深度學習視角下的高中數學解題策略研究

三角形中的最值或者范圍問題，是高中數學的重要內容，也是高考的熱點之一.解決解三角形的最值范圍問題，要學會靈活使用正余弦定理及三角形的面積公式，常見的解法是通過正弦定理轉化為三角函數的問題，當然，求解三角形面積與周長的最值問題時，也可以利用均值不等式去求最值.

例1 ΔABC 中， sin²A-sin²B-sin²C=sinBsinC， （1）求 A ;（2）若 BC=3 ，求 ΔABC 周長的最大值.

解析（1）由正弦定理可得：BC²-AC²-AB²=AC?AB ，由余弦定得可得 ：BC²=AC²+AB²-2AC?ABcosA 所以cosA= 中因為 A∈（0，π） ， （204號所以中

（2）解法1（余弦 + 不等式）由題意知： BC²=AC²+AB²-2AC?ABcosA =AC²+AB²+AC?AB=9 即 （AC+AB）²-AC?AB=9. 因為 （當且僅當 AC= AB時取等號），所以 9=（AC+AB）²-AC?AB?（AC+AB）²-

從而： （當且僅當 AC=AB 時

取等號），所以△ABC周長 L=AC+AB+BC?3+2

，

所以 ΔABC 周長的最大值為 ·解法2（正弦 + 三角函數）

設 業

則

因為

所以 （2

當且僅當 α=0 ，即 時，等號成立.所以 ΔABC 周長的最大值為

解法3（余弦 + 三角換元）

在 ΔABC 中，由余弦定理得 9=b²+c²+bc ，

即

得

易知當C= 時， ，所以 ΔABC 周長的最大值為

評注該題第（1）問主要考查正弦定理常見的角化邊處理技巧，難度適中；第（2）問考查面積的最值問題，從常規解法1：余弦定理與不等式結合，到解法2：正弦定理與三角函數結合，促進了學生對數學學習的深度思考，最后的解法3，通過三角換元的角度，再次引導學生對問題進行轉化，通過三種不同的解法，培養了學生數學運算與邏輯推理等核心素養，提升了學生分析問題與解決問題的能力.

例2在銳角 ΔABC 中，角 δ_A，B，C 的對邊分別為 _a，b，c ，且 （1）求角 B 的大小；（2）求 cosA+cosB+cosC 的取值范圍.

解析（1）由 ，結合正弦定理可

得： ，所以 ΔABC 為銳角三角形，故 （2）解法1（余弦 + 不等式）因為 所以 b²=a²+c²-ac ，即 3ac=（a+c）²-b² 所以 ，得a+c 因為 ΔABC 是銳角三角形，不妨取 ，此 ，所以 ：由余弦定理可知 cosA+cosB+cosC=

b²=a²+c²-ac ，代入化簡得 cosA+cosB+cosC 故 cosA+cosB+cosC 的取值范圍是

解法2（三角恒等變換）

由（1）知： cosA+cosB+cosC 二 可得： 則 即 cosA+cosB+cosC 的耳

評注通過以上兩種方法的對比發現，解決三角形范圍問題時，要注重通性通法，培養學生從問題的分析出發，對問題進行思考與探索，在解決問題的過程中提高核心素養.

結語

本文以求解三角形中的取值范圍問題為載體，通過一題多解，引導學生主動思考、解決問題，學生在學習中要善于反思總結解題的技巧與思路，培養自己的理性思維；其次，在教學過程中，充分發揮學生的主體地位，在試題的探索中不斷彌補優化學生的思維漏洞.通過問題的解決，加深對知識的理解，在解決問題的同時，數學運算、邏輯推理等核心素養得到提升與發展.

【本文系2023年度曲靖市教育科學規劃立項課題《基于深度學習的高中數學課堂教學策略研究（QJ2023YB26）》的研究成果】