高中數學三角函數解題策略及實踐應用

三角函數作為高中數學的重要組成部分，不僅在理論層面具有重要地位，更在實際應用中發揮著不可替代的作用.在測量高樓的高度、計算函數取值范圍問題、解決復雜的幾何題目等方面，三角函數都能提供有效的解題方法和策略.本文旨在通過詳細講解三角函數的基本概念、性質及應用，結合具體例題，幫助學生掌握三角函數解題技巧，提高解決實際問題的能力.

1 三角函數簡介

三角函數包括正弦函數(sin）、余弦函數(cos)和正切函數(tan)，它們可以描述直角三角形中各個角的關系.在直角三角形中，正弦函數表示對邊與斜邊的比值，余弦函數表示鄰邊與斜邊的比值，正切函數表示對邊與鄰邊的比值.這些函數在解決與角度、距離和高度相關的問題時具有廣泛應用

2 三角函數的應用策略

2.1 測量高樓高度

例1如圖1所示，兩建筑物的水平距離為 a 米，從 A 點測得 D 點的俯角為 α ，測得 C 點的俯角為β. 求較低建筑 CD 的高度.

分析作 AE//BD 交 DC 的延長線于點 E ，構造直角三角形，如圖2所示.用含 BD 的式子表示出_DE，CE ，即可得出答案.

詳解作 AE//BD 交 DC 的延長線于點 E ，因為 ∠DAE=α ∠CAE=β

AE=BD=a ，

（204號

所以 AE，tanβ 5

所以 DE=a tana， CE=atanβ

所以 CD=DE-CE=a (tana-tanβ).

2.2計算函數取值范圍問題

例2在 ΔABC 中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 _{a，b，c} .已知 acosC+ccosA=2bcosA 業（1）求角 A 的值；（2）求 sinB+sinC 的取值范圍.

解析（1）因為 acosC+ccosA=2bcosA

所以 sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA

即 sin(A+C)=2sinBcosA

因為 A+B+C=π ，

所以 sin(A+C)=sinB ，

得 sinB=2sinBcosA

因為 sinB≠0 ，

所以 中

又因為 0

所以 ·

因為 （

所以 （20·

所以 sinB+sinC 的取值范圍為

2.3 解決幾何問題

例3在 ΔABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別是 _{a，b，c} ，且 （1）求sin2A+C 的值；(2）若 b=2 ，求 ΔABC 面積的最大值.

分析（1）根據余弦定理求出cosB，再根據二倍角公式化簡，代入即可求解；（2）根據余弦定理結合基本不等式得出 ，再根據三角形面積公式即可求解.

解析 (1)在 ΔABC 中，由余弦定理可得 所以

即

（2）由 得 又因為 0所以 所以S△ABC 故 ΔABC 面積的最大值為

3實踐應用中的注意事項

（1）準確測量.在應用三角函數解決實際問題時，需要確保測量的角度和距離準確無誤.任何微小的誤差都可能導致最終結果出現較大偏差.(2）合理選擇函數.根據問題的具體條件，合理選擇適用的三角函數.例如，在測量高樓高度時，通常選擇正切函數；在解決幾何題目時，正弦定理和余弦定理都是常用的工具.（3）靈活運用公式.三角函數公式繁多且復雜，需要熟練掌握并靈活運用.在解題過程中，要注意公式的變形和推導，以便更好地解決問題，

4結語

三角函數在高中數學中占據著舉足輕重的地位，其應用廣泛且實用.通過本文的介紹和例題展示，學生能夠在了解三角函數的基本概念、性質及應用策略的同時，掌握解決實際問題的方法和技巧.希望學生能夠認真學習三角函數的相關知識，不斷提高數學運用能力，為未來的學習和工作打下堅實的基礎.

參考文獻：

[1冉錦超.SOLO分類理論在高中三角函數解題策略中的應用研究[D].延安：延安大學，2024.

[2]陳思.基于數學建模素養培養的單元教學設計研究[D]洛陽：洛陽師范學院，2024.