換元法在函數值域問題中的應用

1引言

在高中數學的函數學習中，值域問題是重要內容.函數形式多樣，直接求解值域常常遇到困難，而換元法可以提供有效解決途徑.它能巧妙轉化函數，使復雜問題簡單化，有效提升解題效率.本文通過實例分析換元法在不同函數值域問題中的應用.

2分式函數值域問題

分式函數是高中數學中常見的函數類型，其形式通常為 Q），其中P（x）和Q（x）是多項式函數（較常見的為一次函數或二次函數）.直接求解分式函數的值域往往較為復雜，換元法通過引入中間變量，將分式函數轉化為更簡單的形式，從而簡化問題.

例1求函數 的值域.

解析 令 t=x+1（t≠0） ，

則 x=t-1 .

故 2x-3=2（t-1）-3=2t-5

所以 ，從而函數 f（x） 的值域為 （-∞，2）∪（2，+∞）

例2求函數 的值域.

解析 令 t=2x+1（t≠0） ，

則

故

從而 當 Ω_tgt;0 時，由基本不等式可知

此時 當 Ω_tlt;Ω₀ 時，由基本不等式可知

（20所以 ，此時 業故函數 f（x） 的值域為 （-∞，-1]∪[2，+∞）

點評本題換元后將原函數化為可利用基本不等式求解的形式.通過對 Ψ_t 正負情況進行分類討論，并結合基本不等式得出最值，從而求出函數值域.

3根式函數值域問題

根式函數是高中數學中的另一類常見函數，其常見形式為 或 f（x）= .根式函數的值域問題通常需要考慮被開方數的非負性以及函數的單調性.換元法通過引入中間變量，消去根號，將含根式的函數轉化為不含根式的函數.

例3求函數 的值域.

解析令 ，則

故 于是，以當 t=1 時， f（x） 取最大值3，此時 .解得 x=1 ：因此，當 x=1 時， f（x） 取最大值3，故函數f（x） 的值域為 （-∞，3] 元

點評本題的函數表達式含有一個根式，且根式下的表達式為一次函數，于是令 即可消去根式，轉化為二次函數值域問題.

例4設 ，求 f（x） 的值域.

解析 因為 且

故可令

則 ，

于是

因為

故

于是

所以 ，即函數的值域為[1，2].

點評本題的函數表達式含有兩個根式，根據兩個根式平方和為1的特點，巧妙利用三角函數進行換元，從而將根式函數轉化為三角函數，再利用三角函數的有界性和三角恒等變換公式求值域．這一方法稱為三角換元法，可以有效解決雙根式函數值域問題.

4三角函數值域問題

三角函數的值域問題通常需要考慮三角函數的周期性和有界性.換元法通過引入中間變量，結合三角恒等變換公式，將復雜的三角函數轉化為較為簡單的函數，從而使問題易于解決.

例5求 f（x）=sinx+cosx+2sinxcosx 的值域.

解析 令 t=sinx+cosx

則

所以

因為 2

=sin²x+2sinxcosx+cos²x=1+2sinxcosx

所以 2sinxcosx=t²-1 ，

所以

因此 f（x） 的最小值為 ，

最大值為

故 f（x） 的值域為

點評此例換元后結合三角恒等變換公式，將原三角函數式轉化為二次函數.利用二次函數在給定區間[- 上的單調性求值域，體現換元法在不同函數類型間轉化的靈活性.

5 結語

綜上，換元法在函數值域問題中應用廣泛.對分式、根式、三角函數等不同類型函數，通過合理換元可突破復雜結構限制，轉化為熟悉函數，從而有利于求解值域.采用換元法求值域，需觀察函數特征，選擇合適的換元方式，并結合其他數學知識如不等式、二次函數的性質、三角函數的性質等，這對學生對知識的融會貫通和解題能力的提升有很大幫助.

參考文獻：

[1]梁茸茸.換元法在高中數學解題中的應用技巧[J].數學學習與研究，2023（31）：110-112.

[2]陳鈣.如何用換元法求三類函數的值域[J].語數外學習（高中版中旬），2022（9）：53-54.