小學階段的學習，具備基本的計算能力，因此在做第（1）問時，很多學生不會存在較大的困惑.把解題過程完整地寫出來，有助于學生去發現角之間的數量關系.要解決第（2）問，只需要把第（1）問中的 ∠A 的度數改變即可.

所以 ∠1+ ，所以∠P=180^°-（∠1+∠2）=110^°. （20

（2）因為 ∠A=70^° ，所以 ∠ABC+ ∠ACB=180^°-∠A=110^° ．因為 BP CP 分別平分 ∠ABC 和 ∠ACB ，所以 ， ，所以 55^° ，所以 ∠P=180^°-（∠1+∠2）=125^°.

這是一道經典的三角形中兩內角平分線夾角與第三個角之間關系的題目，三個小問設置由易到難.筆者在教學時，一般會先讓學生思考幾分鐘.若問題中有具體的角的大小，則對學生來說不算很難，反應快的學生能迅速求出 ∠P 的大小.

設x計算法的由來

例題1如圖1，在△ABC中，∠ABC

解 （1）因為 ∠A=40^° ，所以 ∠ABC+ ∠ACB=180^°-∠A=140^° ，因為 BP，CP 分別平分∠ABC和 ∠ACB ，所以 ∠1=

價值分析：設計第（2）問首先可以給予那些在第（1）問上存在困惑的學生一個再次練習的機會．其次，第（2）問還有助于引導學生發現和第（1）問的區別就在于∠A的度數不同.當提出第（3）問時，由于∠A沒有度數了，這對于一部分學生來說就很有難度了．此時教師可以給學生介紹數學上一個重要的思維方法：未知化已知．既然在前面兩問中，我們已知∠A的度數，有度數的我們能求了，現在沒度數了怎么辦呢？在做完前兩問的基礎下，教師可以很自然地引導學生想到去設一個度數，這樣就可以按照相同的方法解決這一問題.

設 ∠A=x ，所以 ∠ABC+∠ACB= 180^°-∠A=180^°-x. 因為 BP，CP 分別平分ABC和 ∠ACB， 所以 （204號 ，所以 ，所以 1x，所以

價值分析：這樣的教學方法在學生思維的過渡上是很自然的，學生容易理解并接受，部分學生會恍然大悟.問題設置由易到難，也體現了特殊到一般的數學思想.除此以外，通過引導學生用字母表示數，也能夠幫助學生更好地研究數量之間的關系，從具體的數字過渡到字母，這對學生來說，是思維上的一個重大轉變，用字母表示數，進而表示數的共同性質、運算性質或法則，揭示一些普遍規律，形式簡單，使用方便.筆者受此題的啟發，產生了一些想法：那么對于這一類沒有具體角度的兩角之間數量關系問題，我們是不是都可以這樣來解呢？設其中一個角為 x 把另外一個角用含 的式子表示，自然得出兩角之間的數量關系.

設 ∠A=x 就是設 計算法的由來，至于為什么是計算法，因為這里的 $| x ＼rrangle$ 其實不是作為一個未知數，而是用x來表示一個角的大小，學生對于求具體角的大小的題目是容易的.這里的 ∣x^′ 體現由特殊到一般，即由具體度數到沒有度數的轉換，解題過程便是求度數的計算過程．學生甚至可以參照本題，先設其中一個角的大小為特殊度數，看看能不能求出另一個角的度數.如果能求出來，把具體度數換成 ，問題就迎刃而解了.

設x計算法的優點

筆者有了想法后，找了一些有關兩角之間的數量關系的題目來驗證，發現設 x 計算法都是可行的，且相較于其他解法優點也很明顯，具體體現在：

1.表述簡潔，降低難度

例題2如圖2，在 ΔABC 中， ∠A= 40^° ，點 D，E 分別在 _AB，AC 上， BD= BC=CE ，連接 _CD，BE 車（1）若 ∠ABC=80^° ，求 ∠BDC ，∠ABE的度數；（2）寫出 ∠BEC 與∠BDC之間的數量關系，并說明理由.

此題為蘇科版八上數學課課練P52頁的第15題.這道題目的第（2）問有多種解法，筆者呈現以下三種解法1設過渡角為 x ，最后消去 x

設 ∠ABE=x ， ∠A=40^° ，所以∠BEC=∠A+∠ABE=40^°+x. 因為BC=CE ，所以 ∠ABC=∠CBE+∠ABE= 40^°+2x ，因為 BD=BC ，所以 ∠BDC= ∠BCD. 因為 ∠BDC+∠BCD+∠ABC= 180^° ，所以 2∠BDC+40^°+2x=180^° ，所以 ∠BDC=70^°-x ，所以 ∠BEC+∠BDC=40^°+x+70^°-x=110^°.

解法2設兩個未知數

設 ∠BEC=x ∠BDC=y ，因為 BC= CE ，所以 ∠CBE=∠BEC=x ，因為 BD= BC 所以 ∠BDC=∠BCD=y. 因為 ∠BEC+ ∠BCA+∠CBE=180^°=2x+∠BCA ，∠BDC+∠ABC+∠BCD=180^°=2y+ ∠ABC，∠A+∠BCA+∠ABC=180^° ∠A=40^° ，所以 2x+2y+∠BCA+∠ABC= 360^° ， ∠BCA+∠ABC=140^° ，所以 2x+ 2y=220^° ，即 ∠BEC+∠BDC=110^°

解法3設 x 計算法

設 ∠BEC=x ，因為 BC=CE ，所以∠BEC=∠CBE=x ，所以 ∠BCE=180^°- ∠BEC-∠CBE=180^°-2x ，因為 ∠A= 40^° ，所以 ∠ABC=180^°-∠A-∠BCE= 2x-40^° ，因為 BD=BC ，所以 ∠BDC= 110^°-x ，所以 ∠BEC+∠BDC=110^°.

將三種解法進行對比，我們不難發現解法3的設 計算法表述簡潔解法1多一個過渡角要消去；解法2多一個未知數，思維要求較高.

此外，解法3設 Φ_x 計算法也使問題難度降低.解法1的難點在于要找到正確的過渡角，解法2設2個未知數，從一個未知數到兩個未知數，增加的難度不是簡單的 1+1=2 ，學生很有可能繞不出來.而且設 計算法與解法1和解法2有本質上的區別：解法1本質上是連同兩個待求角有三個未知數，最后消去一個未知數；解法2本質上是連同兩個待求角有四個未知數，最后消去兩個未知數；設x計算法不需要消元，它就是一個計算過程，其思維難度要小很多.

2.思路清晰，目的明確

例題3如圖3，在△ABC中， ∠ABC=

40^° ， ∠ACB=90^° AE 平分 ∠BAC 交BC 于點 E.P. 是邊 BC 上的動點（不與^B，C 重合），連接 AP ，將 ΔAPC 沿 AP 翻折得 ΔAPD ，連接 CD ，記 ∠BCD=α.

（1）如圖3，當 P 與 E 重合時，求 α 的度數；

（2）當 P 與E不重合時，記 ∠BAD= β ，探究 α 與β的數量關系.

這道題是2022年浙江紹興數學中考第22題，筆者將呈現第（2）問的兩種解法.

解法1如圖4，點 P_? 在線段 BE 上，因為 ∠BCD=α ， ∠ACB=90^° ，所以∠ACD=90^°-α. ，因為 ∠ABC=40^° ，所以 ∠BAC=50^° ，因為 ∠BAD=β ，所以∠CAD=∠BAC+∠BAD=50^°+β. 因為翻折，所以 AC=AD ，所以 ∠ACD= ，所以 所以2α-β=50^°

如圖5，點 P 在線段 CE 上，因為 ∠ACD=90^°-α ， ∠CAD=∠BAC- ∠BAD=50^°-β ，所以 ∠ACD=∠ADC= 所 所以 2α+β=50^°

綜上所述： 2α-β=50^° 或 2α+β= 50^°.

解法2（設 x 計算法，本題已設好 ?α 與 β ，可省去設 x 的步驟）

如圖4，點 P 在線段 BE 上，因為∠BCD=α ， ∠ACB=90^° ，所以 ∠ACD= 90^°-α. 因為翻折，所以 CD⊥AP ，所以∠CAP=90^°-∠ACD=α ，所以 ∠CAD= 2∠CAP=2α. 因為 ∠ABC=40^° ，所以 ∠BAC=90^°-∠ABC=50^° ，所以∠BAD=∠CAD-∠BAC=2α-50^° ，即2α-β=50^°

如圖5，點 P 在線段 CE 上，所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=50^°-2α ，即2α+β=50^°

綜上所述： 2α-β=50^° 或 2α+β= 50^°

解法1的實質是把 ∠ACD 作為一個過渡角，用兩種不同的方法表示，消去 ∠ACD ，從而得到關于 α 與 β 的等式.但從學生的角度來思考：首先考慮2個未知數就是難點，其次找到正確的過渡角也是難點.

解法2思路清晰： ∠BCD=α 作為一個未知數，利用三角形內角和、直角、翻折性質，以及已知條件，通過計算求出另一個角 ∠BAD （用含 的式子表示），從而得到兩角之間的數量關系．全程將問題看作只有一個未知數 α 求解，解題思路簡單粗暴，就是想方設法把另一個角求出來．思路越簡單清晰學生越容易接受，大多數學生更喜歡計算而不是消元.設x計算法本質上是一個計算過程.

再結合第（1）問，其實我們可以發現在點P的整個運動過程中，其實有個等量關系是始終不變的（ ∠CAD= 2α） ，在變化中找不變，若能認識到這一點，本題的難度就會直線下降.

設x計算法思路清晰、目的明確，對學生來說，思路越清晰簡單越好.設一個角為 x 后，剩下的就是把另一個角用含 的式子表達出來，目的明確.

3.承前啟后，發展思維

在小學階段，學生就多采用“算術\"法解決問題，例如由兩三個已知數值直接算出未知的結果.學生在應用設 計算法解決問題時，實質上就是在進行計算，只不過已知數值換成了x.因此，對學生來說，設x計算法還是相對比較容易理解的.

在初中階段，方程思想是初中數學的重要思想之一.在初中數學教學中，如何幫助學生理解并有效運用方程、建立方程，是教師教學的重點．方程思想是數學思想方法中一種重要的思想，其實質是將問題中的文字語言轉為符號語言，培養學生的符號感和數感，借助符號來分析數量關系.方程思想包含：數與符號的統一關系的思想；從其他的知識領域中提取出方程問題的思想.設x計算法從數字到符號的轉換標志著學生從算術思維過渡到方程思維．方程思想具有許多重要作用.第一，方程思想的形成可以使學生將實際問題中的文字語言轉化為數學語言，在運算中尋找等量關系，建立方程解決實際問題.第二，方程與函數靠量與量之間的數量關系連接，數量關系是連接數學與實際生活的橋梁．第三，方程與函數緊密相連，學生對方程思想理解程度越深，就越容易理解方程中的函數關系，并運用數量關系求解函數.方程思想的培養無論是對學生今后的數學學習，還是思維的發展，都起到了至關重要的作用.

史炳星認為在算術向方程過渡的階段，教師幫助初中學生理解符號的內涵以及符號之間的運算，對培養他們方程思想是十分有益的.教師在課堂教學中，通過引導學生運用設 計算法解決問題，不僅便于學生理解與掌握方程思想，還能讓學生感受在計算中用字母表示數的優勢.學生在經歷從具體、已知的數過渡到抽象、未知的數的過程中，擺脫了算術方法的局限，實現了從算術思維向方程思維的進階