關于數值大小比較問題的解法舉例

解法1 構造函數比較大小.

構造函數比較數值大小，核心是根據數值結構來構造函數，利用函數的性質來進行數值比較，主要借助函數的單調性、最值特性，常結合導數知識來分析.

例1設 5 tan ，則（

分析本題目為數值大小判斷題，其中 α_a 和 b 的結構一致，可以直接作差來判定，而 α_a 和 Ψ_c 的大小比較則可以先作差，再構造函數，利用函數性質進行分析比較.

解作差比較 a 和 b 的大小，則有 ，進一步整合 ，即（204號 b>a ：

作差構造函數比較 a 和 Ψ_c 的大小，則有 α-c= ，根據其結構構造函數，則令 f(x)=2(e^x-1)-sinx-tanx ，其中變量 ，對應導函數為 f^′(x)=2?e^x-cosx- ，進一步構造函數，令 g(x)=2?e^x-cosx- ，則

分析可知，當 時， ?2?e^x>2，sinx> 所以 ，因此可確定 g^′(x)>0 ，則 g(x) 在 上為增函數，

又知 g(0)=0 ，從而可知當 時，f^′(x)=g(x)>0 ，因此 f(x) 在 上為增函數，則 ，即 a>c ：

綜上，大小關系為 b>a>c ，則答案為（A）.

解法點睛判斷 a 和 c 的大小時采用了構造函數的方法，構造函數時注意找出含有的共同的數值，用變量 x 替換其中的數值；再借助導數來研究函數的單調性，進而確定大小.對于較為復雜的函數，可以采用二次構造函數研究性質的策略.

解法2 利用泰勒不等式.

利用泰勒展開式也可以比較數值的大小，教學的關鍵是指導學生總結常見的泰勒不等式關系，關注其不等式關系和取值設定.

常見的有

例2 設 則（ ）

（204號

分析本題目為數值大小比較問題，其中 b 為一般實數，而 Ψ_a 和 Ψ_c 的結構則較為復雜，可以利用泰勒不等式來判斷數值大小.

解比較 a 和 b 的大小，因為 e^0.1≈1+0.1+ ，所以 b ，即 a

比較 Ψ_c 和 a 的大小，因為 ，即 c

綜上可知， c

解法點睛利用泰勒不等式比較數值的大小，其核心知識是明晰常見函數的泰勒展開式的結構.教學中教師可以指導學生總結歸納，重點解讀函數的結構特征和變量取值.

解法3 利用不等式放縮.

利用不等式放縮技巧同樣可以比較數值的大小，其核心知識是構造不等式，合理放縮推導大小關系.具體流程為引人不等式，結合數值進行合理縮放.

例3 已知 則（ ）

（2分析 比較 a 和 b 的大小，當 取 可得 cOs ， 故 b>a

比較 b 和 Ψ_c 的大小， ，其中 且

當 時 ，及= 此時sin CC 故cos ，故b

綜上可知， c>b>a ，則答案為（A).

解法點晴 上述比較 α_a 和 b 的大小時，利用不等式縮放技巧，即引入不等式 sinx ，將三角函數轉化為一般函數，進而確定其大小關系.教學中，建議教師引導學生總結常用的不等式關系，解題時靈活運用轉化.

結語

總之，上述所探究的是三種比較數值大小的方法技巧，其中構造函數的方法主要是利用函數的性質，隱含了構造思想；利用泰勒不等式和不等式放縮技巧則主要利用不等式的性質，其中泰勒不等式則是函數展開式的不等式轉化，不等式放縮技巧則滲透了縮放思想.教學中教師需要指導學生歸納常見不等式，掌握三種技巧的使用思路.