證明不等式恒成立的三種方法分析

1導數法

導數法是證明函數不等式問題最常見的方法，只要根據不等式的特點構造函數，求解函數的導數來判斷函數的單調區間和最值，進而比較最值大小即可間接證明不等式成立.運用導數法求解的關鍵在于正確求導，正確判斷單調區間和最值，這些都是證明不等式成立的關鍵所在.

運用導數法求解的具體步驟為： ① 結合不等式的結構特點，構造函數解析式； ② 對函數解析式求導，分析單調性和極值； ③ 證明極值恒大于或恒小于某一值，即證明不等式成立.

例1 證明：當 x>1 時，不等式 lnx> 恒成立.

思路分析本題是證明不等式恒成立的問題，不等號兩側的代數式都較為復雜，可以通過移項整理為一側為常數，一側為含變量的形式，進而構造函數，利用導數解得函數的單調區間，最后得到函數的最小值大于不等號一側的常數即證明不等式恒成立.

證明 令 所以 ，所以

因為當 x>1 時， f^′(x)>0 ，等價于當 x>1 時， f(x) 是增函數，所以 f(x)>f(1)=0 ，所以 綜上所述，當 x>1 時， 恒成立.

2換元法

換元法，其目的是化簡證明形式，以便構造輔助函數.變量替換法在證明不等式問題中有較多運用，需要根據題目特點在證明的過程中引入簡單的變量替換復雜的變量，然后分析替換后的式子的特點，構造函數，通過求導判斷其函數單調性，進而證明不等式成立.運用換元法求證不等式的具體過程為： ① 找到需要證明的函數不等式中共同的結構，對其換元，使函數不等式得到簡化； ② 對換元后的不等式構造函數，分析單調性和最值，達到證明目的.

例2設 x>0 ，證明

思路分析本題不等號的一側含有分式，形式較復雜，不利于構造函數，可利用變量替換法，將 用 r 替換，再代人原式進行求解.值得注意的是，本題需要進行兩次變量替換，再利用導數判斷函數單調性和最值證明不等式成立.

證明 今 則原式 等價于 ，

所以 ，令 ，所以 ，令 所以 所以函數 f(u) 單調遞增，因此當 u>1 時，有 f(u)>f(1)=1-1-2ln1=0 ，因此 ，即不等式 成立.

變式 試證明：對任意正整數 n ，不等式 成立.

思路分析根據不等式的結構特點構造函數解析式，證明構造的函數恒成立后，對變量 x 進行替換，使

證明 令 ，則 因為 h^′(x) 在 x∈(0，+∞) 上恒為正，所以函數 h(x) 在 (0，+∞) 上單調遞增，恒有h(x)>h(0)=0， 即 所以 ，對任意正整數 n ，取 ，都有

3對數法

對數法也是證明不等式成立的常用方法，對指數函數相關的函數不等式問題尤為適用，總的來說，都是先利用對數知識將比較指數大小的問題轉化為比較對數函數的問題，在此基礎上構造函數，最后利用導數求出構造函數的單調區間以及最大值或最小值，進而達到證明不等式成立的目的.解答這類問題的關鍵在于正確取對數，實現不等式的轉化，從而有利于構造函數.

例3設 α>4 ，試證明： 2^a>a²

思路分析本題不等號右側是冪函數的形式，直接構造新函數后不容易求解，則可將不等式兩端同時取對數，轉化為比較 的大小，借此構造函數 ，然后求導得到單調區間和最值，證明不等式成立.

證明 要證明 2^a>a² ，等價于證明 ln2^a>lna² 即證明 成立，

令 ，

所以

因為

又因為當 a>4 時，

有

所以函數 f(a)>f(4)=0 ，

即

故 成立，

所以 a>4 時， 2^a>a² 成立.

4結語

不等式的證明是高考的必考題型，占有較大的分值，一般以解答題的形式出現，教師應要求學生掌握證明不等式成立的方法和思路，平時多加練習和鞏固，歸納總結經驗，從而在考場上做到以不變應萬變.

參考文獻：

[1]楊越.利用函數思想證明不等式的方法例析[J].中學生數理化（學習研究），2016（12)：63-64.

[2]劉浪平.例析證明不等式的三種途徑[J].語數外學習（高中版下旬），2021（10)：47.