關于一個橢圓焦點弦問題的感想

1問題的起源、背景

在教學過程中，筆者發現很多學生在解決焦點弦問題時用時很長，并且計算出錯的概率很大，所以就思考有沒有公式可以讓學生快速解決.

圓錐曲線是高考數學中的重難點，而焦點弦又是圓錐曲線的重要組成部分.對焦點弦的研究，有助于教師平時的教學，提高課堂效率.在探討焦點弦問題時，往往采用一般到特殊的方法，讓學生能夠有直觀的思路，充分地理解焦點弦的解題原理.下面以一道例題淺談橢圓焦點弦問題與大家交流.

2 例題講解

例1過橢圓 的右焦點 F 的直線 ξ_l ， 與橢圓相交于 A，B 兩點，直線 ξ_l 的傾斜角為 60^° ，求 ∣AB∣ 的長.

分析由于已知橢圓的標準方程，可知焦點坐標，知道了直線的傾斜角和直線所經過的一點坐標，可以用點斜式設出直線的方程.通過聯立直線與橢圓方程建立方程組.思路1，直接求出點的坐標，利用兩點之間的距離公式，求出弦長；思路2，利用韋達定理和弦長公式求出弦長.本題主要是以思路2作為解答的方向.

解由題意可知：點 F（1，0） ，直線 ξ_l 的斜率為 ，

則直線 ξ_l 的方程為： · （2

聯立方程

整理得到： 7x²-12x+4=0 ，

利用根與系數的關系：x1+x=，x1χ2=

利用弦長公式：

可求得：

解題小技巧 由 代入弦長公式 ，可以得到： 這樣計算的難度會降低很多.

3追根溯源，展示原理

可以將這道題改編成一般情況進行證明，得出結論，能夠達到秒解的效果.

例2過橢圓 的右焦點 F ，且傾斜角為 α 的直線 ξ_l 與橢圓相交于 A，B 兩點，求 ∣AB∣ 的長.

解當 α≠90^° 時，直線 ξ_l 的方程可以寫為： y=

k（x-c）（k=tanα） 聯立 化簡為 （k²a²+b²）x²-2k²a²cx+k²a²c²-

a²b²=0 ，Δ=4k⁴a⁴c²-4（k²a²+b²）（k²a²c²-a²b²）

化簡為 Δ=4（k²+1）a²b⁴ · 可以得到：|AB|=2（k2+1）ab2k2a2+62，由于這個公式太過于復雜，現將 k=tanα 代人 中， （注意這個弦長公式的分子就是橢圓的通徑，記住這個公式后，也把橢圓的通徑記住了，一舉兩得）.當 α=90^° ，就是橢圓的通徑，滿足上式.在課堂上，教師可以引導學生思考如果過橢圓的是左焦點 F （或者是焦點在 軸上），是否同樣能得到上面的結論.很顯然得到的結論是一致的.通過上述的證明，可以得到橢圓焦點弦的公式262 ，這樣利用這個公式，再來解決最開始的例題就容易多了.

4結語

涉及圓錐曲線的問題，普遍題型的計算量比較大，如何減少計算量，優化解題技巧，提高運算速度和準確度，對學生提高成績大有幫助.同時，筆者在教學過程中發現：很多時候學生會花大量的時間和精力去重復做同一類型的題，這樣導致學生的時間不夠用，學習效率不高.針對這種情況，如何優化平時的教學，成為教師應該思考的問題.所以在平時的備課中，教師可以將同一類型的題進行數學建模，當學生遇到這一類型的題時能夠更加快而準地進行解答，節省更多的時間.

新高考標準要求學生充分理解教材，對基本的知識點能夠快速解決，這就需要教師平時在做題時要及時歸納總結，讓學生在縱向思考中，激活數學思維.同時，新高考要求學生有一定的數學建模能力，所以在平時的教學過程，當學生遇到問題時，教師需要引導學生進行一定程度的數學建模，

參考文獻：

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