學會抓住本質，探尋解題規律

1函數單調性的解題思路

函數的單調性是指函數在定義域內的增減性，如果對于區間內任意兩個自變量 x₁…x₂ ，當 x₁lt; x_Π2 時，都有 f（x₁）gt;f（x₂） ，則函數在該區間上是單調遞減.反之， f（x₁）2） ，則函數單調遞增.

1. 1 函數單調性的判定與證明解題思路

此類題型側重于運用定義來驗證函數的單調性質，依據函數單調性的定義，給出相應的結論.

例1證明函數 在區間 （2，+∞） 上單調遞減.

解 ?x₁，x₂∈（2，+∞） ，且 x₁2 ，則 （204整理可得原式 因為 212 ，所以 x₂-x₁gt;0，x₁+x₂gt;0，x₁²gt;4，x₂²gt;4， 所以 f（x₁）-f（x₂）gt;0 ，即 f（x₁）gt;f（x₂） ，所以函數 在區間 （2，+∞） 上單周遞減.

1.2求函數的單調區間解題思路

在求解函數的單調區間問題時，需要遵循特定的步驟.首先，要依據函數表達式來確定函數的定義域.之后，利用定義法來求解單調區間.

例2求函數 的單調遞減區間.

解函數 的定義域為 （-∞，1） U（1，+∞） ·設 x₁，x₂∈（-∞，1） ，且 x₁2 ，則 因為 x₁2lt;1 ，所以 x₂-x₁gt;0，x₁-1lt;0，x₂-1lt;0. 所以 f（x₁）gt;f（x₂） ，所以函數 f（x） 在（-∞，1） 上單調遞減.

同理可證 f（x） 在 （1，+∞） 上單調遞減.則函數 f（x） 的單調遞減區間是 （-∞，1），（1，+∞） ·

2 函數最值的解題思路

2.1利用函數圖象求最值

對于簡單的函數，可以通過繪制函數圖象來直觀地觀察其最值.

例3已知 f（x）=∣x-1∣+x² ，則該函數的值域為

解去絕對值，把含有絕對值的函數劃為分段函數，當 x?1 時， f（x）=x²+x-1 ；當 xlt;1 時，f（x）=x²-x+1. 分類討論并畫出對應函數圖象.如圖1所示，利用函數圖象求最值.

當 x?1 時，二次函數 f（x）=x²+x-1 開口向上，對稱軸 ，圖象如圖 1（a） 實線部分所示，從圖中可以看出，函數 f（x） ）在[1，+∞） 上單調遞增，則 f（x）_min=f（1）=1

當 xlt;1 時，二次函數 f（x）=x²-x+1 開口向上，對稱軸為 ，圖象如圖 1（b） 實線所示，從圖中可以看出則函數 f（x） 在 （-∞，1） 上的最小值為f（x）m=f

合并圖象，如圖 1（c） .可以直觀地看到，函數f（x） 的最小值為 則函數f（x） 的值域為

2.2 利用函數單調性求最值

對于復雜的函數，或者當函數圖象難以繪制時，可以利用函數的單調性來求最值.

例4已知函數f（x）=α·22-1 為奇函數，其定義域為 [-a-2，b] ·

（1）求實數 a_λ，b 的值；

（2）判斷 f（x） 的單調性，并用定義證明；

（3）當 x∈[1，2] 時， 2+mf（x）+2^xgt;0 恒成立，求 Ψ_m 的取值范圍.

解（1）因為函數f（x）=a·2 為奇函數，所以 f（-x）=f（x） ，

整理得-2 即 a-2^x=-a?2^x+1 ，進一步整理得 （a-

1）（2^x+1）=0 ，所以 a-1=0 因為函數為奇函數，其定義域 [-a-2，b] 關

于原點對稱，所以當 a=1 時， b=3 （2）函數 在 [-3，3] 上遞增.證明：任取 x₁，x₂∈[-3，3] ，且 x₁2 ，則 因為 -3?x₁2?3 ，所以有 ，所以 f（x₁）-f（x₂）lt;0 ，即 f（x₁）2） ，所以 22-1在[-3，3]上遞增.（3）因為 x∈[1，2] ，所以 又當 x∈[1，2] 時，不等式 2+mf（x）+2^xgt;0 恒成立，所以 時

恒成立.令

t∈[1，3] 時恒成立.而 當且僅當 6時，即t=6時，等號成立，所以 ，即 ψ_m 的取值范圍是 ：

3結語

函數的單調性與最值是高中數學中的重要內容，也是解題中的難點和重點.本文通過探討，總結了函數單調性的判定與證明、求單調區間，以及利用函數圖象和單調性求最值的解題思路.希望能夠幫助學生更好地理解和掌握函數的相關知識，提高解題能力和數學素養.