常見函數解析式的求解方法分析

1 方程組法

方程組法是根據題目已知方程中的式子的特點構造另一個方程式，即當式子中同時含有 f（x） ，f（-x） ，或者同時含有 ，此時用 x 取代式子中的一 x ，或者用 取代式子中的 x ，構造出另一個方程式，通過求解方程組求解出 f（x）

例1已知定義在R上的函數 f（x） 滿足f（-x）+2f（x）=x+2 ，求 f（x） 的解析式.

解析首先，根據題目中已知方程的式子f（-x）+2f（x）=x+2 的特點，用 x 取代式子中的 -x ，構造出另一個方程式，通過求解方程組即可求解出 f（x） 的解析式.

因為 f（-x）+2f（x）=x+2Φ 所以用 x 取代上式中的 -x 得：

f（x）+2f（-x）=-x+2②，

①×2-② 得 3f（x）=3x+2 ，

所以 業

2特殊值法

特殊值法是當題目中有很多變量時，且含有“任意”等條件，此時通過對某變量進行賦值，使得問題具體化、簡單化，即可求解出函數解析式.

例2已知函數 f（x） 的定義域為 ，對一切實 數 x，y 都有 2f（x-y）=f（x）+3f（y）+x（x+ 2y+1） ，求 f（x） 的解析式.

解析首先，根據已知條件可知題目中含有很多變量，以及對一切實數 x，y 都有 2f（x-y）=f（x）+3f（y）+x（x+2y+1） ，再對變量進行賦值：令 x=y=0 ，通過運算即可求解出函數解析式.令 y=0 ，得 2f（x）=f（x）+3f（0）+x²+x 令 x=y=0 ，得 2f（0）=f（0）+3f（0）=4f（10） ，所以 f（0）=0 ，所以 f（x）=x²+x（x∈R） ·

3待定系數法

待定系數法是當知道函數解析式的類型，可設其解析式的形式，根據已知條件建立關于待定系數的方程，通過運算即可求解出函數解析式.

例3已知二次函數 f（x） 的二次項系數為 a ，且不等式 f（x）gt;-2x 的解集為（1，3），方程f（x）+6a=0 有兩個相等的實根，求 f（x） 的解析式

解析 首先根據題中已知條件可知函數 f（x）

是二次函數，以及不等式 f（x）gt;-2x 的解集為（1，3），設 f（x）+2x=a（x-1）（x-3） ，且 alt;0 ，可得到方程 ①f（x）=ax²-（2+4a）x+3a ，再由方程 f（x）+6a=0 得方程 ②ax²-（2+4a）x+9a= 0，以及根據方程 ② 有兩個相等的實根，可解得 α_a 的值，最后將 a 的值代人方程 ① ，即可求解出函數解析式.

因為 f（x）+2xgt;0 的解集為（1，3），設 f（x）+2x=a（x-1）（x-3） ，且 alt;0 ，所以 f（x）=a（x-1）（x-3）-2x=ax²-（2+ 4a）x+3a① 由方程 f（x）+6a=0 ，得 ax²-（2+4a）x+9a=0② 因為方程 ② 有兩個相等的實根，所以 Δ=[-（2+4a）]²-4a?9a=0， 即 5a²-4a-1=0 ，解得 a=1 或 ，又因為 alt;0 ，所以 ，將 代人 ① ，得 （2號

例4若函數 f（x） 是二次函數，且滿足f（0）=2，f（x+2）-f（x）=4x ，求函數 f（x） 解析式.

解析 首先根據已知條件確定函數是二次函數后，列出標準解析式 f（x）=ax²+bx+c 并代人具體等式，可得方程組，求出系數 _a，b，c 后即可得知函數具體解析式.設 f（x）=ax²+bx+c（a≠0） ，由 f（0）=2 可得 c=2 由 f（x+2）-f（x）=4x 可得 a（x+2）²+b（x+2）+2-（ax²+bx+

2）=4x ，整理可得 4ax+4a+2b=4x ，則有 （20解得 2，故二次函數解析式為 f（x）=x²-2x+2

4結語

求函數解析式是高中數學常考的一類問題.本文給學生提供了方程組法、特殊值法、待定系數法這三種具體的解題思路.每種方法都有各自獨特的優勢和靈活性，不同思路對應的解題方式各不相同，掌握更多解題思路和方法有助于學生解答不同形式求函數解析式的題目，有助于學生快速采取正確合理的思路解答這一類問題

參考文獻：

[1]張偉.例析求函數解析式的方法與技巧[J].中學數學，2023（15）：68—70.

[2]秦雷宇.例析求函數解析式的四種方法[J].中學生數理化（高一數學），2023（10）：21.