妙用仿射變換，化橢圓為圓

橢圓作為高中數(shù)學(xué)圓錐曲線部分的重要內(nèi)容，因其抽象的圖形和復(fù)雜的運(yùn)算，常常成為許多學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)之一.在處理橢圓問(wèn)題時(shí)，僅僅依賴機(jī)械運(yùn)算往往無(wú)法取得理想效果，應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)“少算多思”，以合適的數(shù)學(xué)視角去分析和轉(zhuǎn)化已知條件與所求目標(biāo).正如數(shù)學(xué)教育家波利亞所言：“完善的數(shù)學(xué)思想方法猶如啟明星，引導(dǎo)人們找到正確的道路.”橢圓與圓之間存在內(nèi)在相似性，提供了運(yùn)用“轉(zhuǎn)化與化歸”數(shù)學(xué)思想的契機(jī).

保持平面中點(diǎn)組的平直性（變換后直線依然是直線）和平行性（點(diǎn)組的相對(duì)位置關(guān)系不變）的可逆映射被統(tǒng)稱為仿射變換，且仿射變換中蘊(yùn)含著深刻的矩陣思想.早在學(xué)習(xí)三角函數(shù)圖象時(shí)，學(xué)生便通過(guò)正余弦函數(shù)的伸縮變換初步體會(huì)到了坐標(biāo)變換的奧妙，如平移、縮放和旋轉(zhuǎn)等變換都是學(xué)生所熟悉的典型仿射變換.因此，在學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)上，教師通過(guò)合理地組織教學(xué)內(nèi)容并引入相關(guān)概念，就能幫助學(xué)生突破“見樹不見林”的局限，豐富橢圓的相關(guān)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，從而在面對(duì)復(fù)雜的橢圓問(wèn)題時(shí)不會(huì)束手無(wú)策.

設(shè)橢圓 C ，作仿射變換 則可得到單位圓 C^′:x^′2+y^′2=1 ，且保

持如下性質(zhì)不變：

① 直線與橢圓的位置關(guān)系不變（相切、相交、相

離）；

，直線變換前后的斜率 比不變；

，線段變換前后的 長(zhǎng)度比不變；

，圖形變換前后的 面積比不變.

1 定值定點(diǎn)問(wèn)題

例1（2022新高考 I 真題)已知直線 ξ_l 與橢圓 在第一象限交于 A，B 兩點(diǎn)， ξ_l 與 x，y 軸分別交于 M，N 兩點(diǎn)，且 ∣MA∣=∣NB∣，∣MN∣= ，求 ξ_l 的方程解析式.

解作仿射變換 則橢圓變

為圓：

令 A，B，M，N 在該變換下對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為 A^′ ，B^′，M^′，N^′ ，

取 A^′B^′ 的中點(diǎn) C^′ ，連接 OC^′ ，如圖1所示.

由垂徑定理可知 A^′C^′=B^′C^′ ，且 OC^′⊥A^′B^′

又 |MA|=|NB| ，根據(jù)仿射變換的不變性可 知 ∣M^′A^′∣=∣N^′B^′∣

故 M^′C^′=N^′C^′ ，因此 RtΔOM^′N^′ 為等腰直角三角形.

則 又 ，則 所以 由此可得 N(0，2)

故直線 ξ_l 的方程為： （2號(hào)

評(píng)析本題主要考查了橢圓與直線相交弦長(zhǎng)的問(wèn)題，由題干中所給的長(zhǎng)度相等不難聯(lián)想到圓中垂徑定理的有關(guān)性質(zhì)，于是利用仿射變換，將圖象規(guī)則化，在直角三角形中解決，可以極大地簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程.

2 三角形面積的問(wèn)題

例2（2024新高考 I 真題）已知 A(0，3) 和 ，橢圓 c 上兩點(diǎn).

（1）求 c 的離 ∴ 率；(2）若過(guò)點(diǎn) P 的直線 ξ_l 交 c 于另一點(diǎn) B ，且

ΔABP 的面積為9，求 ξ_l 的方程.解 （2）作仿射變換 φ 則橢圓 c 變?yōu)閳A C^′:x^′2+y^′2=1 不妨設(shè) A，B，P 在該變換下的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為

A^′，B^′，P^′ ，則

所以 可得直線 A^′P^′ 的解析式為 （20又點(diǎn) B^′ 在圓 C^′:x^′2+y^′2=1 上，不妨設(shè) B^′(cosθ，sinθ) ，由點(diǎn) A^′ 到直線 B^′P^′ 的距離等于三角形該邊上的高可知： 即 解之可得 或 所以 B^′(0，-1) 或 即 B(0，-3) 或 則對(duì)應(yīng)斜率分別為： 故直線 ξ_l 的方程為： l₁:3x-2y=6 或 l₂:x-2y =0

評(píng)析此題常規(guī)方法是設(shè)出直線 PB 的方程或直接設(shè)出 B 點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)三角形面積為定值與橢圓方程建立等式進(jìn)行運(yùn)算，但整個(gè)過(guò)程較為煩瑣.而仿射變換通過(guò)化橢為圓，利用三角換元簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程.

3結(jié)語(yǔ)

“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同.”正因?yàn)閳A錐曲線的波謫云詭，才造就了其獨(dú)一無(wú)二的數(shù)學(xué)之美.不論是橢圓，還是雙曲線、拋物線，只要善于抓住題干中的基本要素，再?gòu)摹稗D(zhuǎn)化與化歸”等角度分析問(wèn)題，難題就能夠迎刃而解.