平面向量數(shù)量積問題的常規(guī)解法分析

1基底法

基底法主要是選擇一對(duì)已知夾角和模長(zhǎng)的向量作為基底向量，根據(jù)矢量原則將問題所求轉(zhuǎn)化為基底向量相關(guān)的表達(dá)式，進(jìn)而運(yùn)算求解的一種方法.這種方法適用于已知邊長(zhǎng)和角度的向量數(shù)量積問題，具體解答步驟為： ① 根據(jù)所給條件，找出一對(duì)已知夾角大小和模長(zhǎng)的向量作為基底向量； ② 結(jié)合向量的矢量原則，用基底向量表示問題所求向量，得到具體的表達(dá)式； ③ 代入具體值，運(yùn)算求解得出最終答案.

例1在 ΔABC 中， ∠A=60^°，AB=3，AC=2 .點(diǎn) D 是 AC 的中點(diǎn)，點(diǎn) E 在 ?AB 邊上，且 BD與 CE 交于點(diǎn) M ，點(diǎn) N 是 BC 中點(diǎn)，求 業(yè)

剖析問題已知模長(zhǎng)和夾角角度大小的線段有 AB，AC ，首先考慮將 作為基底向量，其次根據(jù)向量的矢量性，將問題所求 用基底向量進(jìn)行表示，得到相關(guān)表達(dá)式后代入具體值，即可求得數(shù)量積大小.

解取 CE 的中點(diǎn) F ，連接 DF ，易得

因?yàn)? ，

所以

所以 0

即

因?yàn)? ，

所以

因?yàn)? ，

2投影法

投影法具體是指根據(jù)向量在另一向量上的投影大小，借助線段之間的幾何關(guān)系，從而對(duì)數(shù)量積問題做出解答.投影法適用于存在幾何關(guān)系的向量數(shù)量積問題，具體解題步驟為： ① 憑借已知條件構(gòu)造問題所求向量的投影； ② 根據(jù)投影構(gòu)造幾何關(guān)系，結(jié)合直角、等腰等幾何性質(zhì)求出數(shù)量積相關(guān)值，再代入表達(dá)式中求出具體值.

例2如圖1所示，在 ΔABC 中， AD⊥AB ， ， ，求

剖析由于給出一些幾何關(guān)系的條件，可考慮運(yùn)用投影法解題.首先在 方向找到 投影的線段 AE ，結(jié)合已知的邊長(zhǎng)和角度構(gòu)造三角形，求出線段 AE 的具體值，即可將數(shù)量積問題轉(zhuǎn)化為線段

AD . AE 的乘積問題，最終求出具體值.

解過點(diǎn) C 作 CE⊥AD 交 AD 延長(zhǎng)線為點(diǎn) E ， 在 方向上投影線段為 AE ，因?yàn)?AD⊥AB ，所以 RtΔABD～RtΔED ，因?yàn)? ，所以 故

3坐標(biāo)法

坐標(biāo)法通過建立直角坐標(biāo)系，將向量用具體坐標(biāo)形式表示，并根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算求出問題所求向量數(shù)量積.坐標(biāo)法適用于大多數(shù)平面向量數(shù)量積問題，具體解題步驟為： ① 根據(jù)已知條件建立直角坐標(biāo)系，并將所求向量具體坐標(biāo)化； ② 憑借坐標(biāo)運(yùn)算出問題所求的向量數(shù)量積大小即可.

例3在 RtΔAOB 中， ∠AOB=90^° OA=2 ，OB=3 若 _AD 與 BC 交于點(diǎn) M ，則 ·

剖析首先根據(jù)已知條件建立直角坐標(biāo)系，分別得到 O，M，A，B 的點(diǎn)的具體坐標(biāo)，使所求數(shù)量積的向量坐標(biāo)化，其次根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)則求出 的乘積大小，即可對(duì)問題做出解答.

解以 為 x，y 軸正方向建立直角坐標(biāo)系，如圖2所示.

則 O(0，0) ， A(2，0) ，

直線 BC 方程為： 0

直線 AD 方程為：

聯(lián)立 BC 和 AD 的直線方程可得點(diǎn)

所以

，

所以O(shè)M （2

4結(jié)語

求數(shù)量積問題作為高中數(shù)學(xué)常考的一類問題，運(yùn)用基底法、投影法、坐標(biāo)法能夠做出有效解答.不同方法對(duì)應(yīng)的解題思路和步驟各不相同，掌握更全面的解題方法有助于學(xué)生解答不同形式的數(shù)量積問題，有助于學(xué)生快速采取正確合理的思路解答問題.通過對(duì)上述例題的分析，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)針對(duì)不同的問題，靈活解答，以此提高解題的效率.

參考文獻(xiàn)：

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[2]于道洋，寧連華.對(duì)平面向量教學(xué)的深度思考[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2021，60(7):29—30.