高中數學中不等式解法探究

高中數學中的不等式的形式比較多，對不等式的考查更多的是在解答其他問題時需要解相應的不等式，如集合的運算，求函數的定義域，等等.為了能順利解不等式問題，本文探究了不等式的解法，具體從因式分解法，等價轉換法和函數零點法這三種方法展開討論，旨在突破各類不等式的求解難點.

1 因式分解法

這種方法主要針對一元二次不等式，一般思路是：先確定二次項系數的符號，若小于0，則將其變為大于0，然后進行因式分解，求出對應一元二次方程的實數根，最后根據“小于取中間，大于取兩邊”，得到不等式的解集.

例1解不等式 -2x²+3x+2?0

解將不等式進行變形，

得 2x²-3x-2?0.

進行因式分解，得

因為方程 2x²-3x-2=0 的兩根為 和2，

根據“小于取中間，大于取兩邊”，

得到不等式的解集為

評注 一元二次不等式是高中數學中最常見的不等式，在很多地方均會涉及.因式分解法主要針對的是一元二次不等式，一般步驟為：第一步是判斷不等式是否為標準一元二次不等式，主要是看二次項是否為正數，若不是，則將各項同時乘以一1或者移項，變為標準形式；第二步是進行因式分解，將不等式寫成因式分解式；第三步是確定不等式的符號，根據“小于取中間，大于取兩邊”寫出解集.在解題過程中，易錯點有：一是變為標準式的過程中，要注意不等號的變化；二是“小于取中間，大于取兩邊”中，取的是對應一元二次方程的兩根的中間和兩邊；三是注意確定不等式的符號.

2 等價轉換法

這種方法主要針對解分式不等式，一般思路是先將分式不等式轉化為不等式的一邊為0的形式，然后將除法變為乘法，同時保證分母不為0，一般變為一元二次不等式，然后解這個不等式即可.

例2 解不等式 中

解對不等式進行變形，T -2≥0，即2-3x

得

等價轉換為 (2-3x)(x+3)?0， 且 x+3≠0

此時二次項系數小于0，

所以變為 (3x-2) (x+3)?0 ，且 x+3≠0 ，

解得

所以不等式 中 的解集為：

評注題目給出的不等式是分式不等式，在解答時將其轉化為一個一元二次不等式進行，其主要依據是乘和除從符號角度是等價的，只是除法中分母不等于0.解題的一般步驟為：第一步是將不等式變為 的形式;第二步是將 等價變換為 f(x)g(x)?0 ，且 g(x)≠0 ；第三步是按照一元二次不等式的解法進行解答.在解答過程中，易錯點有：一是不等式的一邊為0才能直接轉換為乘積的形式；二是等價轉換后，必須保證分母不等于0；三是轉換為乘積的形式后，必須判斷是不是標準形式，不是則先化為標準形式.

3 函數零點法

這種方法的使用范圍比較廣泛，幾乎所有可解不等式均可使用該方法.一般思路是：先將不等式變為 f(x)?0 的形式，然后設一個函數 y=f(x) ，判斷函數 y=f(x) 的單調性，確定零點則可得到不等式 f(x)?0 的解集.

例3求不等式 的解集.

解對不等式進行變形，得

設函數 ，則函數的定義域為 (0，+∞) ：

對函數求導得 令 f^′(x)?0 ，即 lnx+1?0 ，

解得

所以函數 在區間 上單調遞減，在區間 上單調遞增，

所以函數在 時取得極小值

又因為當 時， f(x)<0 ，且f(e)=0

所以函數 只有一個零點x=e 0

所以不等式 的解集為 {x 一x?e} ：

評注題目是要求不等式 的解集，不能直接求解，所以采用了函數零點法進行求解，該方法是通用的，一般的不等式求解均可以使用，包括一元一次不等式、二次不等式和分式不等式.該方法的一般步驟為：第一步是將不等式變為f(x)?0 的形式；第二步是設函數 y=f(x) ，并確定定義域；第三步是對函數求導，并求出單調區間；第四步是根據函數的單調性將函數 y=f(x) 的所有零點確定出來；第五步是結合函數 y=f(x) 的單調性確定不等式的解集.在解題過程中，需要注意的是：一是不等式一定要變為 f(x)?0 的形式；二是一定要準確確定函數的零點；三是取不等式解集時，一定要結合函數的單調性和函數值的符號情況，

4結語

不等式是高中數學中應用非常廣泛的知識之一，所以解各類不等式是必須掌握的技能.為了能突破不等式的求解難點，本文總結了高中常見的不等式，探究其結構特征，根據不等式的結構特征，梳理出來了因式分解法、等價轉換法和函數零點法這三種比較實用的方法.因式分解法主要針對解一元二次不等式，等價轉換法主要針對分式不等式，而函數零點法則可以用于一切可解的不等式，包括一元一次不等式、二次不等式和高次不等式，以及分式不等式，對數不等式，指數不等式，三角不等式和復雜不等式.

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